名师一号B版数学理全解全析文档格式.docx

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答案　

（1）D　

（2）（，＋∞）

【例2】　解析　

（1）因为A∪B＝A，所以B⊆A，

所以m＝3或m＝.

若m＝3，则A＝{1,3，}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A.

若m＝，则m＝0或m＝1.当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A；

当m＝1时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不满足集合中元素的互异性，舍去．

综上，m＝0或m＝3.应选B.

（2）当B＝∅时，只需2a>

a＋3，即a>

3；

当B≠∅时，根据题意作出如右图所示的数轴，可得

或解得a<

－4或2<

a≤3.

综上可得，实数a的取值范围为a<

－4或a>

2.

答案　

（1）B　

（2）{a|a<

2}

变式思考2　解析　

（1）由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，

∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

（2）由log2x≤2，得0<

x≤4，

即A＝{x|0<

x≤4}，而B＝（－∞，a），

由于A⊆B，如右图所示，则a>

4，则c＝4.

答案　

（1）D　

（2）4

【例3】　解析　

（1）∵A＝，

当a＝－4时，B＝{x|－2<

x<

2}，

∴A∩B＝，A∪B＝{x|－2<

x≤3}．

（2）∁RA＝，当（∁RA）∩B＝B时，B⊆∁RA.

①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；

②当B≠∅，即a<

0时，B＝{x|－<

}，要使B⊆∁RA，需≤，解得－≤a<

0.

综上可得，实数a的取值范围是a≥－.

变式思考3　解析　

（1）集合A＝{x|x>

2或x<

0}，所以A∪B＝{x|x>

0}∪{x|－<

}＝R，选择B.

（2）由题意可知，集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x<

2或x>

4}，此时A∩∁RB＝{x|0≤x<

4}，故选C.

答案　

（1）B　

（2）C

自主体验

1．解析　本题在给出新的运算法则的前提下，考查学生的运算求解能力．在B选项中，[a*（b*a）]*（a*b）＝b*（a*b）＝a，故B项正确；

在C选项中，将a*（b*a）＝b中的a换成b，即得b*（b*b）＝b成立，故C项正确；

在D选项中，令a*b＝c，则c*（b*c）＝b成立，故D项正确；

只有A选项不能恒成立．

答案　A

2．解析　本题考查归纳推理，集合的性质，

若（x，y，z）∈S，则令M：

x，y，z，x，y，z，…，则M中任意三个连续的数组成的元素均在集合S中；

同理，由（z，w，x）∈S，知令N：

z，w，x，z，w，x，z，w，x，…，则N中任意三个连续的数组成的元素均在集合S中；

则令Q：

x，y，z，w，x，y，z，w，…，则Q中任意四个连续的数中的任意三个数（顺序不变）组成的元素在集合S内，由此分析，知选B.

第二节　命题与量词、基本逻辑联结词

1．判断真假

2．所有　全称量词　∀x∈M，p（x）　有一个　有些　至少有一个　存在量词　∃x∈M，q（x）

3．∃x∈A，綈p（x）　∀x∈A，綈q（x）

4．真　真　假　假　真　假　假　真　真　假　假　真

1．解析　由真值表知，綈q是真命题，故选D.

答案　D

2．解析　全称命题的否定是存在性命题，“sinx≤1”的否定是“sinx>

1”，故选C.

3．解析　“p∨q”为真，则命题p、q中至少有一个为真，“p∧q”为假，则命题p、q中至少有一个为假，则“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是“p、q中有且只有一个为真”．

4．答案　所有的三角形都不是等边三角形

5．解析　∃x0∈R,2x－3ax0＋9<

0为假命题，则∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2.

答案　[－2，2]

【例1】　解析　由f′（x）＝（2x－2－x）′＝ln2[2x＋（）x]>

0知，命题p1是真命题，綈p1是假命题；

g′（x）＝（2x＋2－x）′＝ln2[2x－（）x]，当x∈（0，＋∞）时，g′（x）>

0，故命题p2是假命题，綈p2是真命题，从而命题q1、q4是真命题，故选C.

