关于行列式的一般定义和计算方法Word文档下载推荐.docx
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a2n=
a12a22
an2；
an2
a1na2n
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
a
b
c
d
如:
D=
=ad-bc,
=bc-ad=-D
以ri
表第i
行，Cj表第j列。
交换
i,j两行记为ri
rj,交换i,j两列记作
Ci
Cj。
性质3：
如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值
等于零。
性质4：
把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k
的结果等于用这个常数k乘这个行列式。
（第i行乘以k，记作rik）
推论1：
一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行
列式符号的前面。
推论2：
如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行
列式值等于零。
推论3：
如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
ka
i1
kai2
kain
k
ai1
ai2
ain
性质5：
如果行列式
行列式D
D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么
等于两个行列式D1和D2的和。
a1j
b1
a2j
b2
a2n
a21a
22
+
bn
an1a
n2
性质6：
把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或
另一列）的对应元素上，行列式值不变。
推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和（m>
2），则此行列式等于m个行列式之和。
定义：
行列式
aij
如果满足：
ji
（i,j
1,
n）；
则称此行列式为对称行
列式。
一个
n阶行列式，如果它的元素满足：
aij
aji
i,j
1,2
n；
试证：
当
为奇数时，此行列式为零。
每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD
性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：
ai1Aj1
ai2Aj2
ainAjn
i
j
按列：
a1iA1j
a2iA2j
aniAnj
将性质7与Laplace定理合并为下列结论：
D
aik
Ajk
（1）
和
aki
Akj
（2）
行列式的计算
1．利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
Dn
n1
解Dn中不为零的项用一般形式表示为
a1n1a2n2
an11ann
n!
.
该项列标排列的逆序数t（n－1n－2⋯1n）等于（n1）（n
2），故
（n
1）（n2）
Dn（
1）
.
2．利用行列式的性质计算
例2一个n阶行列式Dn
aij的元素满足
aji
i,j
1,2,
n,
则称Dn为反对称行列式，证明：
奇数阶反对称行列式为零.
证明：
由aijaji知aiiaii，即
aii0,i1,2,,n
故行列式Dn可表示为
a13
a23
a3n
由行列式的性质AA
Dna13
a3n
（
1）n
1）nDn
当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元
素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3计算n阶行列式
Db
bbba
解：
这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，
把第2，3，⋯，n列都加到第1列上，行列式不变，得
（n
1）b
Da
[a
1）b]
ab
[a（n1）b]0
000ab
[a（n1）b]（ab）n1
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4计算n阶行列式
解将Dn按第1行展开
Dna0
0
（1）n1
an
（1）n1
（1）nan2
an2.
5．逆推公式法
逆推公式法：
对n阶行列式Dn找出Dn
与Dn－1
或Dn与Dn－1
n－2之间的一
D
种关系——称为逆推公式（其中
n－1
n－2等结构相同），再由递推公式求出
Dn的方法称为递推公式法。
例5证明
x
Dn
an1
a2
a1
xn
axn1
axn2
xa,（n2）
将Dn按第1列展开得
an3
（1）n1an
anxDn1
由此得递推公式：
DnanxDn1，利用此递推公式可得
DnanxDn1anx（an1xDn2）
anan1xx2Dn2
anan1xa1xn1xn
6．利用范德蒙行列式
例6
计算行列式
x1
x2
x12
x22
xn2
x1n1
x1n2
x2n1
x2n2
xnn1
xnn2
解
把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以
此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式
（xixj）
nij
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7
计算n阶行列式
xa2
xan
第i行减第1行
2,,n1
（箭形行列式）
100x
naj
j1
xn1
8．数学归纳法
例8计算n阶行列式
用数学归纳法.当n=2时
D2
x（xa1）a2
a1x
假设n=k时，有
Dkxka1xk1a2xk2ak1xak
则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得
Dk1xDk
ak1
x（xk
a1xk1
ak1x
ak）ak1
xk1
a1xk
ak1x2
akxak1
由此，对任意的正整数n，有
Dnxna1xn1an2x2an1xan
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列
式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
a2
例9
a22
0a2
Dn
1Dn1
a12
1Dn
⋯⋯
ai
12
i1
上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体
问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。
学习中多练习，多总结，才能更好地
掌握行列式的计算。
ax
byaybzazbx
xyz
（1）ay
bzaz
bxax
by
（a3b3）yzx;
az
byay
bz
zxy
证明
bx
ay
yay
ay
bzaz
zax
xax
xay
z
y
zaz
a2yaz
b2z
a3y
b3z
b3y
（a3b3）y
关于行列式的消项（其中C代表列·
·
R代表行）
a2abb2
（2）2aab2b（ab）3;
111
abb2c2c1a2aba2b2
2a
2b
ba
c3
c1
（1）31ab
（b
a）（b
a）aba（ab）
3
1111
abcd
（3）a2b2c2d2
a4b4c4d4
（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）;
证明
c2
d2
a4
b4
c4
d4
（c2,c3,c4减数字去第一
b（b
a）
c（c
d（d
0b2（b2a2）c2（c2a2）d2（d2a2）
列的）
a）（c
a）（d
b2（b
c2（c
a）d2（d
a）0
ba）
b）（cb
b）（d
b）c（c
=（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）
（4）
ax
anan1an2
a2xa1
用数学归纳法证明
当n
2时D
x2ax
命题成立
假设对于（n
1）阶行列式命题成立
即
Dn1xn1a1xn2
an2xan1
则Dn按第一列展开
有
xD
a
（1）n1x
00
xDn1anxna1xn1
an1xan
因此
对于n阶行列式命题成立
6设n阶行列式Ddet（aij）,
把D上下翻转、或逆时针旋转
90、或依副对角线翻转
依次得
D1a
D2a
D3a
11
1n
n1
n（n
证明D1
D2
（1）2DD3
因为D
det（aij）
所以
n1an1
a21
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