勾股定理的十六种的证明方法文档格式.docx

1、ZGHE = 90 T二 ZDHA = 90+ 90&= 180二ABCD是一边长为在十b的正方形，它的面积等于十斫 （凸+书= 4x丄曲+、工* :,川+声二匚【证法3】（赵爽证明）以扒b为直角边（ba）,以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角ab三角形的面积等于2把这四个直角三 角形拼成如图所示形状-*/ RtDAH 丝 Rt A ABE,二 ZHDA = ZEAB.丁 ZHAD + ZEAD = 90二 ZEAB + ZHAD = 90*,A ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于JT EF = FG =GH =HE = b-a ,ZHEF = 90EFGH是一个边长为b-

2、a的正方形，它的面积等于0-川【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以冬b为直角边，以亡为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积尊于2,把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使花b B三点在一条直线上./ Rt AEAD Rt ACBE,*. ZADE 二 ZBEC./ ZAED + ZADE = 90, ZAED + ZBEC = 90 ZDEC - 180二怂理是一个等婆直角三角形 它的面枳等于Al又丁 ZD.AE 二 90 ZEBC 二 9CT,二 ADZ.ZABC = ZEBD./. ZEBD + ZCBE = 90ZCBD= 90/ ZBDE = 90, Z

3、BCP = 9（T ,BC = BD =乩 二BDPC是一个边长为a的正方形.同理HPFG是一边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S.则 宀宀S小詁卜盼堤处【证法6】（项明达证明做两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为，b （ba）,斜边长为 c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A. C三点在一条 直线上. 卡过点Q作QP/BC,兗AC于点已 过点B作BILLPQ,垂足为加再过点 F作FN丄PQ垂足为乩T ZBCA = 90% QP/BC,二 NMPC = 90T 丄 PQ代 ZBMP 二 90%二BCPH是一个矩形即ZMBC =T ZQBM + Z

4、MBA = ZQBA = 90D TZABC + ZMBA = ZMBC = 9（T,* ZQBM = ZABC,又丁 ZBMP = 90 Z5CA = 9（P BQ = BA = c.二 Rt A BMQ Rt A BCA.同理可证Rt AQNF竺Rt AEF-从而将问题转化.为（证法4】梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）使H、C. E三点撤三个边长分别为尔X匚的正方形.把它们拼成如图所示形状,在一条直线上连结BF、CD.过（：作 CLDEt 交AB于点如交DE于点L.*： AF = AC, AB 匸 AD,ZFAB = ZGAD,* =卫励必*- FAB的面积等于2 ,盘型的面积等于

5、矩形adlm 的面积的一半，二矩惑ADLM的面积* 同理可证，柜形MLEB的面积=/正方形DEE的面积二矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积 二十沪即证法8】（利用相似三箱形性质证明）如圏，在Rt AABC中，设直角边AJ贬的长度分别为包、匕 斜边AB的长为s过lnnnnAnnnnnrvhnnnrhHrib点C作CD1AB.垂足是D.在3ADC和iACB中，V ZADC = ZACB = 90 ,ZC.AD = ZBAC,同理可证,A （ DB - 则从而有BC-=BD.AB_二 AC1 +BC1 =（AD+DBAB = AB1 即 a+b1|【证法9】杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设

6、它们的两条直第边长分别为b （ba）,斜边长为 再做一个边长为u的正方形-把它们拼成如图所示的多边形-过4作AF丄工AF交GT 于F, AF交DT于R.过B作BP1AF,垂足为巴 过D作DE与CB的延长线垂直.垂足为 E, DE交AF于乩T ZBAD = 90tt, ZPAC = 9（T, 二 NDAH = ZBAC.又/ ZDHA 二 90 ； ZBCA - 9（T : AD = AB = c?1 RtADHA 空 Rt i BCA.二 DH = BC =且,AH = AC = b.RtAAPB 竺 RtABCA.即 FB = b, AP= a,从而 PH = ba.丝 Rt BCA T 竺

7、 Rt A BCA_ 竺 RtADHA - DH = DG = a? ZGDT = ZHDA .又 T ZDGT 二 9（f ZDHF 二 9（f,二QGFH是一亍应悅为a旳止万形.二 GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT-GF = b-a二TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP- S高FPp + （b-a）. 用数字表示面积的编号（如图九则以匚为边长的正方形的面积为L = $ 卡场 + 島 + 6 + 5j把代入,得L = + Sj 卡扩+S$ +S=乃亠+比十鬲-尸+应_ *【证法10】李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为a.b（ba斜边的长为=做三个边长

