命题定理证明Word下载.docx

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1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

2.如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；

3.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；

4.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；

5.如果两条半径是同圆的两条半径，那么这两条半径相等.

【例3】指出下列命题的题设部分和结论部分.

1.直角都相等；

2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；

3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

4.钝角大于它的补角；

5.大于90°

而小于180°

的角是钝角；

6.两个角的和等于平角时，这两个角互为补角.

1.每个命题都由哪两部分组成？

请你说出来.2.题设表示什么意思？

结论表示什么意思？

3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢？

能否改写成“如果……那么……”形式呢？

4.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可否用符号写出题设与结论呢？

又如何表示？

解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白题设与结论所表示的意思，便可找出题设与结论，对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可用符号写出题设和结论，但必须说明符号所表示的意义.根据上述分析，便可找出1～6题的题设部分和结论部分.

1.题设：

两个角都是直角；

结论：

这两个角相等.

2.题设：

互为邻补角的两个角的两条角平分线；

这两个角平分线互相垂直.

3.题设：

直线外一点与直线上各点连结的所有线段；

垂线段最短.

4.题设：

∠α是∠β的补角，且90°

<

∠α<

180°

；

∠β

5.题设：

90°

∠α是钝角.

6.题设：

两个角的和等于平角；

这两个角互补.

【例4】判断下列命题的真假,如果是假命题,请说明理由.

1.两点之间,线段最短；

2.如果一个数的平方是9，那么这个数是3；

3.同旁内角互补；

4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行；

5.如果a+b=0，那么a=0,b=0；

6.两个锐角的和是锐角.

1.什么叫命题？

2.什么叫真命题？

3.什么叫假命题？

4.判别假命题的方法是什么？

请你叙述.

要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可.于是以上各题真假便眉目分明了.

1.真命题，这是关于线段的一个公理.

2.假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是-3.

3.假命题，任意两条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三条直线所截，才有同旁内角互补的结论.

4.假命题：

如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行.

5.假命题：

如果a=2,b=-2,2+（-2）=0a=2≠0,b=-2≠0.

6.假命题，如果60°

和50°

的角都是锐角，但它们的和是钝角.

【例5】区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理？

1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；

2.两点之间，线段最短；

3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；

4.对顶角相等；

5.垂线段最短.

1.定义、公理、定理的内容你知道吗？

2.定义、公理、定理有何区别？

只要理解定义、公理、定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理.

（1），

（2）是公理；

（3）是定义；

（4），（5）是定理.

【例6】填写下面证明中的空格：

已知：

如图2-97，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2，求证：

∠B=∠ADE.

证明：

∵CD⊥AB，GF⊥AB（已知）

∴∠CDB==90°

（）

∴∥（）

∴∠1=（）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠2=（）

∴∠B=∠ADE

图2-97

1.叙述平行线判定公理、定理；

2.叙述平行线性质公理、定理.3.证明一个命题有哪些步骤呢？

4.证明两角相等有哪些思维方法？

括号里的证明依据，应从已知入手，结合图形，联想公理、定理，便可填写准确的依据.

∠FGB；

垂直定义；

CD，FG；

同位角相等，二直线平行；

∠BCD；

二直线平行，同位角相等；

等量代换；

DE，BC；

内错角相等，二直线平行；

二直线平行，同位角相等.

思维体操

【例1】已知：

如图2-98，AD∥BC，∠A=∠C

求证：

AB∥CD

图2-98

1.要证明二直线平行，你考虑有几种方法？

2.证明二直线平行是用平行线判定公理及定理，还是用平行线性质公理及定理？

证明二直线平行的方法，通常考虑用平行线判定公理和定理，而将要证明二直线平行问题，通常转化为证角等或者同旁内角互补问题.所以对本例，至少可找到两种以上思路.