变式思考1　解析　因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），所以p是真命题；

因为函数y＝x－的单调递增区间是（－∞，0）和（0，＋∞），所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.

【例2】　解析　对于A，an＋1－an＝a（n＋1）＋b－（an＋b）＝a，a是常数．A项正确；

对于B，∀x∈（－∞，0），2x>

3x，B不正确；

对于C，易知3x≠0，因此C项正确；

对于D，注意到lg1＝0，因此D项正确．

变式思考2　解析　

（1）由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>

0，即x2＋2>

0.所以命题“∀x∈R，x2＋2>

0”是真命题．

（2）由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．

（3）由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<

1，所以命题“∃x∈Z，x3<

1”是真命题．

（4）由于使x2＝3成立的数只有±

，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．

（5）假命题，因为只有x>

1时满足．

（6）假命题，因为不存在一个实数x使x2＋1＝0成立．

答案　

（1）真　

（2）假　（3）真　（4）假　（5）假　（6）假

【例3】　解　

（1）綈p：

∃x∈R，x2－x＋<

0，假命题．

（2）綈q：

至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

（3）綈r：

∀x∈R，x2＋2x＋2>

0，真命题．

（4）綈s：

∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

变式思考3　解析　

（1）全称命题的否定为存在性命题，故选D.

（2）已知此命题是一个存在性命题，根据存在性命题的否定形式，可知其否定是一个全称命题，然后把“ex>

x”改为“ex≤x”即得答案．

答案　

（1）D　

（2）C

1．解析　由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a2－4>

0，解得a>

2或a<

－2.

答案　（－∞，－2）∪（2，＋∞）

2．解　若p是真命题，则0<

1，

若q是真命题，则ymin>

1，又ymin＝2a，∴2a>

∴q为真命题时a>

；

又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．

若p真q假，则0<

a≤；

若p假q真，则a≥1.

故a的取值范围为0<

a≤或a≥1.

第二节　充分条件、必要条件与命题的四种形式

1．

（1）充分条件　必要条件　

（2）充要条件

2．

（1）若q，则p　若綈p，则綈q　若綈q，则綈p　

（2）①相同　②无关

1．解析　逆命题只需将原命题的条件与结论交换即可．

2．解析　“x＋y是偶数”的否定为“x＋y不是偶数”，“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”．因此其逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

3．解析　由A⊆B，得A∩B＝A；

反过来，由A∩B＝A，且A∩B⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．

4．解析　原命题的条件：

在△ABC中，∠C＝90°

，

结论：

∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°

，则∠A、∠B不都是锐角”．

答案　“在△ABC中，若∠C≠90°

，则∠A、∠B不都是锐角”

5．解析　①由2>

－3/⇒22>

（－3）2知，该命题为假；

②由a2>

b2⇒|a|2>

|b|2⇒|a|>

|b|知，该命题为真；

③a>

b⇒a＋c>

b＋c，又a＋c>

b＋c⇒a>

b，∴“a>

b”是“a＋c>

b＋c”的充要条件为真命题．

答案　②③

【例1】　解析　①中否命题为“若a＝0，则ab＝0”，正确；

②中逆命题不正确；

③中，Δ＝1＋4m，当m>

0时，Δ>

0，原命题正确，故其逆否命题正确；

④中原命题正确故逆否命题正确．

变式思考1　解析　

（1）原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：

若y＝f（x）的图象不过第四象限，则函数y＝f（x）是幂函数．显然此命题为假．

又∵逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．

（2）①的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；

②的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，为假命题；

在③中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，故③为真命题；

④的逆命题为“三个内角相等的三角形不是等边三角形”，为假命题．故填①③.

答案　

（1）C　

（2）①③

【例2】　解析　当φ＝π时，y＝sin（2x＋π）＝－sin2x，则曲线y＝－sin2x过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”；

当φ＝2π时，y＝sin（2x＋2π）＝sin2x，则曲线y＝sin2x过坐标原点，所以曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点⇒/φ＝π，所以“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.

