图论算法及matlab程序的三个案例.docx
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图论算法及matlab程序的三个案例
图论实验三个案例
单源最短路径问题
1.1Dijkstra算法
Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。
其基本思想是，设置一个顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。
一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
设v是图中的一个顶点，记l（v）为顶点v到源点V1的最短距离，Vi,VjV，若（Vi,Vj）E，记“到百的权w。
Dijkstra算法：
1S{vJI（vJ0；vV{可1（v）iiSV{vJ；
J7JJJ7
2S，停止，否则转③；
l（v）min{l（v）,d（Vj,v）}VjS
4存在Vi1，使l（Vil）min{l（V）}，VS；
5SSU{vi1}SS{vi1}ii1
实际上，Dijkstra算法也是最优化原理的应用：
如果V1V2LVn1Vn是从V1到Vn的最短路径，贝UV1V2LVn1也必然是从V1到Vn1的最优路径。
在下面的MATLA实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i行第j行元素表示顶点Vi到Vj的权Wj，若v到Vj无边，则Wijrealmax，其中realmax是MATLA常量，表示最大的实数（1.7977e+308）
functionre=Dijkstra（ma）
%用Dijkstra算法求单源最短路径
%俞入参量ma是距离矩阵
%输出参量是一个三行n列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点
n=size（ma,1）;%得到距离矩阵的维数
s=ones（1,n）;s
（1）=0;%标记集合S和S的补
r=zeros（3,n）;r（1,:
）=1:
n;r（2,2:
end）=realmax;%初始化
fori=2:
n;%控制循环次数
mm=realmax;
forj=find（s==0）;%集合S中的顶点
fork=find（s==1）;%集合S补中的顶点if（r（2,j）+ma（j,k）end
if（mm>r（2,k））
mm=r（2,k）;t=k;
end
end
end
s（1,t）=0;%找到最小的顶点加入集合S
end
re=r;
1.2动态规划求解最短路径
动态规划是美国数学家RichardBellman在1951年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。
动态规划应用了最佳原理：
假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策Di,D2丄，Dn，如若这个决策是最优的，对于任何一个整数k，1如图1,从A点要铺设一条管道到A16点，中间必须要经过5个中间站，第一站可以在｛A2，A｝中任选一个，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是：
｛A4，A，As，A7｝，｛A8，A9，A10｝，｛A11，A2，A13｝，｛A14，A15｝。
连接两地管道
图1可选择的管道图
解决此问题可以用穷举法，从Ai到A16有48条路径，只须比较47次，就可得到最短路径为：
AfAfAfAfAl2fA|5^Al6，最短距离为18。
也可以使用Dijkstra算法。
这里，我们动态规划解决此问题。
注意到最短路径有这样一个特性，即如果最短路径的第k站通过Pk，则这一最短路径在由
Pk出发到达终点的那一部分路径，对于始点为Pk到终点的所有可能的路径来说，
必定也是距离最短的。
根据最短路径这一特性，启发我们计算时从最后一段开始，从后向前逐步递推的方法，求出各点到A16的最短路径。
在算法中，我们用数组六元数组SS表示中间车站的个数（Ai也作为中间车站），用距离矩阵path表示该图。
为简便起见，把该图看作有向图，各边的方向均为从左到右，则path不是对称矩阵，如path（i2,i4）=5，而path（i4,i2）=0（用0表示不通道路）。
用3'16巨阵spath表示算法结果，第一行表示结点序号，第二行表示该结点到终点的最短距离，第三行表示该结点到终点的最短路径上的下一结点序号。
下面给出MATLA实现算法。
function[Scheme]=ShorteStPath（path,SS）
%利用动态规划求最短路径
%path是距离矩阵,SS是车站个数
n=Size（path,1）;%结点个数
Scheme=zeroS（3,n）;%构造结果矩阵
Scheme（1,:
）=1:
n;%设置结点序号
Scheme（2,1:
n-1）=realmax;%预设距离值
k=n-1;%记录第一阶段结点最大序号
fori=Size（SS,2）:
-1:
1;%控制循环阶段数
fort=find（path（j,:
）>0）;%当前结点邻接结点
ifpath（j,t）+scheme（2,t）end
end
end
k=k-ss（i）;移入下一阶段
end
先在MATLAB^令窗口中构造距离矩阵path，再输入：
>>ShortestPath（path,ss）
得到以下结果：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
18
13
16
13
10
9
12
7
6
8
7
5
9
4
3
0
2
5
6
8
8
9
10
12
12
12
14
15
15
16
16
0
将该结果表示为图，即为图1粗线所示
