勾股定理的十六种的证明方法文档格式.docx
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ZGHE=90°
T
二ZDHA=90°
+90&
=180°
二ABCD是一^边长为在十b的正方形，它的面积等于@十斫（凸+书「=4x丄曲+『
、工*:
川+声二匚
【证法3】
（赵爽证明）
以扒b为直角边（b>
a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角
—ab
三角形的面积等于2・把这四个直角三角形拼成如图所示形状-
*/Rt^DAH丝RtAABE,
二ZHDA=ZEAB.
丁ZHAD+ZEAD=90\
二ZEAB+ZHAD=90*,
AABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于J
TEF=FG=GH=HE=b-a,
ZHEF=90°
EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于0-川【
【证法4】
（1876年美国总统Garfield证明）
以冬b为直角边，以亡为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积尊于2"
把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使花bB三点在一条直线上.
/RtAEADRtACBE,
*.ZADE二ZBEC.
/ZAED+ZADE=90°
\ZAED+ZBEC=90°
\ZDEC-180°
二怂理是一个等婆直角三角形'
它的面枳等于Al
又丁ZD.AE二90\ZEBC二9CT,
二ADZ<
BC.
"
丄oi+ic；
【证法5】
（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为茲b‘斜边长为s把它们拼成如图那样的一个多边形，使队匸F在一条直线上过C作也的延长线交DF于点P.
・・・D.E.F在一条直线上，且RtAGEF旦RtAEBD,
.ZEGF=ZBED,
ZEGF十ZGEF二90*,二ZBED亠ZGEF=9tT,:
.ZBEG=180°
=93,*/AB-BE=EG=GA=c,二ABEG是一个边长为c的正方形.
*ZABC+ZCBE=90二
■'
珂」/EC=BxAEBR>
.ZABC=ZEBD.
/.ZEBD+ZCBE=90°
ZCBD=90°
■/ZBDE=90°
ZBCP=9（T,
BC=BD=乩二BDPC是一个边长为a的正方形.
同理HPFG是一^边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S.则宀宀S小詁卜盼堤处
【证法6】
（项明达证明〉
做两个全等的直角三角形'
设它们的两条直角边长分别为，b（b>
a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A.C三点在一条直线上.卡
过点Q作QP//BC,兗AC于点已过点B作BILLPQ,垂足为加再过点F作FN丄PQ垂足为乩
TZBCA=90%QP//BC,
二NMPC=90°
T丄PQ
代ZBMP二90%
二BCPH是一个矩形』即ZMBC=
TZQBM+ZMBA=ZQBA=90DT
ZABC+ZMBA=ZMBC=9（T,
*ZQBM=ZABC,
又丁ZBMP=90\Z5CA=9（P>
BQ=BA=c.
二RtABMQ◎RtABCA.
同理可证RtAQNF竺RtAEF-
从而将问题转化.为（证法4】〔梅文鼎证明）.
【证法7】
（欧几里得证明）
使H、C.E三点
撤三个边长分别为尔X匚的正方形.把它们拼成如图所示形状,
在一条直线上’连结
BF、CD.过（：
作CL±
DEt交AB于点如交DE于点
L.
*：
AF=AC,AB匸AD,
ZFAB=ZGAD,
*=卫励必
*-■'
FAB的面积等于2,
盘型的面积等于矩形adlm的面积的一半，
二矩惑ADLM的面积*同理可证，柜形MLEB的面积=
■/正方形£
DEE的面积
二矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积二十沪『即
｛证法8】
（利用相似三箱形性质证明）
如圏，在RtAABC中，设直角边AJ贬的长度分别为包、匕斜边AB的长为s过
lnnnnAnnnnnrvhnnnrhHrib
点C作CD1AB.垂足是D.
在3ADC和iACB中，
VZADC=ZACB=90°
ZC.AD=ZBAC,
同理可证,A（DB-则◎从而有BC-=BD.AB_
二AC1+BC1=（AD+DB^AB=AB1即a^+b1^^
|【证法9】〔杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直第边长分别为"
b（b>
a）,斜边长为⑺再做一个边长为u的正方形-把它们拼成如图所示的多边形-过4作AF丄工AF交GT于F,AF交DT于R.过B作BP1AF,垂足为巴过D作DE与CB的延长线垂直.垂足为E,DE交AF于乩
TZBAD=90tt,ZPAC=9（T,二NDAH=ZBAC.
又■/ZDHA二90°
；
ZBCA-9（T:
AD=AB=c?
・1RtADHA空RtiBCA.
二DH=BC=且,AH=AC=b.
RtAAPB竺RtABCA.即FB=b,AP=a,从而PH=b—a.
丝Rt△BCAT竺RtABCA_竺RtADHA-
■\DH=DG=a?
ZGDT=ZHDA.
又TZDGT二9（f>
ZDHF二9（f,
二QGFH是一亍应悅为a旳止万形.
二GF=FH=a.TF丄AF,TF=GT-GF=b-a
二TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP-S高FPp+（b-a）.用数字表示面积的编号（如图九则以匚为边长的正方形的面积为
L=$卡场+島+6+5j
把②代入①,得
L=+Sj卡扩—+S$+S^
=乃亠+比十鬲-尸+应‘
_*
【证法10】〔李锐证明〉
设直角三角形两直角边的长分别为a.b（b>
a\斜边的长为=做三个边长分别为抓b.弋的正方形’把它忙I拼成如图所示形状，使乩E.G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
TZTBE二ZABH=90°
*ZTBH=ZABE.
