勾股定理的十六种证明方法.docx
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勾股定理的十六种证明方法
勾股定理地十六种证明方法
【证法1】
此主题相关图片如下:
做8个全等地直角三角形,设它们地两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c地正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形地边长都是a+b,所以面积相等.即
a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)
整理得到:
a^2+b^2=c^2.
【证法2】
以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等地直角三角形,则每个直角三角形地面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.
∵RtΔHAE≌RtΔEBF,
∴∠AHE=∠BEF.
∵∠AEH+∠AHE=90º,
∴∠AEH+∠BEF=90º.
∴∠HEF=180º―90º=90º.
∴四边形EFGH是一个边长为c地
正方形.它地面积等于c^2.
∵RtΔGDH≌RtΔHAE,
∴∠HGD=∠EHA.
∵∠HGD+∠GHD=90º,
∴∠EHA+∠GHD=90º.
又∵∠GHE=90º,
∴∠DHA=90º+90º=180º.
∴ABCD是一个边长为a+b地正方形,它地面积等于(a+b)^2.
∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2),∴a^2+b^2=c^2.
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【证法3】
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等地直角三角形,则每个直角三角形地面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90º,
∴∠EAB+∠HAD=90º,
∴ABCD是一个边长为c地正方形,它地面积等于c^2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
∠HEF=90º.
∴EFGH是一个边长为b―a地正方形,它地面积等于(b-a)^2.
∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2,∴a^2+b^2=c^2.
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【证法4】
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等地直角三角形,则每个直角三角形地面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90º,
∴∠AED+∠BEC=90º.
∴∠DEC=180º―90º=90º.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,
它地面积等于c^2/2.
又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形,它地面积等于(a+b)^2/2
(a+b)^2/2=2*ab/2+c^2/2,
∴a^2+b^2=c^2.
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【证法5】
做四个全等地直角三角形,设它们地两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样地一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC地延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED,
∵∠EGF+∠GEF=90°,
∴∠BED+∠GEF=90°,
∴∠BEG=180º―90º=90º.
又∵AB=BE=EG=GA=c,
∴ABEG是一个边长为c地正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90º.
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90º.
即∠CBD=90º.
又∵∠BDE=90º,∠BCP=90º,
BC=BD=a.
∴BDPC是一个边长为a地正方形.
同理,HPFG是一个边长为b地正方形.
设多边形GHCBE地面积为S,则
a^2+b^2=S+2*ab/2
c^2=S+2*ab/2
∴a^2+b^2=c^2.
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【证法6】
做两个全等地直角三角形,设它们地两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c地正方形.把它们拼成如图所示地多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵∠BCA=90º,QP∥BC,
∴∠MPC=90º,
∵BM⊥PQ,
∴∠BMP=90º,
∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90º.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º,
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º,
∴∠QBM=∠ABC,
又∵∠BMP=90º,∠BCA=90º,BQ=BA=c,
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).
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【证法7】
做三个边长分别为a、b、c地正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.
∵AF=AC,AB=AD,
∠FAB=∠GAD,
∴ΔFAB≌ΔGAD,
∵ΔFAB地面积等于a^2/2,
ΔGAD地面积等于矩形ADLM地面积地一半,
∴矩形ADLM地面积=a^2.
同理可证,矩形MLEB地面积=b^2.
∵正方形ADEB地面积
=矩形ADLM地面积+矩形MLEB地面积
∴a^2+b^2=c^2.
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【证法8】
如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC地长度分别为a、b,斜边AB地长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中,
∵∠ADC=∠ACB=90º,
∠CAD=∠BAC,
∴ΔADC∽ΔACB.
AD∶AC=AC∶AB,
即AC^2=AD*AB.
同理可证,ΔCDB∽ΔACB,从而有BC^2=BD*AB.
∴AC^2+BC^2=(AD+BD)*AB=AB^2,即a^2+b^2=c^2.
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【证法9】
做两个全等地直角三角形,设它们地两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c地正方形.把它们拼成如图所示地多边形.过A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R.过B作BP⊥AF,垂足为P.过D作DE与CB地延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H.
∵∠BAD=90º,∠PAC=90º,
∴∠DAH=∠BAC.
又∵∠DHA=90º,∠BCA=90º,
AD=AB=c,
∴RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴DH=BC=a,AH=AC=b.
由作法可知,PBCA是一个矩形,
所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=
CA=b,AP=a,从而PH=b―a.
∵RtΔDGT≌RtΔBCA,
RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴RtΔDGT≌RtΔDHA.
∴DH=DG=a,∠GDT=∠HDA.
又∵∠DGT=90º,∠DHF=90º,
∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º,
∴DGFH是一个边长为a地正方形.
∴GF=FH=a.TF⊥AF,TF=GT―GF=b―a.
∴TFPB是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底BP=b,高FP=a+(b―a).
用数字表示面积地编号(如图),则以c为边长地正方形地面积为
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【证法10】
设直角三角形两直角边地长分别为a、b(b>a),斜边地长为c.做三个边长分别为a、b、c地正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积地编号(如图).
∵∠TBE=∠ABH=90º,
∴∠TBH=∠ABE.
又∵∠BTH=∠BEA=90º,
BT=BE=b,
∴RtΔHBT≌RtΔABE.
∴HT=AE=a.
∴GH=GT―HT=b―a.
又∵∠GHF+∠BHT=90º,
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º,
∴∠GHF=∠DBC.
∵DB=EB―ED=b―a,
∠HGF=∠BDC=90º,
∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.
过Q作QM⊥AG,垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º,可知∠ABE
=∠QAM,而AB=AQ=c,所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌
RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.
由RtΔABE≌RtΔQAM,又得QM=AE=a,∠AQM=∠BAE.
∵∠AQM+∠FQM=90º,∠BAE+∠CAR=90º,∠AQM=∠BAE,
∴∠FQM=∠CAR.
又∵ ∠QMF=∠ARC=90º,QM=AR=a,
∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.
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【证法11】
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB地延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º,点C在⊙B上,所以AC是⊙B地切线.由切割线定理,得
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【证法12】
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c(如图).过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆.根据多列M定理,圆内接四边形对角线地乘积等于两对边乘积之和,有
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【证法13】
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作RtΔABC地内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O地半径为r.
∵AE=AF,BF=BD,CD=CE,
∴AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF-BF)
=CE+CD=r+r=2r,
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【证法14】
如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC地长度分别为a、b,斜边AB地长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.
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【证法15】
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设直角三角形两直角边地长分别为a、b,斜边地长为c.作边长是a+b地正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示地几个部分,则正方形ABCD地面积为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;把正方形ABCD划分成上方右图所示地几个部分,则正方形ABCD地面
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