投影特性精Word格式.docx

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3.3.3.2平面上的直线

一直线若通过平面内的两点，则此直线必位于该平面上，由此可知，平面上直线的投影，必定是过平面上两已知点的同面投影的连线。

若点在直线上，直线在平面上，则点必定在平面上。

在平面上取点，首先要在平面上取线。

而在平面上取线，又离不开在平面上取点。

【例3-14】已知ΔABC平面上点M的正面投影m′，求它的水平投影图m（图3-33（a））。

分析：

点M在ΔABC平面上，必然经过平面上一直线；

m′和m应分别位于该直线的同名投影上。

因此，要补全点M的投影，需先在ΔABC内作出过点M的辅助线。

作图方法一：

（a）已知条件（b）在正面投影上过a′和（c）自m′向下引OX轴的m′作辅助线a′m′，并延长垂线，与ad相交于m，

与b′c′相交于d′；

自d′向下m即为所求。

引OX轴的垂线，与bc相

交于d，连ad；

图3-33补出平面上点M的水平投影作图方法一

作图方法二（图3-35（c））

（a）已知条件（b）过m′作辅助线e′f′，使（c）自m′向下引OX轴的

e′f′∥a′c′；

并与b′c′相交于垂线，与ef相交于m，m

e′；

自e′向下引OX轴的垂即为所求。

线，与bc相交于e，作

ef∥ac；

；

图3-34补出平面上点M的水平投影作图方法二

3.3.4平面内的特殊位置直线

平面内的直线，其位置各不相同。

其中常用的有平面上的正平线和水平线，以及与投影面成倾角最大的直线——最大斜度线，这些线统称为平面内投影面的特殊位置直线。

3.3.4.1平面内的正平线和正平线

要在一般面ABC上作一条正平线，可根据正平线的H投影是水平的这个投影特点，先在ABC的水平投影上作一任意水平线，作为所求正平线的H投影，然后作出它的V投影，如图3-35所示。