8、分别为抓 b.弋的正方形把它忙I拼成如图所示形状，使乩E. G三点在一条直线上.用数字表示 面积的编号（如图）.T ZTBE 二 ZABH = 90* ZTBH = ZABE.又 T ZBTH = ZBEA = 90BT = BE =乩* RtAHBT 丝 Rt AABE.代 HT = AE = a.二 GH = GT-HI = b-a.又 T ZGHF 十 ZBHT = 90ZDBC + ZBEfT - ZTBH *二 ZGHF = ZDBC.*/ DE = EB-ED = b-a,ZHGF = ZBX = 90二 gt-kH6E g R A ppp 即 S-=过Q作QLLAL垂足是乩 由Z

9、BAQ = ZBEA二9Cf可知ZABE=ZQMIt 而 4B = AQ 二 c,所以 Rt AABE 竺 肮 QAM ” 又Rt AHBT 旦B Rt ABE.所以 Rt AHBT 旦 Rt a QAM .即 W-由XUAEE旦血占卫也 又得QM = AE = a, ZA3 = 4AEZHGF = ZBDC = 90二 Rt A HGF 竺 Rt A BDC.即zzmzmmz、 wummumz过Q作QJLLAG 垂足是底 由ZBAQ二ZBEA二9tf ,可知 ZABE =ZQA1L 而壮=AQ = c,所以 Rt AABE 空 gtAQAM .又 Rt A HBT 空 Rt A ABE.所以

10、 Rt A HBT 竺 RtAQ!-即 览二mzmmzm、 - 、z、zmz、F、z、z、z、 、ymmm$2m4由 Rt A ABE 竺 Rt 也 QAM,又得 QM = AE = a, ZAQM = ZBAE.T ZAQM + ZFQM = 90% ZBAE + /CAR 二 90% ZAQM = NBAE, 二 ZFQM = ZCAR.又 T ZQltF 二 ZARC 二 90% QM = AR = a,Rt A QMF 竺 Rt A ARC.二 十b1 =sl+s5 + s,+s7 + s【证法11】（利用切割銭定理证明）在肚型6匸中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB =

11、 c.如图以B为圆心a为半 径作圖 交AB及AB的延长线分别于Ik E则BD = BE = BC = a.圉为ZBCA = 90% 点匚在OB上，所以AC是QB的切线”由切割线是理，得【证法（利用多列米定理证明）在Rt AABC中，设直角边BC= a, AC = b,斜边AB = c （如图）*过点A作AM 过点B作BDZ/CA则ACBD为矩形，矩形配BD内接于一个圆.根据多列米這理圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB*DC = AD*BC + AC*BD ,T AB = DC = s AD = BC = a,AC = BD = b,/, A33 BCl + gp c1 a）.

12、斜边的长为s做两个边长分别为冬 b的正方形（ba把它们拼成如團所示形状，便E、H、M三点在一条直线上.用数字表 示面积的编号（如图）.在EH - b上截取ED = a,连结D乩DC,则 AD = jV EM = EH - HM = b + a , ED =、DM = EM-ED = 9斗创_& 二比又 T ZCMD 二 90 CM =恥ZAED = 90D, AE = b,.Rt AAED 堂 Rt A DMC.ZEAD = ZMDC, DC = AD - c.丁 ZADE 七 ZADO ZMDC 100ZADE + ZMDC = ZADE + ZE.AD = 90A ZADC = 90二作A

13、B/DG CB/7DA,则AB6是一个边长为的正方形 ZBAF + ZFAD - ZDAE + ZFAD 二 9（F、.ZBAF-ZD.XE,连结FB在3ABF和3ADE中，；AB 二AD 二 o AE = AF = b； ZBAF=ZD?2 邂旦 a a qe，Z. ZAFB = ZAED 二 90% 0F = DE = a, :点E、F. G* H在一条直线上.在Rt AABF和肚色BCG中：/ AB = BC = c, BF = CG = a,KxAABF 竺 BxABSB-L = 5n + S： + +S3=5 f ,S3 +53 + S1 +（S s + S；）abb2L bapEKc