勾股定理的十六种的证明方法.docx

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勾股定理的十六种的证明方法

【证法1】（课本的证明）

做g个全等的宜角三角形，设它们的两条直角边长分别为注、b,斜边长为6再做三牛边长分别为已、氐C的正方

形，把它们®上图那样拼成两个正方形*从图上可以看到，这两个正方形的边长都是&

+b-所以面枳相筹•即

整理得/+护二口

f证法21（邹元治证明）

以包、b为直角边，以亡为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

等于2•把这四个宜角三角形拼成如图所示形状，使乩E.B三点在一条直线上，B.F、C三点在一条直线上，C、SD三点在一条直线上.

二ZAHE二ZBEF.

TZAEH-

ZAHE二90°,

二ZAEH」

-ZBEF二90\

•ZHEF=

180=90〃二9'0\

二四边形EFGH是一个边长为亡的

正方形.

它的面积等于

TRtiGDH空Rt2HAE,

二ZHGD

ZEHA.

TZHGD

ZGHD-9（r

二ZEHA

ZGHD二90\

又丁ZGHE

二ZDHA

QO°亠％『二

TRtMJAE空抵扣澱,

-ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于W-

（fl+i）'=4x—di

■a♦2

【证法3】（赵爽证明〉

以弘b为直角边Cb>a），以C为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角

图所示形状-

TRMDAH

■wr*AMjn*4UU.

二ZHDA二■/ZHAD+/.ZEAB+

二ABCD是一个边长为C的正方形，它的面积等于c\■/EF=FG=GH=HE二b—a,

ZHEF=90°—

AEFGH是一个边长为b—自的正方形，它的面积等于0•由）1”4xjai

t证法4]（1876年美国JS统Carfield证明）

以窝、b为直角边，以C为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的

使g.B三点在一条直线上.

积尊于2,把这两个直角三角形拼成如图亦示形状,

TRtAEAD丝RtACBE.

、ZADE二ZBEL

■:

ZAED+ZADE二90°,

.ZAED+ZBEC二90\

/.ZDEC二180°一90〃二90〃・/・卫§£提一个等©直角三角形，

它的而积等于2.

又丁ZDAE二90%ZEBC二

L&1+护二2X—ab

・AD/ZBC・

AABCD是一个直角梯形，它的面积等于朮口+疔

222,

d十b'八

t证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，段它们的两条直角边长分别为罕b，斜边长为s把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E.F在一条亘线上•过C作AC的延长銭交DF于点P.

■/D.E、F在一条直线上，且RtAGEF全RtAEBD,■HV—VWWVWMW-V.

・ZEGF=ZBED,

*/ZEGF亠ZGEF二，

：

*ZBED+ZGEF二9tr,

.ZBEG二1SO〃—90〃二9（r・

又T・4B二BE二EG二GA二c,g-ABEG是一个边长为c的正方形「;>ZABC+ZCBE二90\

*二BxAXBOz

・ZABC=ZEBD.

.ZEBD十ZCBE二90\

即ZCBD二9（r・

又TZBDE二90〃，ZBCP二9（7,

BC二BD二比二a*BDPC是一亍边长为a的正方形.

同理，HPFG是一伞边长为b的正方形〃设多边形GHCBE的面积为&则

【证法6】（项明达证明〉做两个全等的直角三角形，再做硏个边长为C的正方形.直线上.

L■!

■时二5斗2Xi血*r*

设它们的两条直角边长分别为旦、b（b>a）,斜边长为

把它们拼成如图所示的多边形，使臥A.C三点在一条

过点Q作QP//BC,兗代匚于点F.过点B作册丄PQ,垂足为地再过点F作FX丄P0垂足为工

TZBCA-9（r,QpyzBC,

二Z«PC二9化

T创丄F0

二ZBMP二90\

-BCP订是一个矩形，即ZMBC二

■/ZQBM+ZMBA=ZQBA二9『,ZMBA二ZN1BC二9（r,

化ZQBM二ZABC,

又丁Z5MP二90\ZBCA二迅BQ二BA二c>

二RtAB订Q旦EtABCA.

同理可证S1295E-肚虫睡：

从而箱问题转化为f応落疔7梅文灿证明）.

，/+止_

B三点

在一条直线上，连结°的?

