群及其性质.docx

1、群及其性质第二章群及其性质群论属于代数学的范畴，它所研究的是群这样一个代数系统。所谓代数系统， 就是一个具有满足一定法则的代数运算的集合。 一个群只有一种代数运算，我 们把这种代数运算称为群的乘法，简称群乘。群的定义：假设G是由一些不同元素组成的集合，即 G = gg2,。在G中各元素间定义了一种群乘规则 （连续操作，乘法、加法运算），如果G对 这种群乘规则满足以下条件：（1） 满足封闭性。G中任意两个元素的乘积仍然属于 G,即 若-gi,gjG，则gig询 g。（2） 结合律成立。-gi,gj,g G，都有 gj）gk = gdgjgQ。（3）存在单位元E G。对一gG，都有Egi = gi

2、E二gi，所以E又称为恒等操作。（4）存在逆元。对每个gG ,存在一个唯一的逆元素gi G，使个条件常被称为群公理1 1单位元素的逆元是自身（E-仁E）0证明：因为）二gi，（gig?） =g2g=e。所以 E = （gig2）（gig2）ng,ggig2 0群元的个数，称为群的阶（一般用符号g来表示）若群G的元素个数有限， 则群G称为有限群；若群G的元素个数无限，则群G称为无限群。群的元素不 但可以是数，而且可以是平移、转动、反射、置换、反演等物理操作。最简单的 操作是恒等操作，这种操作是指对事物什么也没有做。我们需要恒等操作是为了 满足群的数学条件。群乘运算与元素有关。如果群元是数，群乘就

3、是通常的乘法或加法；如果群 元是物理操作，群乘就是操作，先操作右边元素，再进行左边操作（与算符相似）。 群的乘法一般不具有可交换性，即对 gi，g2 G，般说来gig2 = g2gi。如果对-gi，g2 G，有gig2二g2gi，则称G是可交换群或阿贝耳（Abel）群。循环 群必定是Abel群。将有限群中所有元素的乘积列为一个表，称为乘法表。在乘 法表中，行操作是第一操作，列操作是第二操作。例1）由1, -1组成的集合，在数的乘法下，构成一个二阶有限群，单位元 素为1.单位元的逆元总是单位元，-1的逆元是其本身。例2）由 1,0,1组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算，贝U构成一个 三阶有限

4、群，单位元素为0。1的逆元是一1，- 1的逆元是1。例3）空间反演群：三维实空间中的恒等变换 E （Er二r）和反演变换I（I r - -r）。如果定义群的乘法为从右向左依次施行变换，则E和I构成一个二 阶有限群，称为空间反演群。例4） n阶循环群Cn :由一个元素a的幕构成的有限群.由一个群元连乘， 可得循环群的全部群元。设an=E,则Cn =E,a,a2,，an构成一个群,称为n阶循环群.空间反演群是一个2阶循环群.例5）平面正三角形旋转对称群 D3:保持平面正 三角形空间位置不变的所有转动变换：E :不转 R1 : 绕z轴转2 n /3R2 :绕z轴转4n /3 R3：绕1轴转nR4 :

5、 绕2轴转n R5 :绕3轴转n定义群的乘法为从右向左依次施行变换，构成一个群.例6）。汕群是正三角形的对称群，旋转对称操作再加平面反射操作 二h。由例如R1 - h，于该新元素的增加，产生一些其它的新元素（由群的定义）R-hR-h，从几何上可以看出， 正好是关于过R3轴的垂直面的反图2.2E,R1,R2,R3,R4,R5Fh,m,6，构成一个群 D3h群。例7）正方形的真覆盖旋转群D4D4 =E,R1 巴 |*2（江）R3 1*4, R5,R6,R7。2） 12 丿例8）定轴旋转群山2 :绕某个轴的所有旋转构成一个连续群。如线性分子CO,绕其连心线转过任意角度，空间位置保持不变。其对称操作可

6、记作： Rz其中、是旋转角0岂:.27：。定轴旋转群y-2=Rz - , 0乞：2二。血2又称 二维转动群。该群依赖于实参数，所以是连续群。又因为可取无穷多个，所 以该群又是无限群。其群乘结构为 R R i二R ;：i，即群元相乘对应参 数相加。例9）定点旋转群： :绕过一个固定点的任意轴的所有旋转也构成一个连 续群。任意球对称的系统，将它绕通过对称中心的任意轴转过任意角度， 空间位置保持不变。对于这样的旋转，要用三个参数来标志。脚方便的参数就是 确定旋转轴的两个极角及该轴的旋转角。定点旋转群 山3的群元可记作只吨/用殳丫） 0 ti,0 2x,0 y 0）的集合。5） 在加法下，一切整数的集