图3-35在平面上作正平线

在ABC上作水平线，也要抓住它的V投影一定水平的投影特点，作图步骤如图3-36所示。

图3-36在平面上作水平线

3.3.4.2平面内的最大斜度线

平面上对某投影面的最大斜度线，就是在该面上对该投影面倾角最大的一条直线。

它必然垂直于平面上平行于该投影面的所有直线。

如图3.50（a）所示，平面P上的直线AB，是平面P上对H面倾角最大的直线。

图3-38平面内对H面的最大斜度线

要作△ABC对H面的最大斜度线，如图3-39（a）所示。

图3-39（b）中BK垂直于正平线AD，所以它就是面上对V面的最大斜度线。

（a）H面的最大斜度线（b）V面的最大斜度线

图3-39作平面上的最大斜度线

3.3.5直线与平面相交、平面与平面相交

直线与平面相交有一个交点，交点是公共点，它即在直线上又在平面上；

平面与平面相交有一条交线，交线是两平面的公共线，即同时位于两个平面上，求交点、交线，利用共有性求解。

3.3.5.1特殊情况相交

特殊情况相交，是指参与相交的无论是直线还是平面，至少有一个元素对投影面处于特殊位置，它在该投影面上的投影有积聚性。

在投影作图中，则利用积聚性可以直接确定交点或交线的一个投影，而后再利用线上定点或面上定点的方法求交点的第二个投影，利用面上定线的方法求出交线的第二投影。

（1）直线与平面相交

图3-40所示为直线AB与铅垂面P相交。

铅垂面的水平投影具有积聚性，积聚投影与直线的水平投影的交点即为交点的投影，而交点的另一投影必在该直线的另一投影上。

图3-40一般直线与铅垂面相交

直线与平面相交后，直线便从平面的一侧到了平面的另一侧（以交点为分界）。

假定平面是不透明的，则沿投射方向观察直线时，位于平面两侧的直线，一侧直线看得见，另一侧直线则被平面遮挡而看不见，这就有判别可见性的问题。

在作图时，要把看得见的直线画成粗实线，把看不见的直线画成虚线，交点是可见与不可见的分界点。

【例3-17】求一般位置直线AB与铅垂面P的交点K。

分析：

因为平面P是一铅垂面，其水平投影p有积聚性，所以的水平投影k在p上，而交点K又在直线AB上，所以K的水平投影应在直线AB的水平投影ab上。

因此，直线AB的水平投影ab与平面P的水平投影p的交点便是交点K的水平投影k。

根据点在直线上的投影特点，可在a′b′上求出k′。

作图方法

（a）已知条件（b）在直线AB的水（c）自k向上作OX（c）判断可见性。

平投影ab和平面的轴垂线，与直线AB

积聚投影p的交点的正面投影a′b′交于

处标出交点的水平k′，k′为交点的正面

投影k；

投影。

图3-41求作一般位置直线与铅垂面的交点

因为平面P为铅垂面，所以看水平投影时直线都看得见（未被平面遮挡）；

从水平投影上可以看出，ak在p面之前，所以其正面投影a′k′为可见，b′k′与p′重影部分为不可见。

【例3-18】已知铅垂线MN和一般位置平面ΔABC相交，求它们的交点K。

因为铅垂线MN的水平投影有积聚性，所以位于铅垂线MN上的交点K的水平投影k必然与铅垂线的水平投影m（n）重合。

交点的水平投影的位置确定之后，就可以利用面上定点的方法求出交点的正面投影k′。

（a）已知条件（b）在铅垂线MN的水（c）在平面内过k点作（d）判断可见性

平积聚投影m（n）上，辅助线ad，并作出它

标出交点K的水平投影的正面投影a′d′，a′d′与

k；

m′n′的交点k′即为交点K

的正面投影。

图3-42求作铅垂线与一般位置平面的交点

因为铅垂线MN的水平积聚为一个点，不判断可见性，只需判断V面投影的可见性。

利用两条直线交叉对V面的重影点，来判断其正面投影的可见性。

在V面投影上，直线上的点Ⅰ（1′，1）和AB上的点Ⅱ（2′，2），它们的正面投影重合，，从水平投影可以看出，ab上的点2在后，mn上的点1在前，故k′n′为可见，m′k′和Δa′b′c′的重影部分为不可见，画虚线。

（2）平面与平面相交

图3-43所示为铅垂面ΔABC与一般位置平面ΔEFG相交。

铅垂面ΔABC的水平投影具有积聚性，积聚投影与一般位置平面ΔEFG的水平投影重合部分，即为交线的投影，而交线的另一投影必在该平面的另一投影上。

图3-43铅垂面与一般平面相交

两平面相交后，假定两平面都是不透明的，则它们必定互相遮挡，而且不管对哪个平面来说，都是以交线为分界，被遮挡的部分看不见，未被遮挡的部分看得见。

交线是可见的。

【例3-19】求作铅垂面ΔABC与一般位置平面ΔEFG的交线MN。

因为铅垂面ΔABC的水平投影具有积聚性，所以位于铅垂面上的交线其水平投影必定积聚在铅垂面的积聚投影上；

交线的水平投影确定后，可利用一般位置平面上定线的方法作出交线的正面投影。

（a）已知条件（b）在铅垂面的积聚投影（c）自m和n分别向上（c）可见性的判断

Δabc上标出交线MN作OX轴的垂线，与g′f′

的水平投影mn（端点和g′e′相交于m′和n′；

M和N实际上是GF连接m′n′，m′n′即为交

边和GE边与ΔABC线MN的正面投影。

平面的交点）；

图3-44求作铅垂面与一般位置平面的交线

因为ΔABC是铅垂面，所以看水平投影时，Δabc积聚成直线，Δefg平面都看得见；

看正面投影时，以交线m′n′为分界，Δe′f′g′的g′m′n′部分在铅垂面的后面，被铅垂面遮挡的部分为看不见，Δe′f′g′的e′f′m′n′部分在铅垂面的前面，未被遮挡为看得见。

【例3-20】求作水平面ΔABC与正垂面P的线MN（图3-45（a））。

由于水平面ΔABC与正垂面P的正面投影均具有积聚性，而交线又是两平面共有线，所以Δa′b′c′与p′的交点，即为交线的正面投影，故这两平面的交线是一条正垂线。

（a）已知条件（b）在水平面ΔABC的正（c）过m′（n′）向下作轴（d）可见性的判断

面投影Δa′b′c′与正垂面的垂线，垂线在Δabc与

P的正面投影p′的交点p的重影部分范围内的线

处标注出两平面交线段mn，即是交线MN的

MN的正面投影m′（n′）；

水平投影。

图3-45求作水平面与正垂面的交线

因为ΔABC是水平面，P是正垂面，所以V面投影不需判断可见性。

交线MN把平面ΔABC和P各分为两部分，从V面投影可以看出，MNAB在平面P的下方，MNC在平面P的上方，所以mnab与p重影部分为不可见，mnc和p重影部分为可见。