变式思考2　解析　

（1）由题可知q⇒綈p，而綈p/⇒q等价于p⇒綈q，但綈q/⇒p.故p是綈q的充分不必要条件．选A.

（2）由题意得A∪B＝{x∈R|x<

0或x>

2}，C＝{x∈R|x<

2}，故A∪B＝C，则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．

答案　

（1）A　

（2）C

【例3】　解　由题意p：

－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.

∴綈p：

1或x>

5.又∵q：

m－1≤x≤m＋1，

∴綈q：

m－1或x>

m＋1.

又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，

∴∴2≤m≤4.

变式思考3　解析　

（1）设q，p表示的范围为集合A，B

则A＝（2,3），B＝（a－4，a＋4）．

因为q是p的充分条件，则有A⊆B，

则所以－1≤a≤6.

（2）∵4x＋m<

0，∴x<

－，∴p：

－.

∵x2－x－2>

－1或x>

2.∴q：

∵p⇒q，∴－≤－1，∴m≥4.

即m的取值范围是[4，＋∞）．

答案　

（1）－1≤a≤6　

（2）[4，＋∞）

1．解析　本题考查原命题的否命题的写法．“a＋b＋c＝3”的否定是“a＋b＋c≠3”，“a2＋b2＋c2≥3”的否定是“a2＋b2＋c2<

3”．原命题是“若p，则q”，则其否命题是“若綈p，则綈q”，故命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<

3”．

2．解析　“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是x＋y>

2，因为若x，y都不大于1，则x＋y>

2不成立．但是x，y中至少有一个数大于1，不一定有x＋y>

2，如x＝4，y＝－8，则x＋y＝－4，故选B.

第二章　函数、导数及其应用

第一节　函数及其表示

1．

（1）非空　唯一　x　

（2）自变量　函数值　{y|y＝f（x），x∈A}　（3）定义域　对应法则　值域

2．任意　有一个且仅有一个元素　A→B　定义域　值域

3．不同的对应法则

1．解析　f（x）＝g（x＋2）＝2（x＋2）＋3＝2x＋7.

2．解析　f（3）＝，f（f（3））＝2＋1＝.

3．解析　B中一个x对应两个函数值，不符合函数定义．

4．解析　对于函数①②，M中的2,4两元素在N中找不到象与之对应，对于函数③，M中的－1,2,4在N中没有象与之对应，故选D.

5．解析　f[g

（1）]＝f（3）＝1.

x

1

2

3

f[g（x）]

g[f（x）]

故f[g（x）]＞g[f（x）]的解为x＝2.

答案　1　2

【例1】　解析　

（1）由函数的定义知①正确．②中满足f（x）＝＋的x不存在，所以②不正确．③中y＝2x（x∈N）的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确．故选A.

（2）对于①，当0∈A时，y＝0∉B，故①所给的对应法则不是A到B的映射，当然它不是A上的函数关系；

对于②，当2∈A时，y＝∉B，故②所给的对应法则不是A到B的映射，当然它不是A上的函数关系；

对于③，对于A中的任一个数，按照对应法则，在B中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A到B的映射，这两个数集之间的关系是集合A上的函数关系．

答案　

（1）A　

（2）B

变式思考1　解析　

（1）选项A，B中，定义域不同，选项C中，对应法则不同，只有选项D中的两个函数的三要素相同．故选D.

（2）由函数定义可知，自变量x对应唯一的y值，所以③④错误，①②正确．

答案　

（1）D　

（2）①②

【例2】　解析　

（1）令t＝＋1，则x＝，

∴f（t）＝lg，即f（x）＝lg.

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝2，得c＝2，

f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）－ax2－bx＝x－1，

即2ax＋a＋b＝x－1，

∴即

∴f（x）＝x2－x＋2.

（3）∵f（x）＋2f（）＝x，∴f（）＋2f（x）＝.

解方程组得f（x）＝－（x≠0）．

变式思考2　解　

（1）令t＝＋1，∴t≥1，x＝（t－1）2.

