图论算法及matlab程序的三个案例.docx

1、图论算法及matlab程序的三个案例图论实验三个案例单源最短路径问题1.1 Dijkstra 算法Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置 一个顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且 仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设 v是图中的一个顶点，记l(v)为顶点 v到源点V1的最短距离，Vi,Vj V，若(Vi,Vj) E，记“到百的权w 。Dijkstra 算法：1S vJ I(vJ 0 ； v V 可 1(v) i i S V vJ ；J 7 J J J 72S ，停止，否则转；l(v) min l(v) , d(Vj,v) Vj

2、 S4存在 Vi 1，使 l(Vi l) minl(V)，V S ；5S SUvi 1 S S vi 1 i i 1实际上，Dijkstra算法也是最优化原理的应用：如果V1V2LVn1Vn是从V1到Vn 的最短路径，贝U V1V2L Vn1也必然是从V1到Vn 1的最优路径。在下面的MATLA实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第 i行第j行元 素表示顶点Vi到Vj的权Wj，若v到Vj无边，则Wij realmax，其中realmax是 MATLA常量，表示最大的实数(1.7977e+308)function re=Dijkstra(ma)%用 Dijkstra 算法求单源最短路径%俞入参量

3、ma是距离矩阵%输出参量是一个三行 n 列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和 前顶点n=size(ma,1);% 得到距离矩阵的维数s=ones(1,n);s(1)=0;% 标记集合 S和 S 的补r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;% 初始化for i=2:n;% 控制循环次数mm=realmax;for j=find(s=0);% 集合S中的顶点for k=find(s=1);% 集合S补中的顶点 if(r(2,j)+ma(j,k)r(2,k)mm=r(2,k);t=k;endendends(1,t)=0;%找到最小的顶点加入集合S

4、endre=r;1.2动态规划求解最短路径动态规划是美国数学家 Richard Bellman在1951年提出来的分析一类多阶 段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控 制工程等方面均有着广泛的应用。动态规划应用了最佳原理：假设为了解决某一 优化问题，需要依次作出n个决策Di,D2丄，Dn，如若这个决策是最优的，对于 任何一个整数k，1k0);% 当前结点邻接结点if path(j,t)+scheme(2,t) ShortestPath(path,ss)得到以下结果：1234567891011121314151618131613109127687594302568

5、891012121214151516160将该结果表示为图，即为图 1 粗线所示棋盘覆盖问题1.1问题的提出在一个2k 2k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊的棋盘。如图 1就是当k 3时的特1.2问题的分析k易知，用到的L型骨牌个数恰为(4 1)/3。利用分治策略，我们可以设计出解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法当k0时，我们将2k 2k棋盘分割为4个2k1 2k1子棋盘如图3两粗实线所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为 了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个L型骨牌覆盖 这3个较小

6、棋盘的会合处，如图4中央L型骨牌所示，这3个子棋盘上被L型骨 牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的 棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为 1 1棋盘。1.3算法的MATLA实现首先特殊方格在棋盘中的位置可以用一个1 2的数组sp表示；对于图2所 示的4种L型骨牌，可用数字1,2,3,4表示；对于特殊棋盘的骨牌覆盖表示，只须注意到图4所示的关键点，对每个关键点，给定一种L型骨牌，就能覆盖整个kk棋盘，所以对于 2k 2k 的特殊棋盘的骨牌覆盖，可用一个 (2 1) (2 1)的矩阵表示。按照这种思想，图 4 的矩阵表示为：10401020400020

7、40302030003000104030204000304030403k=4，特殊万格位置为：1,4，覆盖矩阵为：下面是在MATLAB的棋盘覆盖实现程序。function re = chesscover(k,sp)%解决棋盘的覆盖问题%棋盘为2Ak*2Ak，sp为特殊方格的棋盘位置global covermatrixcovermatrix=zeros(2Ak-1,2Ak-1);even1=floor(sp(1,1)/2)*2=sp(1,1);% 判断水平位置是否是偶数even2=floor(sp(1,2)/2)*2=sp(1,2);% 判断竖直位置是否是偶数if eve n仁=1&eve n2

8、=0%找出找出特殊方格相对关键结点的位置i=4;elsei=even1+even2+1;endtempfun(1,1,k,sp(1,1)-even1,sp(1,2)-even2,i);re=covermatrix;function tempfun(top,left,k,tp)% 子函数 ,tp 为转换后特殊方格在棋盘网 络的相对位置global covermatrixif k=1switch tp(1,3)case 1covermatrix(tp(1,1),tp(1,2)=3;case 2covermatrix(tp(1,1),tp(1,2)=4;case 3covermatrix(tp(1,

9、1),tp(1,2)=1;case 4covermatrix(tp(1,1),tp(1,2)=2;endelsehalf=2A(k-1);i=top+half-1;j=left+half-1;if tp(1,1)iif tp(1,2)j% 特殊方格在右下covermatrix(i,j)=1;% 添加类型为 3 的 L 型骨牌tempfun(top,left,k-1,i-1,j-1,3);tempfun(top,left+half,k-1,i-1,j+1,4);tempfun(top+half,left+half,k-1,tp);tempfun(top+half,left,k-1,i+1,j-1,2);else % 特殊方格在左下covermatrix(i,j)=2;% 添加类型为 4 的 L 型骨牌tempfun(top,left,k-1,i-1,j-1,3);tempfun(top,left+half,k-1,i-1,j+1,4);tempfun(top+half,left+half,k-1,i+1,j+1,1);tempfun(top+half,left,k-1,tp);endend