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群及其性质

第二章群及其性质

群论属于代数学的范畴，它所研究的是群这样一个代数系统。

所谓代数系统，就是一个具有满足一定法则的代数运算的集合。

一个群只有一种代数运算，我们把这种代数运算称为群的乘法，简称群乘。

群的定义：

假设G是由一些不同元素组成的集合，即G={g「g2,……}。

在

G中各元素间定义了一种群乘规则（连续操作，乘法、加法运算），如果G对这种群乘规则满足以下条件：

（1）满足封闭性。

G中任意两个元素的乘积仍然属于G,即若-gi,gj・G，

则gig」询•g。

（2）结合律成立。

-gi,gj,g^G，都有©gj）gk=gdgjgQ。

（3）存在单位元EG。

对一g「G，都有Egi=giE二gi，所以E又称为

恒等操作。

（4）存在逆元。

对每个g「G,存在一个唯一的逆元素giG，使

个条件常被称为群公理

11

单位元素的逆元是自身（E-仁E）0证明：

因为©）二gi，

（gig?

）'=g2‘g「=e。

所以E=（gig2）'（gig2）ng,g「gig20

群元的个数，称为群的阶（一般用符号g来表示）°若群G的元素个数有限，则群G称为有限群；若群G的元素个数无限，则群G称为无限群。

群的元素不但可以是数，而且可以是平移、转动、反射、置换、反演等物理操作。

最简单的操作是恒等操作，这种操作是指对事物什么也没有做。

我们需要恒等操作是为了满足群的数学条件。

群乘运算与元素有关。

如果群元是数，群乘就是通常的乘法或加法；如果群元是物理操作，群乘就是操作，先操作右边元素，再进行左边操作（与算符相似）。

群的乘法一般不具有可交换性，即对—gi，g2•G，—般说来gig2=g2gi。

如果

对-gi，g2•G，有gig2二g2gi，则称G是可交换群或阿贝耳（Abel）群。

循环群必定是Abel群。

将有限群中所有元素的乘积列为一个表，称为乘法表。

在乘法表中，行操作是第一操作，列操作是第二操作。

例1）由｛1,-1｝组成的集合，在数的乘法下，构成一个二阶有限群，单位元素为1.单位元的逆元总是单位元，-1的逆元是其本身。

例2）由｛—1,0,1｝组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算，贝U构成一个三阶有限群，单位元素为0。

1的逆元是一1，-1的逆元是1。

例3）空间反演群：

三维实空间中的恒等变换E（Er二r）和反演变换I

（Ir--r）。

如果定义群的乘法为从右向左依次施行变换，则E和I构成一个二阶有限群，称为空间反演群。

例4）n阶循环群Cn:

由一个元素a的幕构成的有限群.由一个群元连乘，可得循环群的全部群元。

设an=E,则Cn=｛E,a,a2,…，an」｝构成一个群,

称为n阶循环群.空间反演群是一个2阶循环群.

例5）平面正三角形旋转对称群D3:

保持平面正三角形空间位置不变的所有转动变换：

E:

不转R1:

绕z轴转2n/3

R2:

绕z轴转4n/3R3：

绕1轴转n

R4:

绕2轴转nR5:

绕3轴转n

定义群的乘法为从右向左依次施行变换，构成一个群.

例6）。

汕群是正三角形的对称群，旋转对称操作再加平面反射操作二h。

由

例如R1-h，

于该新元素的增加，产生一些其它的新元素（由群的定义）

R^-h……R^-h，从几何上可以看出，正好是关于过R3轴的垂直面的反

图2.2

｛E,R1,R2,R3,R4,R5Fh£,m,6｝，构成一个群D3h群。

例7）正方形的真覆盖旋转群D4

D4=｛E,R1巴|*2（江）R3—1*4,R5,R6,R7｝。

\2）12丿

例8）定轴旋转群山2:

绕某个轴的所有旋转构成一个连续群。

如线性分子

CO,绕其连心线转过任意角度，空间位置保持不变。

其对称操作可记作：

Rz「

其中、是旋转角｛0岂:

.27：

｝。

定轴旋转群y-2=[Rz-,0乞「：

：

2二｝。

血2又称二维转动群。

该群依赖于实参数「，所以是连续群。

又因为「可取无穷多个，所以该群又是无限群。

其群乘结构为R\Ri二R\';：

i，即群元相乘对应参数相加。

例9）定点旋转群：

％:

绕过一个固定点的任意轴的所有旋转也构成一个连续群。

任意球对称的系统，将它绕通过对称中心的任意轴转过任意角度，空间位置保持不变。

对于这样的旋转，要用三个参数来标志。

脚方便的参数就是确定旋转轴的两个极角及该轴的旋转角。

定点旋转群山3的群元可记作

只吨/用殳丫）0^

山3=｛R〉「，,0_：

•_i,0_1_2二，0一-■｝，这是用欧拉角〔:

^■,表示的。

参数的选择不是唯一的，也可用y「,r表示。

图2.2

例10）置换群Sn:

n个全同粒子所有置换操作的集合构成一个群。

描述由n

个全同粒子组成体系的对称性时，首先把n个全同粒子编上号码（1,2,3,……n）。

然后通过置换（包括对换和轮换）重新排列全同粒子。

全同粒子的置换操作可记作

（123…n\

pi=

严…口彳…口丿（21）

上式表示把编上号码的n个全同粒子重新排列成（mi,m2,m3,mJ的顺序。

置换群Sn=｛Pi,P2,…Pn｝。

该群共有n!

个群元，这是因为第一个粒子有n种排列方法可选取，第二个粒子有（n—1）种排列方法可选取，以此类推第i个粒子有

[n-（i-1）]种排列方法可选取，则第n个粒子只有一种排列方法。

所以n个全同粒子有n!

个群元，所以该群的阶g=n!

。

对于置换操作的表示，第一行的数未必要排成自然顺序，虽然通常都排成自然顺序。

只要上下行的对应关系不变，就代表同一个操作，即同一个群元。

例如

"23、

街2、

l23i丿

J23丿

Pi的逆元可直

置换操作只与每列的对应关系有关，与第一行的顺序无关。

置换

接写成

』imim2m^*mnxpi=

U23…n丿。

作为例子给出三个全同粒子的置换群S3二｛E,Pi,P2,P3,P4,P5｝，群元包括单位元

（E）、三个对换操作（Pi，P2，P3）和两个轮换操作（P4，P5）

两个置换的积定义为相继变换所得到的置换。

应先进行右边操作，然后再对新结

果进行左边操作。

例如有

上式中首先把左边操作的上行按右边操作的下行排列（左边操作重新排列时，上

下行的对应关系不能变），然后右边操作的上行和重新排列后的左边操作的下行构成最后结果。

置换群的乘法可以写成一般公式

伽m2m^…mn

M23…n、

n23…n'