又TZBTH=ZBEA=90°
BT=BE=乩
*RtAHBT丝RtAABE.
代HT=AE=a.
二GH=GT-HI=b-a.
又TZGHF十ZBHT=90°
ZDBC+ZBEfT-ZTBH*
二ZGHF=ZDBC.
*/DE=EB-ED=b-a,
ZHGF=ZBX=90°
二gt-kH6EgR]Appp即S-=«
过Q作Q'
LLAL垂足是乩由ZBAQ=ZBEA二9Cf\可知ZABE
=ZQMIt而4B=AQ二c,所以RtAABE竺肮△QAM”又RtAHBT旦
B■°
RtABE.所以RtAHBT旦RtaQAM.即W-
由XUAEE旦血占卫也又得QM=AE=a,ZA3=4AE・
ZHGF=ZBDC=90°
二RtAHGF竺RtABDC.即
zzmzmmz、wummumz
过Q作QJLLAG垂足是底由ZBAQ二ZBEA二9tf,可知ZABE=ZQA1L而壮=AQ=c,所以RtAABE空gtAQAM.又RtAHBT空RtAABE.所以RtAHBT竺RtAQ^!
-即览二％
mzmmzm、'
-、z、zmz、F、z、z、z、、ymmm$2m4
由RtAABE竺Rt也QAM,又得QM=AE=a,ZAQM=ZBAE.
TZAQM+ZFQM=90%ZBAE+/CAR二90%ZAQM=NBAE,二ZFQM=ZCAR.
又TZQltF二ZARC二90%QM=AR=a,
RtAQMF竺RtAARC.
二十b1=sl+s5+s,+s7+s^
【证法11】
（利用切割銭定理证明）
在肚型6匸中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图「以B为圆心a为半径作圖交AB及AB的延长线分别于IkE』则BD=BE=BC=a.圉为ZBCA=90%点匚在OB上，所以AC是QB的切线”由切割线是理，得
【证法（利用多列米定理证明）
在RtAABC中，设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c（如图）*过点A作AM®
过点B作BDZ/CA・则ACBD为矩形，矩形配BD内接于一个圆.根据多列米這理’圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
AB*DC=AD*BC+AC*BD,
TAB=DC=sAD=BC=a,
AC=BD=b,
/,A33^BCl+gpc1<
?
+箱，
二/+沪=/
■
【证法昭】
（作直角三角形的内切圆证明）
在RtAABC中，设直角边BC=aTAC=b,斜边AB=c.作KtAABC的内切圆00切点分别为D、E、F（如图人设GX）的半径为r.
TAE=AF,BF=BD,CD=CE（
二AC-BC-AB={AE+CE）+（BD+CD'
.-\AF-^-BF）
I证法14】
（利用反证法证明）
如图，在Rt^AABC'
+T设直角边乩、BC的长度分别为a、乩斜边的长为g过点C作CD丄貞ET冢竜D.
假设d十朋芸比即假设起’+證。
」护，则由
AB:
二AB•应二扭3+RD&
AB.Q+AB*BD
可知AC^AS^.W,或者眈=血TD.即AD：
ACt^AC：
AB,或者BD：
BC^BC：
AB.
在4ADC和44乌中，
W^Wh/sSr\F«
!
^V
V
ZA-ZA,
、若AD：
AC^AC：
AB,则
ZADC^ZACB.
在乂凰和丄理中，
VZB=ZB,
A若BD：
AB.则
ZCDB^ZACB.
又TZACB=90°
・：
NADCHBF,ZCDB^90p.
这与作法CD丄AB矛盾.所以’AC^SC^AB^的假设不能成立.
.a^b2=c\
设直角三角形两直角边的辰分别为a.b,斜边的长为匚作边长是a-b的正方形ABCD,把正方形AXD划分咸上方左图所示的几个部分.则正方形ABCD的面积为
++把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的
\a+b]~-
面积为'
2+
-i-2ab=2ab±
c:
、小”—'
【证法16]（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为-b（b>
a）.斜边的长为s做两个边长分别为冬b的正方形（b>
a\把它们拼成如團所示形状，便E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
在EH-b上截取ED=a,连结D乩DC,
则AD=j
VEM=EH-HM=b+a,ED=
、DM=EM-ED=9斗创_&
二比
又TZCMD二90\CM=恥
ZAED=90D,AE=b,
.RtAAED堂RtADMC.
.ZEAD=ZMDC,DC=AD-c.
丁ZADE七ZADOZMDC^100°
ZADE+ZMDC=ZADE+ZE.AD=90°
AZADC=90\
二作AB//DGCB/7DA,则AB6是一个边长为的正方形
ZBAF+ZFAD-ZDAE+ZFAD二9（F、
.ZBAF-ZD.XE,
连结FB在3ABF和3ADE中，
；
AB二AD二oAE=AF=b；
ZBAF=ZD^?
「2邂旦aaqe，
Z.ZAFB=ZAED二90%0F=DE=a,•:
点E、F.G*H在一条直线上.
在RtAABF和肚色BCG中：
■/AB=BC=c,BF=CG=a,
KxAABF竺BxABSB-
L=5n+S：
++S3
=^5f,
—S3+53+S1+（Ss+S；
）
ab
b2
L~'
b
a
p
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c
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