∵AD∥BC（已知）

∴∠A=∠CBE（二直线平行，同位角相等）

∵∠A=∠C（已知）

∴∠C=∠CBE（等量代换）

∴AB∥CD（内错角相等，二直线平行）

又证明：

∵∠ABC+∠CBE=180°

（邻补角定义）

∴∠ABC+∠C=180°

（等量代换）

∴AB∥CD（同旁内角互补，二直线平行）

再证明：

∴∠A+∠ABC=180°

（二直线平行，同旁内角互补）

∴∠C+∠ABC=180°

证法四：

延长BC，DC（如图2-99）

∠1=∠2（对顶角相等）

∵∠1=∠C，∴∠2=∠C（等量代换）

∵∠A=∠C（已知）∴∠2=∠A（等量代换）

∴∠A=∠3（二直线平行，同位角相等）

∴∠3=∠2（等量代换）

∴AB∥CD（同位角相等，二直线平行）

图2-99

【例2】如图2-100.

1.已知AD∥BC,可以得出哪些角相等?

为什么?

2.已知AB∥DC,可以得出哪些角的和是180°

为什么?

3.已知∠3=∠7,可以得出哪两条直线平行?

4.已知∠1+∠2+∠3+∠4=180°

可以得出哪两条直线平行?

5.由哪两条直线平行，可以得到∠4=∠8，为什么？

6.由哪两条直线平行，可以得到∠3+∠4+∠5+∠6=180°

？

为什么？

图2-100

1.怎样找两个角相等或互补？

2.如何找出两条直线平行？

它的依据是什么？

3.平行线的判定公理及定理与平行线的性质公理与定理有何区别？

证明两角相等或互补，通常转化证二直线平行，从而通过同位角，内错角或同旁内角可沟通题设与结论关系.反之，要证二直线平行，一般地说可转化证明两角相等，两角互补，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，可达目的，沿着这两大思路进行思维，再结合题设与图形，思路顿开.

1.∠1=∠5，∠4=∠8.因为二直线平行，内错角相等；

2.∠1+∠2+∠7+∠8=180°

，∠3+∠4+∠5+∠6=180°

，因为二直线平行，同旁内角互补；

3.AB∥CD.因为内错角相等，二直线平行；

4.AD∥BC.因为同旁内角互补，二直线平行；

5.AD∥BC.因为二直线平行，内错角相等；

6.AB∥CD.因为二直线平行，同旁内角互补.

【例3】如图2-101，已知∠ABC=90°

，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB，求证：

CD平分∠ACE.

1.你知道角平分线定义吗？

2.证明两角相等，通常选取哪些方法？

3.同角（或等角）的余角有何关系？

图2-101

从题设及观察图形可知，首先由∠DCA=∠CAB证得AB∥CD，进而可知∠DCB=90°

-∠1，∠DCE=90°

-∠2，又∠1=∠2，根据等角的余角相等，即可获证.

∵∠DCA=∠CAB（已知）

∴∠ABC+∠BCD=180°

∴∠BCD=180°

-∠ABC=180°

-90°

=90°

∴∠DCA=90°

-∠1

又∵∠DCE=180°

-∠BCD-∠2

=180°

-∠2=90°

-∠2

∵∠1=∠2（已知）

∴∠DCA=∠DCE（等角的余角相等）

从而CD平分∠ACE.

三、智能显示

心中有数

了解命题的概念，能够初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果……那么……”的形式.对定义、公理、定理的概念要了解，了解“证明的必要性和推理过程中要每步有据，了解综合法证明的格式.

动脑动手

1.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，举出一个反例.

（1）邻补角是互补角；

（2）互补角是邻补角；

（3）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除；

（4）不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.

2.指出下列命题的题设和结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边加上同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；

（3）平行于同一条直线的两条直线平行；

（4）任意两个直角都相等.

3.完成下面证明：

如图2-102，AB∥CD，AD∥BC.

∠A=∠C

图2-102

4.证明：

两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.

（只要求画出图形，写出已知，求证）

创新园地

1.已知：

如图2-103，∠1=∠2.求证：

∠2=∠3

2.如图2-104，AB∥CD，BEFGD是折线，求证：

∠B+∠F+∠D=∠E+∠G

图2-103图2-104

3.如图2-105，ABCDEFG中，∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长AB，GF交于点M，求证：

∠AMG=∠3

4.如图2-106，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：

∠BEF=∠EFC

5.如图2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=36°

，∠ACB=60°

，AQ平分∠FAC，求∠HAQ的度数.

图2-105图2-106图2-107

四、同步题库

一、填空题

1.命题常写成“如果……，那么……”的形式，在这种形式中，用“”开始的部分是题设，用“”开始的部分是结论.