giq2q3…qn丿

小m2m3…mn>

上式是按两个置换乘积的定义作出的。

利用这个方法，很容易算得乘法表，如表

2.4。

固有转动：

三维空间的纯粹转动称为固有转动。

由固有转动变换的集合构成的群称为固有点群。

非固有转动：

转动后，再做空间反演就称为非固有转动。

由非固有转动变换的集合构成的群称为非固有点群（简称点群）。

上述两类转动都保持坐标原点不变。

反射：

一般用二h表示，是平面反射操作。

二hx,y,z]：

〔x,y,Z，是对xy平面的反射。

z表示z坐标取负。

反演：

一般用I表示，是对于原点的反射操作。

Ix,y,zl=[x,y,z。

习题

1•根据群的定义判断下列集合是否构成群并阐述理由。

1）在乘法下，一切奇数｛1，3,5,……｝的集合。

2）在加法下，一切偶数｛2，4,6,……｝的集合。

3）在加法下，一切实数的集合。

4）在乘法下，一切正实数（x>0）的集合。

5）在加法下，一切整数的集合。

6）在加法下，一切正整数的集合。

2•集合{1,-1,i,-i}在普通乘法下，是否构成群？

若构成群写出乘法表。

3•写出循环群C3-{E,^,R2}、平面正三角形的旋转对称群Da、正方形的真覆盖旋转群D4的群乘表。

D4={E,R1,R2,R3,R4,R5,R6>R7}

2.3群的重排定理（群的一个简单性质）

如果ga是群G的任一个固定元，gb取遍G的所有元，那么，乘积g^gagb也取遍G的所有元，且每一个乘积只出现一次。

证明：

先证G中的任意元素gc可以写成g^gagb的形式。

因为由群的定

义ga^G，取gb=ga'gc，贝U自然有g^gagb。

再证gagb当b不同时，给出G中不同的元素。

用反证法，设bb，而

元素，这就完成了证明。

gagb=gagb■，两边左乘gaJ得gb=gb，这是不可能的。

因为群中不存在重复的

表2.2C3的乘法表

重排定理是关于群的乘法的重要定理。

它指出每个群元，在乘法表的每一行或每一列必须出现，且仅出现一次。

乘法表的每一行或每一列都是群元素的重新排列，不可能有两行或两列元素是相同排列的。

重排

定理的例子见表2.1，2.2，2.3，2.4。

G「g,g2,……［和群H「人」2,……［的群元及群乘都一一对应，即G的元素ga和H的元素ha之间一一对应，使当gag^gc时，有h.hc，贝U两群G和H称作是同构的。

记作：

G~Ho

两个同构的群，在适当调整群元素的顺序后，就有相同的群乘法表。

因此作为抽象的数学群来说，它们是一样的。

当然，对同一抽象群，当它用于不同的物理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。

这和初等数学中2+3=5可

以代表不同对象相加是同样的。

因为在对称性研究中所用到的大部分群性质，都

是从群乘法表的代数结构得到的，所以我们可以避免重复，而由群的同构来推得某些有用的类似性质。

同构群阶数相同。

在第一节群的例子中可以找出一些同构群。

例如1对应E,-1对应R给出了｛1,-1｝群和C2=｛E,R｝同构；又如0对应E，1对应R1，-1对应R2给出了｛0,1,-1｝

2下

群和C3=｛E,R1,R2｝群同构；｛1,-1,i,-i｝群和C4（旋转——）群也同构。

再如R1

4

对应P1，R2对应P2，R3对应P3,R4对应P4，R5对应卩5给出了D3群和&群同构。

同态：

若群G—g1,g2,…gn:

和群H=%h2,…hm?

的群元及群乘不是一一对应，而是多对一，则两群G和H称作是同态的。

同构是一种特殊的同态，即当同态映射是一一映射时，同态就是同构。

因此群G和群H同构，则必同态。

反

之，群G和群H同态，但不一定同构。

例：

D3h群和S2群同态oD3h=｛E,R1,R2,R3,R4,Rj,h；-1；-2-3；-4；-5｝，

S2二｛E,6｝，其中匚h是平面反射操作。

（E,R,R2,R3,R4,R5）与E对应，（ms—）与二h对应，则（e,R1,R2,R3,R4,R5）和（m6；「产5）分别称作

E和匚h的同态对应核。

2.5子群

子群：

给定群G的某些元素往往自身也满足群的定义，这种由群G的部分

元素构成的群就说是群G的子群。

任意一个有限群的阶必可被其子群的阶整除，这就是拉格朗日定理。

陪集：

设H是群G的子群，H=｛ha｝。

由固定gG,g，H，可生成子群H

的左陪集

gH二｛gha|haH｝,（2.4）

同样也可生成子群H的右陪集

Hg=｛hag|ha^H｝。

（2.5）

g就叫陪集因子。

有时也将左（右）陪集称为左（右）旁集。

当H是有限子群时，陪集元素的个数等于H的阶。

H的任意两个左（或右）陪集，或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素。

把群G的元素，分成其子群H的左陪集串的作法，提供了一种把群G分割为不