F肯形护立们拼咸如團斫示形状，使乐C.

BF.CD•过C作CL±DE,

交;m于点此交DE于点

TAF二AC,・AB二AD,虫ZFAB二ZCAD,

代・A復&望

TiFAB的面积等于空“・乂吐的面积等于矩形ADLM的面积的一半,二矩形ADUI的面积同理可证，矩形MLEB的面积二戸.

T正方形ADEB的面积

二葩形ADUI的面积+矩形MLEB的面积/,护，即护+占V/*

E证法町（利用相似三竟形性质证明）

如图，在肚丄A匹中，设直角边AS反的长度分别为点Ca.b・斜边AB的长为Ga作CD1AB,垂足是D*

在iADC和iACE中,

VZADC-ZACB二90〃，ZC.AD二ZBAC,

二AASCsaA®*

AD:

ACHAC:

AB,

艮卩HC：

=4D•一毎-同理可证FASflSs

二HC*=（川D+D£）・川占二討$1,即o'+i）i二匚

I【证法9】（畅作玫证明）

做两个全等的直角三角形•设它们的两条直角边长分别为吐、bCb>a\斜边长为亡.再做一个边长为U的正方形•把它们拼成如图所示的多边形-过丄作AF丄AGAF交GT于F・・・IF交DT于R.过B作肝丄左F,垂足为巴过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为

E,DE交AF于乩

TZBAD二90〃，ZPAC二W,

二ZDAH二ZEAC.

又■/ZDHA二90〃，ZBCA二9「，

AD二AB二C；

二Rt业DHA◎Rt也BCA.

二DH二BC二a,AH二AC二b・

由作法可知，PECA是一个矩形，所以RtAAFB丝RtAgCA.即PB二CA二b,AP二a,从而卩H二b一au

*；RtiDGT瓷RtiBCA,

g卫與•奉廳2瞬

二Dtr^T?

G二a™2S5?

二ZHDA・又TZDGT二90°,ZDHF二Wf

二愍空•匹I竺雛屯哪，

二DGFH是一亍边故为a的止万形.

二GF二FH二a・TF±AF.TF=GT-GF=b—a・

二TFPB是一个直角梯形，上底TF二b-E下底SP=b,高FPp+（b-G・用数字表示面积的编号（如图九则以C为边长的正方形的面积为

G二S]+Sj+Sj+S耳+S了①

**场+昂+Sq二挣+0-口）」讥+0-13）^--ab

―*S,+S,=b*―ab—S,护-S]f把

②代入①，得

=5+5]+F-S]fSj+Sj+Sp

-时+男+男-酹+/,

-盼+沪二八

【证法10]t李钱ffi明）

设直角三角形两直角边的长分别为a・b（b>a），斜边的长为二做三个边长分别为包、b.C的正方形，把它忙I拼成如S所示形状，使爪E・G三点在一条直线上•用数字表示面积的

编号（如图）.

TZTBE二ZABH二9tr:

・ZTBH二r乙ABE.

又TZBTH二BZBEABE-人RtAHBT^ORt,AHBBj人HT二AE二比:

、GH二GT-HT二b-a.

又TZGHF+ZBEI二90\

ZDBC+ZBHT二ZTBH+二ZGHF二ZDBCJDB二ER—ED二b-a>

ZHGF二ZBX二9呼，

・•、gtAHGF丝RtA.jBgC即工二$2.

过Q作Q蛆丄AL垂足是乩由ZBAQ二ZBEA二

二ZQAMt而AB二AQ二09Cn可知ZABE

R貯避•所以陆Ajj甲.公'Rt•斷以驰玉賤旦陆29迪••又5x2JSSI—細SE百屁卫滋又得QM二A£二a,ZAQM二ZBAE.

ZHGF二ZBDC二90%

二RtAHGF竺RtABDC.即思产h・

过Q作QNLLAG,垂足是底由ZBAQ二ZBEA二9化可知ZABE=ZQAM,而壷B二AQ二C.所以RtAABE竺肚綁M-又RMHET空RtAABE.所以RtAHBT竺班色QM.即况二匹.

由RtAABE竺RtAQ.W,又得QM=AE=a,ZAQM二ZEAE.