7、合。6） 在加法下，一切正整数的集合。2集合1,-1,i,-i在普通乘法下，是否构成群？若构成群写出乘法表。3写出循环群C3 -E,R2、平面正三角形的旋转对称群 Da、正方形的 真覆盖旋转群D4的群乘表。D4 = E, R1 , R2, R3, R4 , R5, R6 R72.3群的重排定理（群的一个简单性质）如果ga是群G的任一个固定元，gb取遍G的所有元，那么，乘积g ga gb 也取遍G的所有元，且每一个乘积只出现一次。证明：先证G中的任意元素gc可以写成g ga gb的形式。因为由群的定义 ga G，取 gb= ga gc，贝U 自然有 gga gb。再证ga gb当b不同时，给出

8、G中不同的元素。用反证法，设 b b，而元素，这就完成了证明。ga gb = ga gb ，两边左乘gaJ得gb= gb，这是不可能的。因为群中不存在重复的表2.2 C3的乘法表重排定理是关于群的乘法的重要定理。 它指出每 个群元，在乘法表的每一行或每一列必须出现， 且仅出现一次。乘法表的每一行 或每一列都是群元素的重新排列，不可能有两行或两列元素是相同排列的。 重排定理的例子见表2.1，2.2，2.3，2.4。Gg,g2,和群H人2,的群元及群乘都一一对应，即 G的元素ga 和H的元素ha之间一一对应，使当ga g gc时，有h. hc，贝U两群G和H 称作是同构的。记作：G Ho两个同构的

9、群，在适当调整群元素的顺序后，就有相同的群乘法表。因此作 为抽象的数学群来说，它们是一样的。当然，对同一抽象群，当它用于不同的物 理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。这和初等数学中 2+3=5可以代表不同对象相加是同样的。因为在对称性研究中所用到的大部分群性质， 都是从群乘法表的代数结构得到的， 所以我们可以避免重复，而由群的同构来推得 某些有用的类似性质。同构群阶数相同。在第一节群的例子中可以找出一些同构群。 例如1对应E, -1对应R给出了 1,-1群和C2=E,R同构；又如0对应E，1对应R1，-1对应R2给出了 0,1,-12下群和C3=E,R1,R2群同构；1, -1, i

10、, -i群和C4 (旋转 )群也同构。再如R14对应P1，R2对应P2，R3对应P3, R4对应P4，R5对应卩5给出了 D3群和&群同 构。同态：若群Gg1,g2,gn :和群H = %h2,hm?的群元及群乘不是一一对 应，而是多对一，则两群 G和H称作是同态的。同构是一种特殊的同态，即当 同态映射是一一映射时，同态就是同构。 因此群G和群H同构，则必同态。反之，群G和群H同态，但不一定同构。例：D3h 群和 S2 群同态 o D3h = E, R1, R2 , R3, R4 , Rj ,h；- 1；- 2- 3；- 4；- 5，S2二E,6，其中匚h是平面反射操作。(E,R,R2,R3,

11、R4,R5)与E对应， (ms)与二h对应，则(e,R1,R2,R3,R4,R5)和(m6；产5)分别称作E和匚h的同态对应核。2.5子群子群：给定群G的某些元素往往自身也满足群的定义，这种由群 G的部分元素构成的群就说是群G的子群。任意一个有限群的阶必可被其子群的阶整除，这就是拉格朗日定理。陪集：设H是群G的子群，H =ha。由固定g G , g，H，可生成子群H的左陪集gH 二gha|ha H , （2.4）同样也可生成子群H的右陪集Hg=hag|haH。 （2.5）g就叫陪集因子。有时也将左（右）陪集称为左（右）旁集。当H是有限子群时， 陪集元素的个数等于H的阶。H的任意两个左（或右）陪集，或者有完全相同 的元素，或者没有任何公共元素。把群G的元素，分成其子群H的左陪集串的作法，提供了一种把群 G分割 为不