棋盘覆盖问题
1.1问题的提出
在一个2k2k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称
该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊的棋盘。
如图1就是当k3时的特
1.2问题的分析
k
易知，用到的L型骨牌个数恰为（41）/3。
利用分治策略，我们可以设计出
解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法
当k>0时，我们将2k2k棋盘分割为4个2k12k1子棋盘如图3两粗实线所
示。
特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。
为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如图4中央L型骨牌所示，这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归地使用这种分割，直至棋盘简化为11棋盘。
1.3算法的MATLA实现
首先特殊方格在棋盘中的位置可以用一个12的数组sp表示；对于图2所示的4种L型骨牌，可用数字1,2,3,4表示；对于特殊棋盘的骨牌覆盖表示，只
须注意到图4所示的关键点，对每个关键点，给定一种L型骨牌，就能覆盖整个
kk
棋盘，所以对于2k2k的特殊棋盘的骨牌覆盖，可用一个（21）（21）的矩阵
表示。
按照这种思想，图4的矩阵表示为：
1
0
4
0
1
0
2
0
4
0
0
0
2
0
4
0
3
0
2
0
3
0
0
0
3
0
0
0
1
0
4
0
3
0
2
0
4
0
0
0
3
0
4
0
3
0
4
0
3
k=4，特殊万格位置为：
［1,4］，覆盖矩阵为：
下面是在MATLAB^的棋盘覆盖实现程序。
functionre=chesscover（k,sp）
%解决棋盘的覆盖问题
%棋盘为2Ak*2Ak，sp为特殊方格的棋盘位置
globalcovermatrix
covermatrix=zeros（2Ak-1,2Ak-1）;
even1=floor（sp（1,1）/2）*2==sp（1,1）;%判断水平位置是否是偶数
even2=floor（sp（1,2）/2）*2==sp（1,2）;%判断竖直位置是否是偶数
ifeven仁=1&&even2==0%找出找出特殊方格相对关键结点的位置
i=4;
else
i=even1+even2+1;
end
tempfun（1,1,k,[sp（1,1）-even1,sp（1,2）-even2,i]）;
re=covermatrix;
functiontempfun（top,left,k,tp）%子函数,tp为转换后特殊方格在棋盘网络的相对位置
globalcovermatrix
ifk==1
switchtp（1,3）
case1
covermatrix（tp（1,1）,tp（1,2））=3;
case2
covermatrix（tp（1,1）,tp（1,2））=4;
case3
covermatrix（tp（1,1）,tp（1,2））=1;
case4
covermatrix（tp（1,1）,tp（1,2））=2;
end
else
half=2A（k-1）;i=top+half-1;j=left+half-1;
iftp（1,1）iftp（1,2）covermatrix（i,j）=3;%添加类型为3的L型骨牌
tempfun（top,left,k-1,tp）;
tempfun（top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]）;
tempfun（top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]
）;
tempfun（top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]）;
else%特殊方格在右上
covermatrix（i,j）=4;%添加类型为4的L型骨牌tempfun（top,left,k-1,[i-1,j-1,3]）;tempfun（top,left+half,k-1,tp）;
tempfun（top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]
）;
tempfun（top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]）;
end
else
iftp（1,2）>j%特殊方格在右下
covermatrix（i,j）=1;%添加类型为3的L型骨牌
tempfun（top,left,k-1,[i-1,j-1,3]）;
tempfun（top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]）;
tempfun（top+half,left+half,k-1,tp）;
tempfun（top+half,left,k-1,[i+1,j-1,2]）;
else%特殊方格在左下
covermatrix（i,j）=2;%添加类型为4的L型骨牌
tempfun（top,left,k-1,[i-1,j-1,3]）;
tempfun（top,left+half,k-1,[i-1,j+1,4]）;
tempfun（top+half,left+half,k-1,[i+1,j+1,1]
）;
tempfun（top+half,left,k-1,tp）;
end
end
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