则f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，

∴f（x）＝x2－1（x≥1）．

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），又f（0）＝c＝3.

∴f（x）＝ax2＋bx＋3，

∴f（x＋2）－f（x）＝a（x＋2）2＋b（x＋2）＋3－（ax2＋bx＋c）＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.

∴∴

∴f（x）＝x2－x＋3.

【例3】　解析　

（1）由于f

（1）＝12，所以3·

（t－1）1＝12，解得t＝5.

于是f（－）＝log2[（－）2＋1]＝2，因此f（f（－））＝f

（2）＝3×

42＝48，故选B.

（2）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象如右图，令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝a，则由题意知f（x）＝a有三个不相等的实根x1，x2，x3，即函数f（x）的图象与直线y＝a的图象有三个交点，由图象可以看出，只有当2<

4时，两个图象才有三个交点．这时不妨设x1<

x2<

x3，则一定有x2＋x3＝4，且－1<

x1<

0，于是3<

x1＋x2＋x3<

4，即x1＋x2＋x3的取值范围是（3,4）．

答案　

（1）B　

（2）（3,4）

变式思考3　解析　

（1）由题意得f（）＝log3＝－2，

f（f（））＝f（－2）＝2－2＝.

（2）当x≤1时，令3x＝2，解得x＝log32；

当x>

1时，令－x＝2，解得x＝－2，与x>

1矛盾，舍去．

故x的值为log32.

答案　

（1）B　

（2）log32

1．解析　依题意有f＝f＋1＝f＋2

＝cos＋2＝，

f＝cos＝cos＝－，

所以f＋f＝1，故选D.

2．解析　当x∈（－∞，1]时，函数值域为；

当x∈（1，＋∞）时，值域为（0，＋∞）．因为f（x）＝∈（0，＋∞），所以x∈（1，＋∞），所以log81x＝，x＝81＝3.故选B.

第二节　函数的定义域与值域

1．

（1）不等于零　

（2）大于或等于0　（3）R　（4）R　（5）（0，＋∞）　（6）{x|x≠0}

2．

（1）R　

（2）{y|y≥}　{y|y≤}　（3）{y|y≠0}　（4）{y|y＞0}　（5）R

1．解析　f（x）＝的定义域M即1－x2≥0的解集，故M＝{x|－1≤x≤1}．由补集的运算知∁RM＝（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

2．解析　画出图象可求值域．

3．解析　∵x2＋2≥2，∴0<

≤.∴0<

y≤.

4．解析　由得x≥4且x≠5.

答案　{x|x≥4且x≠5}

5．解析　∵有意义，∴x≥0.

又y＝x2＋3x－5＝2－－5，

∴当x＝0时，ymin＝－5.

答案　[－5，＋∞）

【例1】　解析　

（1）由已知得

∴∴x≥，∴f（x）的定义域为.

（2）A＝{x|x≠1}，y＝f[f（x）]，∴x≠1，且f（x）≠1，故B＝{x|x≠1且x≠0}．∴BA，故A∩B＝B，选D.

答案　

（1）　

（2）D

变式思考1　解　

（1）要使该函数有意义，需要

则有解得－3<

0或2<

3，

所以所求函数的定义域为（－3,0）∪（2,3）．

（2）∵函数f（x）的定义域是[－1,1]，

∴－1≤x≤1，∴－1≤log2x≤1，∴≤x≤2.

故f（log2x）的定义域为.

【例2】　解析　

（1）由3＋2x－x2≥0得函数定义域为[－1,3]，又t＝3＋2x－x2＝4－（x－1）2.

∴t∈[0,4],∈[0,2]，从而ymin＝2（当x＝1时）；

ymax＝4（当x＝－1或x＝3时）．故值域为[2,4]．

（2）方法1：

令＝t（t≥0），则x＝.

∴y＝1－t2－t＝－2＋.