2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为.

3.已知∠AOB为锐角，直线l1⊥OA，直线l2⊥OB，那么l1和l2的关系为.

4.如图2-108所示，直线l∥m，若∠α=70°

，则∠β=.

5.如图2-109所示，a∥b，∠1-2∠2=60°

，则∠1=；

∠2=.

图2-108图2-109

6.“同位角相等，两直线平行”这个命题的题设是.

7.“过两点有且只有一条直线”是.

8.叫做命题，每个命题都是由；

两部分组成.

9.如果题设成立，那么结论也成立，这样的命题叫做.

10.证明一个命题的步骤是：

①根据题意,；

②根据题设、结论、结合图形、写出；

.

③经过分析，找出由推出的途径，写出.

二、选择题

11.下列语句中，不是命题的是.

（A）两点之间，线段最短

（B）对顶角不相等

（C）连结A、B两点

（D）不重合的两条直线有一个交点

12.给出下列四个命题：

①同角的余角相等；

②相等的角是对顶角；

③垂直于同一条直线的两条直线平行；

④平行于同一条直线的两条直线垂直.

其中真命题有.

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

13.如图2-110，下列推理中正确的是.

（A）∵∠1=∠2，∴AB∥CD

（B）∵∠ABC+BCD=180°

，∴AD∥BC

（C）∵AD∥BC，∴∠3=∠4

（D）∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠2

∴AB∥CD

图2-110

14.下列命题，正确的是.

（A）如果∠α=180°

-∠β，则∠α是补角

（B）如果∠α+∠β=90°

，则∠α是余角

（C）40°

角是50°

角的余角

（D）余角是补角的一半

15.将命题“对顶角相等”改成“如果……，那么……”的形式正确的是.

（A）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

（B）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等

（C）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

（D）如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等

16.下列语句是命题的是.

（1）过一点作直线的垂线

（2）如果a∥b且b∥c，那么a∥c

（3）∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3

（4）同位角互补，两直线平行

（A）

（2）（B）

（2）、（3）

（C）

（2）、（3）（4）（D）

（1）、

（2）、（3）、（4）

17.下列命题，正确的是.

（A）两锐角的和是直角

（B）若∠AOB+∠BOC=90°

，则∠AOC是直角

（C）若∠α是∠β的邻补角,则∠α与∠β中一定有一个是钝角,一个是锐角

（D）若∠α与∠β互为余角，则∠α、∠β均为锐角

18.下列命题是假命题的是.

（A）垂线段最短（B）对顶角相等

（C）同位角相等（D）一个锐角的补角大于这个锐角

19.下列命题中，假命题是.

（A）没有公共点的两条直线必定平行

（B）同一平面内，l1⊥l2，垂足为A，l2⊥l，垂足为B，A、B两点不重点，那么l1⊥l

（C）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短

（D）两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线平行

20.下列四个命题中,真命题是.

（A）如果一个角有补角，则这个角必是钝角

（B）如果一个角有余角，则这个角必是锐角

（C）互补的两个角一定是邻补角

（D）如果∠1+∠2+∠3=180°

，那么∠1，∠2，∠3互补

三、解答题

21.根据下列命题，画出图形，并写出已知和求证：

（1）邻补角的平分线互相垂直.

（2）两直线平行，内错角相等.

22.已知点C，C′分别是AB、A′B′的中点，AC=A′C′，求证：

AB=A′B′

23.如图2-111所示，已知AC⊥BC，∠ACD=∠CDE，求证：

DE⊥BC

24.如图2-112所示，已知∠1+∠2=180°

，求证：

∠3+∠4=180°

25.如图2-113所示，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于G、H，MN过点G垂直于AB，GK是∠MGB的平分线，∠CHG=120°

，求∠MGE和∠KGE的度数.

图2-111图2-112

图2-113图2-114

26.已知：

如图2-114，AB∥DC，AD∥BC，∠1=30°

，∠2=38°

，求∠3的度数.

27.已知：

如图2-115所示，BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=65°

，∠EDF=50°

BC∥AE.

图2-115图2-116

28.已知：

如图2-116所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：

EF平分∠BED.

29.图2-117，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠E=∠3，求证：

AD平分∠BAC.

