与三角形有关的线段和角2学案Word格式.docx
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2.会画三角形的主要线段;
知道三角形的内心、外心和重心
3.掌握三角形内角和定理及推论;
4.按要求解决三角形的边、角的计算问题
5.能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题;
教学重点
1.三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质;
2.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和;
教学难点
三角形的三边关系的应用及三角形内角和定理的综合应用
教学过程
一、复习预习
1.一个三角形的各边长均为整数,周长大于4且不大于10,请写出所有满足条件的三角形的三边长.
【答案】解:
∵周长大于4且不大于10,∴周长为5,6,7,8,9,10,
当周长为5时,最长边不能超过2,三边长只能是2,2,1;
当周长为6时,最长边不能超过2,三边长只能是2,2,2;
当周长为7时,最长边不能超过3,三边长只能是2,2,3;
1,3,3;
当周长为8时,最长边不能超过3,三边长只能是2,3,3;
当周长为9时,最长边不能超过4,三边长只能是2,3,4;
3,3,3;
1,4,4;
当周长为10时,最长边不能超过4,三边长只能是2,4,4;
3,3,4.
【解析】考查了三角形的三边关系,三角形三边关系定理.
二、知识讲解
1.三角形的分类:
2.三角形的高、中线、角平分线
(1)三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高交于一点,这一点叫做三角形的垂心.
(2)三角形的中线:
在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.
(3)三角形的角平分线:
在三角形中,一个内角的平分线和对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的内角与外角
(1)三角形的内角:
✓定义:
三角形中相邻两边组成的角,叫做三角形的内角.
✓三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
.
✓三角形内角和定理的作用:
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数;
②已知三角形三个内角的关系,可求出其内角度数;
③求一个三角形中各角之间的关系。
(2)三角形的外角
三角形一边与另一边延长线组成的角,叫做三角形的外角。
三角形外角和为360°
。
✓性质:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
4.三角形的三边关系
(1)三边关系性质:
三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.
(2)三边关系的应用:
判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;
反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可求第三边长的取值范围。
考点/易错点1
关于三角形的高的注意事项:
(1)三角形的高线是一条线段;
(2)锐角三角形的三条高都在三角形内,三条高的交点也在三角形内部;
钝角三角形有两条高落在三角形的外部,一条在三角形内部,三条高所在直线交于三角形外一点;
直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边,它们的交点是直角的顶点,另一条在三角形的内部。
考点/易错点2
关于三角形的中线的注意事项:
(1)三角形的中线是一条线段;
(2)三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形;
(3)三角形三条中线交于一点,这一点叫做三角形的重心.
考点/易错点3
关于三角形的角平分线的注意事项:
(1)三角形的角平分线是一条线段;
(2)三角形的三条角平分线交于一点,这一点叫做三角形的内心.
考点/易错点4
三角形的外角特点:
(1)外角的顶点是三角形的一个顶点;
(2)外角的一条边是三角形的一边;
(3)外角的另一条边是三角形某条边的延长线.
考点/易错点5
三角形三边关系注意:
①这里的“两边”指的是任意的两边.对于“两边之差”它可能是正数,也可能是负数,一般地取“差”的绝对值;
②三角形的三边关系是“两点之间,线段最短”的具体应用。
三、例题精析
【例题1】
【题干】△ABC中,AD是BC边上的中线,G是重心.如果AG=6,则线段DG的长为( )
A.
2
B.
3
C.
6
D.
12
【例题2】
【题干】如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝的距离之最大值为何( )
5
7
10
【例题3】
【题干】如图BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB,请你探索∠A和∠P的数量关系.
解:
∵BP平分∠ABC(已知),∴∠PBC=
∠ABC().
同理可得∠PCB=
∠ACB。
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
()
∴∠BPC=180°
﹣∠PBC﹣∠PCB(等式的性质)
=180°
﹣
(∠ABC+∠ACB)()
(180°
﹣∠)
=90°
+
∠.
【例题4】
【题干】如图,在△ABC中,∠B<∠C<∠A,∠BAC和∠ABC的外角平分线AE、BD分别与BC、CA的延长线交于E、D.若∠ABC=∠AEB,∠D=∠BAD.求∠BAC的度数.
四、课堂运用
【基础】
1.有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为( )
1
4
2.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BE是AC边上的中线,如果AC=10cm,则AE=cm,如果∠ABD=30°
,则∠ABC=.
