与三角形有关的线段和角2学案Word格式.docx

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2.会画三角形的主要线段；

知道三角形的内心、外心和重心

3.掌握三角形内角和定理及推论；

4.按要求解决三角形的边、角的计算问题

5.能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；

教学重点

1.三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质；

2.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和；

教学难点

三角形的三边关系的应用及三角形内角和定理的综合应用

教学过程

一、复习预习

1.一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的三边长．

【答案】解：

∵周长大于4且不大于10，∴周长为5，6，7，8，9，10，

当周长为5时，最长边不能超过2，三边长只能是2，2，1；

当周长为6时，最长边不能超过2，三边长只能是2，2，2；

当周长为7时，最长边不能超过3，三边长只能是2，2，3；

1，3，3；

当周长为8时，最长边不能超过3，三边长只能是2，3，3；

当周长为9时，最长边不能超过4，三边长只能是2，3，4；

3，3，3；

1，4，4；

当周长为10时，最长边不能超过4，三边长只能是2，4，4；

3，3，4．

【解析】考查了三角形的三边关系，三角形三边关系定理．

二、知识讲解

1.三角形的分类：

2.三角形的高、中线、角平分线

（1）三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心.

（2）三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.

（3）三角形的角平分线：

在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的内角与外角

（1）三角形的内角：

✓定义：

三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.

✓三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°

.

✓三角形内角和定理的作用：

①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角的关系，可求出其内角度数；

③求一个三角形中各角之间的关系。

（2）三角形的外角

三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形外角和为360°

。

✓性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

4．三角形的三边关系

（1）三边关系性质：

三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.

（2）三边关系的应用：

判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；

反之，则不能组成三角形.当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围。

考点/易错点1

关于三角形的高的注意事项：

（1）三角形的高线是一条线段；

（2）锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；

钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；

直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，它们的交点是直角的顶点，另一条在三角形的内部。

考点/易错点2

关于三角形的中线的注意事项：

（1）三角形的中线是一条线段；

（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形；

（3）三角形三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.

考点/易错点3

关于三角形的角平分线的注意事项：

（1）三角形的角平分线是一条线段；

（2）三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心.

考点/易错点4

三角形的外角特点：

（1）外角的顶点是三角形的一个顶点；

（2）外角的一条边是三角形的一边；

（3）外角的另一条边是三角形某条边的延长线.

考点/易错点5

三角形三边关系注意：

①这里的“两边”指的是任意的两边.对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；

②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用。

三、例题精析

【例题1】

【题干】△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG=6，则线段DG的长为（　　）

A．

2

B．

3

C．

6

D．

12

【例题2】

【题干】如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何（　　）

5

7

10

【例题3】

【题干】如图BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，请你探索∠A和∠P的数量关系．

解：

∵BP平分∠ABC（已知），∴∠PBC=

∠ABC（）．

同理可得∠PCB=

∠ACB。

∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°

（）

∴∠BPC=180°

﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）

=180°

﹣

（∠ABC+∠ACB）（）

（180°

﹣∠）

=90°

+

∠．

【例题4】

【题干】如图，在△ABC中，∠B＜∠C＜∠A，∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D．若∠ABC=∠AEB，∠D=∠BAD．求∠BAC的度数．

四、课堂运用

【基础】

1.有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（　　）

1

4

2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果∠ABD=30°

，则∠ABC=．

3.如图，在△ABC中，∠A=84°

，D是BC延长线上的一点，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点E′，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，那么∠BE′C=，∠BE′C﹣∠E=．

4.如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°

，则∠A=．

5..△ABC边长a，b，c均为整数，且a和b满足|a﹣4|+（b﹣1）2=0，求△ABC中c边的长．

【巩固】

1.如图，O是△ABC的重心，则

的值是（　　）

2.△ABC中，AD是高，角平分线AE、BF相交于点O．

（1）若∠ABC=60°

，∠C=70°

，∠DAE和∠BOA的度数；

（2）若∠ABC=α，∠C=β（α＜β），请用含有α、β的代表式表示∠DAE=　　．

3.如图，已知∠MON=90°

，点A，B分别在射线OM，ON上移动，∠OAB的角平分线与∠ABO的外角平分线交于点C．

①当∠OAB=60°

时，求∠ACB的度数；

②试猜想，随着点A，B的移动，∠ACB的度数是否变化？

说明理由．

【拔高】

1.四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．

求证：

AC+BD＞

（AB+BC+CD+DA）．

证明：

在△OAB中有OA+OB＞AB

在△OAD中有，

在△ODC中有，

在△OBC中有，

∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA

即：

，

（AB+BC+CD+DA）

2.如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．

（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；

（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，

问：

点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？

若不发生变化，请求出其值；

若发生变化，请说明理由；

（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？

请写出你的结论并说明理由．

课程小结

1.三角形的角平分线、中线和高线的性质

2.三角形的面积的应用

3.三角形的稳定性

4.三角形的重心

5.三角形三边关系

6.三角形内角和定理及外角性质的应用

课后作业

1.（2013•河北）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°

，∠C=100°

，如图2．下列说法正确的是（　　）

点M在AB上

点M在BC的中点处

点M在BC上，且距点B较近，距点C较远

点M在BC上，且距点C较近，距点B较远

2.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（　　）

13

3.AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是acm．则AE+CD+BF=cm．

4.如图，在△ABC中，∠B=47°

，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．

5.△ABC有两边长为3、7，第三边的长是关于x的方程

解，求a的取值范围．

1.在△ABC中，D、E、F三点将BC分成四等分，XG：

BX=1：

3，H为AB中点．△ABC重心是

X

Y

Z

W

2.

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，

①图2中共有个“8字形”；

②若∠ABC=80°

，∠ADC=38°

，求∠P的度数；

（提醒：

解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法）

③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．

3.如图，在△ABC中，∠A=60°

，点E是两条内角平分线的交点，点F是两条外角平分线，点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点．

（1）求∠A1EC的度数；

（2）求∠BFC的度数；

（3）探索∠A1与∠A的数量关系，并说明理由；

1.如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°

∠A（不必证明，本题可直接运用）；

在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：

如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在图②中存在如图③的基本图形：

点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：

BO⊥BO′；

（2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；

（3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．

2.如图

（1）所示，一副三角板中，含45°

角的一条直角边AC在y轴上，斜边AB交x轴于点G．含30°

角的三角板的顶点与点A重合，直角边AE和斜边AD分别交x轴于点F、H．

（1）若AB∥ED，求∠AHO的度数；

（2）如图2，将三角板ADE绕点A旋转．在旋转过程中，∠AGH的平分线GM与∠AHF的平分线HM相交于点M，∠COF的平分线ON与∠OFE的平分线FN相交于点N．

①当∠AHO=60°

时，求∠M的度数；

②试问∠N+∠M的度数是否发生变化？

若改变，求出变化范围；

若保持不变，请说明理由．