TZAQM+ZFQM二90%ZBAE+ZCAR二90%ZAQM=NBAE,二ZFQM二ZCAR.

又丁ZQitF二ZARC二90%QM=AR=a,

二RtAq"fF竺RtAARC.即$严耳-

丁亡2=$1+昂+爲+S斗+5；,/二S]+Ssj二S・+S-+S,

V'*二A易二壬乌二斗

二宀7/=S\+S5+Sm+斗+禺

二S]+rS斗+$2+Sj

—r

「以0为圆心a为半孔比因为ZE仙二90\点

在d磁中「设直珀边BC二a,AC二b,斜边AB二c,如图C,径作圆，交AB及AB的延长线分别于IkE,则ED二BE二BC二

C在©B上，所以扛是©B的切线，由切割线是理，得

t证法12】（利用雾列米定理证明｝

在R2ABC中，设直角边BC二a.AC二b,斜边AB二c（如图）*过点〃&作AD//CB,过点B作BD>ZCA,则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆，根据多列米定理，圆内接四边

形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

=JD*5C5£Z?

TAB二DC二c,AD-BC=乩

AC二BD二b,

二且0’二占c'+」c',即/吕口：

盼,

二£?

+,=/

作吐丄Age的内切圆00,

在吐黒照中，设直角边EC=a,AC二b,斜边託二切点C.分W?

TAE二AF,BF二BD,CD=CE,

二MC+BC-AB二{AE+CE}+[SD+CD）—（討戸+EF）

二CE+CD二工+工=2丫,即a+

二2r,

r*a+b二2f+f・

A~（2r+c）\

gp■”2aif=4（r*+rc）+c*

又TSg厂匚沪Sae+Sse二22

-（4+0+亡）严

—{2r+C+c丿r

/,4（宀n：

）=4£sr,

*・》4卜’+临）=2胡'

「■/+即+2口&二2e占+（；'』

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在§1卫匸中「设直角边AG阮的长度分别为已、点C作CD丄AE.垂足是D.

假设/十护乂蔦即假设也'+證2厂护「则由

二AJ*.』5二M（a+AD）二aB•aD+AB•BD

b・斜边啊的长为G过

可知-心5扭-M,或者

在AAK和1ACB中,

肋・ED•即AD：

AC^AC：

AB•或者BD：

BC?

^BC：

AB.

丁ZA二ZA,

二若AD：

AC^AC：

AB,则

ZADCHZACE.

在・AC咀和・A他中，

TZB二ZE>

二若BD：

BCt^BC：

ABx贝J

ZCDB^ZACB.

又TZACB二9Cr,

二Z：

ADCH9（r,ZCDEHgcr

这与作法CD丄AB矛盾•所以「e+恥'

*曲谢假设不能成立

设直角三角形两直角边的长分别为已*，斜边的长为⑺作边长是a吒的正方形ABCD*把正方形ABB划分咸上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的积为（》疔二/+护+滋•把正方形.〈BCD划分成上方右图所示的几个部分「则正方形ABCD的

（a

+4X—ab+T

面积为，

2二2如i・

小十护十2aij=2ab十F,

［证法祐】（陈杰证明）设直甬三角形两直角边的长分别为a.bb的正方形a）.把它们拼成如图所示形状，图）.

在EH-b上截取ED-a,连结加、DC,.

则AD二B

tEH=EH+HM=b十a,ED=

二DM二EM-ED二（b+切一a二ZAED三9少，CM二a.

・RtAA鲍\AE二b,

AZEAD

VZADE

ZADE

.ZAX

二作AB/7DC,CB?

/DA,则期5是一个边长为c的正方激'：

ZBAF+ZFAD二ZDAE+ZFAD二9（r,

zmdcTdT=ad=c.

ZAX+ZMDC二1SO\

ZMDC二ZADE-ZEAD

AZBAF二ZD.\E,连结FB,在厶ABF和iADE中,

（b>aX斜边的长为B做两亍边长分别为包、砌积的縄用傲点在一条宜线上•用数字表E、B

E—b

a,J

二90J90\

gs）+T十£十占■

os+ls十34■•8•心+•

JS+GSHFSH—SHTSfEk扌s+rs*+=・£:

•叶・•・「ri>・law

抵八・

方2

ACB

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