3.如图,在△ABC中,∠A=84°
,D是BC延长线上的一点,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点E′,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E,那么∠BE′C=,∠BE′C﹣∠E=.
4.如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BOC=120°
,则∠A=.
5..△ABC边长a,b,c均为整数,且a和b满足|a﹣4|+(b﹣1)2=0,求△ABC中c边的长.
【巩固】
1.如图,O是△ABC的重心,则
的值是( )
2.△ABC中,AD是高,角平分线AE、BF相交于点O.
(1)若∠ABC=60°
,∠C=70°
,∠DAE和∠BOA的度数;
(2)若∠ABC=α,∠C=β(α<β),请用含有α、β的代表式表示∠DAE= .
3.如图,已知∠MON=90°
,点A,B分别在射线OM,ON上移动,∠OAB的角平分线与∠ABO的外角平分线交于点C.
①当∠OAB=60°
时,求∠ACB的度数;
②试猜想,随着点A,B的移动,∠ACB的度数是否变化?
说明理由.
【拔高】
1.四边形ABCD是任意四边形,AC与BD交点O.
求证:
AC+BD>
(AB+BC+CD+DA).
证明:
在△OAB中有OA+OB>AB
在△OAD中有,
在△ODC中有,
在△OBC中有,
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA
即:
,
(AB+BC+CD+DA)
2.如图,A、B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动,点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动.
(1)若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0,试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标;
(2)设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P,
问:
点A、B在运动的过程中,∠P的大小是否会发生变化?
若不发生变化,请求出其值;
若发生变化,请说明理由;
(3)如图,延长BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G,过点G作BE的垂线,垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何?
请写出你的结论并说明理由.
课程小结
1.三角形的角平分线、中线和高线的性质
2.三角形的面积的应用
3.三角形的稳定性
4.三角形的重心
5.三角形三边关系
6.三角形内角和定理及外角性质的应用
课后作业
1.(2013•河北)如图1,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°
,∠C=100°
,如图2.下列说法正确的是( )
点M在AB上
点M在BC的中点处
点M在BC上,且距点B较近,距点C较远
点M在BC上,且距点C较近,距点B较远
2.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为( )
13
3.AD、BE、CF是△ABC的三条中线,若△ABC的周长是acm.则AE+CD+BF=cm.
4.如图,在△ABC中,∠B=47°
,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=.
5.△ABC有两边长为3、7,第三边的长是关于x的方程
解,求a的取值范围.
1.在△ABC中,D、E、F三点将BC分成四等分,XG:
BX=1:
3,H为AB中点.△ABC重心是
X
Y
Z
W
2.
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)如图2,AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,
①图2中共有个“8字形”;
②若∠ABC=80°
,∠ADC=38°
,求∠P的度数;
(提醒:
解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法)
③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系,并说明理由.
3.如图,在△ABC中,∠A=60°
,点E是两条内角平分线的交点,点F是两条外角平分线,点A1是内角∠ABC、外角∠ACD平分线的交点的交点.
(1)求∠A1EC的度数;
(2)求∠BFC的度数;
(3)探索∠A1与∠A的数量关系,并说明理由;
1.如图①,BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线,我们易得∠BOC=90°
∠A(不必证明,本题可直接运用);
在图②中,当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时,求∠BO′C与∠A的数量关系.我们可以利用“转化”的思想,将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC:
如图②,作BO、CO平分∠ABC和∠ACB.
(1)在图②中存在如图③的基本图形:
点A、B、D在同一直线上,且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC,试证明:
BO⊥BO′;
(2)试直接利用上述基本图形的结论,猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系;
(3)如图④,BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线,试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系.
2.如图
(1)所示,一副三角板中,含45°
角的一条直角边AC在y轴上,斜边AB交x轴于点G.含30°
角的三角板的顶点与点A重合,直角边AE和斜边AD分别交x轴于点F、H.
(1)若AB∥ED,求∠AHO的度数;
(2)如图2,将三角板ADE绕点A旋转.在旋转过程中,∠AGH的平分线GM与∠AHF的平分线HM相交于点M,∠COF的平分线ON与∠OFE的平分线FN相交于点N.
①当∠AHO=60°
时,求∠M的度数;
②试问∠N+∠M的度数是否发生变化?
若改变,求出变化范围;
若保持不变,请说明理由.