交线mn为可见

当两个铅垂面相交，其交线为一铅垂线。

如图3-46所示，两铅垂面的水平投影有积聚性，而交线具有共有性，所以积聚投影的交点即为交线的水平投影，交线是一条铅垂线。

（a）直观图（b）投影图

图3-46两铅垂面相交

同理，两个正垂面相交，交线为一条正垂线；

两个侧垂面相交，交线为一条侧垂线。

学员可根据上图绘出这两种情况的投影图。

3.3.5.2一般情况相交

一般情况相交，是指参与相交的无论是直线还是平面在投影体系中均处于一般位置。

可通过作辅助面的方法求出交点或交线的投影。

在这种情况下，它们的投影无积聚性，直线与平面交点投影、平面与平面交线的投影不能利用积聚性求出。

通常可通过作辅助面的方法求出交点或交线的投影。

下面我们讲一下利用辅助面法求交点和交线的作图方法。

图3-47（a）所示为一般位置直线EF和一般位置平面ΔABC相交。

为求EF和平面ΔABC交点的投影，见图3-47（b）所示，可通过直线EF作辅助平面P，与平面ΔABC的交于直线MN，同在平面P上的两直线EF和MN（MN为ΔABC上的一条直线），必有一交点K，即为直线EF与平面ΔABC的交点。

因为K在EF上，又在MN上，所以必在EF和平面ΔABC，即K为EF与平面ΔABC的公有点，亦即所求的交点。

这种求交点的方法称为辅助平面法。

（a）（b）

图3-47一般直线与一般平面相交

通过辅助平面法求交点，具体分为三个步骤：

（1）过已知直线作一辅助平面。

为使作图简单，辅助平面应选择投影面的垂直面，如正垂面、铅垂面等；

（2）求出辅助平面和已知平面的交线；

（3）已知直线和上述交线的交点，即为直线与平面的交点。

下面通过图3-48看一下求直线EF和平面ΔABC的交点投影作图方法。

（a）已知条件（b）包含直线EF作铅垂面P，（c）求出平面P与平面ΔABC

则铅垂面P的水平投影PH与的交线MN，因为铅垂面P的

ef重合；

水平投影具有积聚性，直接定

出mn，再求出m′n′；

（d）交线的正面投影m′n′和直线EF的（e）判断可见性。

正面投影e′f′的交点k′，即为交点的正

面投影，过k′向下作OX轴垂线和直线

EF的水平投影ef相交，求出交点的水

平投影k。

图3-48求作一般位置直线与一般位置平面的交点

因为直线EF和平面ΔABC均处于一般位置，H面、V面投影均要分别判断可见性。

先判断正面投影的可见性。

平面ΔABC中的AC边和直线EF的正面投影重影点为1′（2′）。

点在EF上，

点在AC上，由1′（2′）求出其水平投影1、2。

由水平投影可以看出1在2的前面，说明

点的y坐标大于

点的y坐标，

在

的前方。

向V面投影，EF上的

可见，AC上的

不可见，所以k′f′与Δa′b′c′的重影部分为可见。

那么，k′e′与Δa′b′c′的重影部分就不可见。

再判断水平投影的可见性。

平面ΔABC中的BC边和直线EF的水平投影重影点为3（4），

点在BC边上，由3（4）求出其正面投影3′、4′。

由正面投影可以看出3′在4′的上面，说明

点的z坐标大于

点的z坐标，即点

在点

的上方。

向H面投影，EF上的

可见，BC上的

不可见，所以ke与Δabc重影部分可见。

那么，kf与Δabc重影部分就不可见。

图3-49所示为平面ΔABC和平面□EFGH相交。

两面相交的交线是两面的共有线，只要作出两一般位置平面的两个公有点，连接起来就是该两面的交线。

由于两一般位置平面的位置各有不同，它们的交线有全在一个面的轮廓之内的（图3-49（a）），也有互相穿插的（图3-49（b）），也有在两平面图形之外的（图3-49（c））。

根据不同情况，求交线的方法有线面交点法、辅助平面法等。

（a）全交（b）穿插相交（c）图形之外相交

图3-49两平面相交情况

（1）线面交点方法求交线

在两平面相交时，选取两根直线，分别与另一平面相交，求出它们的交点，连接起来，即为所求的交线。

所以，用线面交点方法求交线，实际就是利用辅助平面法求两次交点。

在此不再重复。

（2）辅助平面法

如图3-49（c）所示，相交两平面在图形有限范围内不相交，为求交线用辅助平面法求它们的交线。

用辅助平面H1截已知平面P和Q，分别截得两交线L1和L2，它们的交点M，就是两平面P和Q的一个公共点。

同样在用一个辅助平面H2截已知平面P和Q，可得另一交点N，MN即为所求的交线。

为方便作图，两辅助平面可选用平行的两个投影面平行面或投影面垂直面。

用此种方法求解交线，同学们可结合教材所举例题总结其作图步骤，在此不再进行讲解。

本讲小结

1.平面的表示方法，各种位置平面的投影，平面上的点和直线。

2.直线与平面的交点和平面与平面的交线求法：

（1）利用积聚性求交点与交线；

（2）利用“线面交点法”求交点与交线。