30.已知，如图2-118，∠COF+∠C=180°

，∠C=∠B，求证：

AB∥EF.

图2-117图2-118

参考答案

1.

（1）真命题：

（2）假命题.如图2-119，∠α+∠β=180°

，但它们不是邻补角.

（3）假命题.如图6能被2整除，但不能被4整除.

（4）假命题.如图3>

2，都乘以-1，则-3<

-2.

图2-119

2.

（1）题设：

两条平行线被第三条直线所截.结论：

同旁内角互补；

（2）题设：

等式的两边加上同一个数或同一整式.结论：

所得的结果仍是等式.

（3）题设：

两条直线同平行于第三条直线.结论：

这两条直线平行.

（4）题设：

两个角都是直角.结论：

这两个有相等.

3.AB∥CD，已知；

∴∠A+∠D=180°

（两直线平行，同旁内角互补）；

AD∥BC，已知，∠C+∠D=180°

（两直线平行，同旁内角互补），∠A=∠C（同角的补角相等）

4.如图2-120，已知：

AB∥CD，EF分别交AB、CD于E，F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.

EG∥FH.

图2-120

1.证明：

∴a∥b（内错角相等，二直线平行）

∴∠2=∠3（二直线平行，内错角相等）

又证：

∠1=∠3（对顶角相等）

∴∠2=∠3（等量代换）

2.证明：

过E点作EF′∥AB，过F作FF′∥AB，过G作GG′∥AB，则有AB∥EE′∥FF′∥GG′∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）

∴∠1=∠B，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵∠B+∠F+∠D=∠1+∠3+∠4+∠6

=（∠1+∠2）+（∠5+∠6）

=∠E+∠G（等量代换）

∴∠B+∠F+∠D=∠E+∠G

注：

本例的其他证法，请读者探索.

3.证明：

∴AM∥CD（内错角相等，两直线平行）

同理：

∠4=∠5

∴GM∥DE

∴∠AMG=∠3（如果一个角的两边分别平行于另一个角二边，那么这两个角相等或互补）

连结BC

∵AB∥CD（已知）

∴∠ABC=∠BCD（二直线平行，内错角相等）

又∵∠1=∠2（已知）

∴∠EBC=∠FCB（等式性质）

∴EB∥CF（内错角相等，二直线平行）

∴∠BEF=∠EFC（二直线平行，内错角相等）

5.证明：

∵∠1=∠2（已知）

∴EF∥AH（同位角相等，二直线平行）

∵∠2=∠3（已知）

∴AH∥CD（同位角相等，二直线平行）

∵GE∥AH（已证）

∴∠FAH=∠GFA=36°

（二直线平行，内错角相等）

∵AH∥BD（已知）

∠HAC=∠ACB=60°

（两直线平行，内错角相等）

∴∠FAC=∠FAH+∠HAC=36°

+60°

=96°

∵AQ平分∠FAC（已知）

∴∠FAQ=

∠FAC=48°

∴∠FAH=∠FAQ-∠FAH

=48°

-36°

=12°

同步题库

1.如果；

那么2.如果两个角是等角，那么这两个角的余角相等3.相交4.50°

5.140°

40°

6.同位角相等7.公理8.判断某一件事情的句子；

题设9.真命题10.①画出图形②已知：

求证③已知，求证，证明的过程

11.C12.A13.D14.C15.B16.C17.D18.C19.A20.B

21.

（1）已知如图2-121，∠AOC与∠BOC为邻补角，OD为∠AOC平分线，OE为∠BOC平分线，求证：

OD⊥OE.

（2）已知如图2-122；

直线a∥b.求证：

∠1=∠2.

图2-121图2-122

22.证明：

∵C为AB中点（已知）

∴AC=

AB（中点定义）

∵C′为A′B′中点（已知）

∴A′C′=

A′B′（中点定义）

∵AC=A′C′（已知）

∴

AB=

A′B′（等量代换）

∴AB=A′B′（等式性质）

23.证明：

∵∠ACD=∠CDE（已知）

∴AC∥DE（内错角相等，二直线平行）

∴∠DEB=∠ACB（二直线平行，同位角相等）

∵AC⊥BC（已知）

∴∠ACB=90°

（垂直定义