∵二次函数对称轴为t＝－，

∴在[0，＋∞）上，y＝－2＋是减函数．

故ymax＝－2＋＝1，

故函数有最大值1，无最小值，其值域为（－∞，1]．

方法2：

∵y＝2x与y＝－均为定义域上的增函数，故y＝2x－是定义域为{x|x≤}上的增函数，故ymax＝2×

－＝1，无最小值．

故函数的值域为（－∞，1]．

（3）方法1：

∵函数y＝x＋是定义域为{x|x≠0}上的奇函数，故其图象关于原点对称，故只讨论x＞0时，即可知x＜0时的最值．

∴当x＞0时，y＝x＋≥2＝4，

等号当且仅当x＝2时取得；

当x＜0时，y≤－4，等号当且仅当x＝－2时取得．

综上，函数的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞），无最值．

任取x1，x2，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，

因为Δy＝f（x2）－f（x1）

＝x2＋－

＝.

所以当x≤－2或x≥2时，f（x）递增；

当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f（x）递减．

故x＝－2时，f（x）极大值＝f（－2）＝－4，

x＝2时，f（x）极小值＝f

（2）＝4，

所以所求函数的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞），无最大（小）值．

（4）由y＝，得3x＝.

∵3x＞0，∴＞0，∴0＜y＜1.

∴原函数的值域为（0,1），无最值．

变式思考2　解　

（1）方法1：

（分离常数法）

y＝＝－1＋，

∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<

≤2.

∴－1<

－1＋≤1.

即函数值域为（－1,1]．

（反解法）

由y＝，得x2＝.

∵x2≥0，∴≥0.

y≤1，即函数值域为（－1,1]．

（2）（配方法）y＝，

∴0≤y≤，∴值域为[0，]．

（3）由y＝x＋＋1（x≠0），得y－1＝x＋.

∵＝|x|＋≥2＝2，

∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.

故函数的值域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）

（4）考虑函数单调性，由解得0≤x≤6，

即函数的定义域为[0,6]．

因为函数y＝－在[0,6]上单调递增，

所以ymin＝－，在x＝0处取得；

ymax＝2，在x＝6处取得，

故函数的值域为[－，2]．

【例3】　解　

（1）方程f（x）＝x，即ax2＋bx＝x，

亦即ax2＋（b－1）x＝0，

由方程有两个相等的实根，得Δ＝（b－1）2－4a×

0＝0，

∴b＝1.

由f

（2）＝0，得4a＋2b＝0.

由①、②得，a＝－，b＝1，

故f（x）＝－x2＋x.

（2）假设存在实数m、n满足条件，由

（1）知，

f（x）＝－x2＋x＝－（x－1）2＋≤，

则2n≤，即n≤.

∵f（x）＝－（x－1）2＋的对称轴为x＝1，

∴当n≤时，f（x）在[m，n]上为增函数．

于是有即

∴又m<

n≤，∴

故存在实数m＝－2，n＝0，使f（x）的定义域为[m，n]，值域为[2m,2n]．

变式思考3　解　f（x）＝x2－4ax＋2a＋6＝（x－2a）2＋2a＋6－4a2.

（1）∵函数值域为[0，＋∞），∴2a＋6－4a2＝0.

解得a＝－1或a＝.

（2）∵函数值域为非负数集，∴2a＋6－4a2≥0.

即2a2－a－3≤0，解得－1≤a≤.

∴f（a）＝2－a|a＋3|＝2－a（a＋3）＝－（a＋）2＋.

∴f（a）在[－1，]上单调递减．∴－≤f（a）≤4.

即f（a）值域为[－，4]．

1．解析　f（x）＝

由图象知函数的值域为.

2．解析　根据绝对值的意义，

y＝＝

在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，

当0<

k<

1或1<

4时有两个交点．

答案　（0,1）∪（1,4）

第三节　函数的单调性

1．

（1）f（x1）<

f（x2）　f（x1）>

f（x2）　逐渐上升　逐渐下降

（2）增函数　减函数　区间D

1．解析　结合函数的图象易知选D.

2．解析　由2k＋1<