关于行列式的一般定义和计算方法Word文档下载推荐.docx
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a2n=
a12a22
an2;
an2
a1na2n
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号.
a
b
c
d
如:
D=
=ad-bc,
=bc-ad=-D
以ri
表第i
行,Cj表第j列。
交换
i,j两行记为ri
rj,交换i,j两列记作
Ci
Cj。
性质3:
如果一个行列式的两行(或两列)完全相同,那么这个行列式的值
等于零。
性质4:
把一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素同乘以某一个常数k
的结果等于用这个常数k乘这个行列式。
(第i行乘以k,记作rik)
推论1:
一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素的公因式可以提到行
列式符号的前面。
推论2:
如果一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素都为零,那么行
列式值等于零。
推论3:
如果一个行列式的某二行(或某二列)的对应元素成比例,那么行列式值等于零。
ka
i1
kai2
kain
k
ai1
ai2
ain
性质5:
如果行列式
行列式D
D的某一行(或某一列)的所有元素都可以表成两项的和,那么
等于两个行列式D1和D2的和。
a1j
b1
a2j
b2
a2n
a21a
22
+
bn
an1a
n2
性质6:
把行列式的某一行(或某一列)的元素乘同一个数后,加到另一行(或
另一列)的对应元素上,行列式值不变。
推论如果行列式的某一行(列)的每个元素都是m个数之和(m>
2),则此行列式等于m个行列式之和。
定义:
行列式
aij
如果满足:
ji
(i,j
1,
n);
则称此行列式为对称行
列式。
一个
n阶行列式,如果它的元素满足:
aij
aji
i,j
1,2
n;
试证:
当
为奇数时,此行列式为零。
每一行(或列)提出一个(-1),再转置得D=(-1)nD
性质7行列式的某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行:
ai1Aj1
ai2Aj2
ainAjn
i
j
按列:
a1iA1j
a2iA2j
aniAnj
将性质7与Laplace定理合并为下列结论:
D
aik
Ajk
(1)
和
aki
Akj
(2)
行列式的计算
1.利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
Dn
n1
解Dn中不为零的项用一般形式表示为
a1n1a2n2
an11ann
n!
.
该项列标排列的逆序数t(n-1n-2⋯1n)等于(n1)(n
2),故
(n
1)(n2)
Dn(
1)
.
2.利用行列式的性质计算
例2一个n阶行列式Dn
aij的元素满足
aji
i,j
1,2,
n,
则称Dn为反对称行列式,证明:
奇数阶反对称行列式为零.
证明:
由aijaji知aiiaii,即
aii0,i1,2,,n
故行列式Dn可表示为
a13
a23
a3n
由行列式的性质AA
Dna13
a3n
(
1)n
1)nDn
当n为奇数时,得Dn=-Dn,因而得Dn=0.
3.化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元
素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3计算n阶行列式
Db
bbba
解:
这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,
把第2,3,⋯,n列都加到第1列上,行列式不变,得
(n
1)b
Da
[a
1)b]
ab
[a(n1)b]0
000ab
[a(n1)b](ab)n1
4.降阶法
降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。
例4计算n阶行列式
解将Dn按第1行展开
Dna0
0
(1)n1
an
(1)n1
(1)nan2
an2.
5.逆推公式法
逆推公式法:
对n阶行列式Dn找出Dn
与Dn-1
或Dn与Dn-1
n-2之间的一
D
种关系——称为逆推公式(其中
n-1
n-2等结构相同),再由递推公式求出
Dn的方法称为递推公式法。
例5证明
x
Dn
an1
a2
a1
xn
axn1
axn2
xa,(n2)
将Dn按第1列展开得
an3
(1)n1an
anxDn1
由此得递推公式:
DnanxDn1,利用此递推公式可得
DnanxDn1anx(an1xDn2)
anan1xx2Dn2
anan1xa1xn1xn
6.利用范德蒙行列式
例6
计算行列式
x1
x2
x12
x22
xn2
x1n1
x1n2
x2n1
x2n2
xnn1
xnn2
解
把第1行的-1倍加到第2行,把新的第2行的-1倍加到第3行,以
此类推直到把新的第n-1行的-1倍加到第n行,便得范德蒙行列式
(xixj)
nij
7.加边法(升阶法)
加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。
例7
计算n阶行列式
xa2
xan
第i行减第1行
2,,n1
(箭形行列式)
100x
naj
j1
xn1
8.数学归纳法
例8计算n阶行列式
用数学归纳法.当n=2时
D2
x(xa1)a2
a1x
假设n=k时,有
Dkxka1xk1a2xk2ak1xak
则当n=k+1时,把Dk+1按第一列展开,得
Dk1xDk
ak1
x(xk
a1xk1
ak1x
ak)ak1
xk1
a1xk
ak1x2
akxak1
由此,对任意的正整数n,有
Dnxna1xn1an2x2an1xan
9.拆开法
把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列
式写成两行列式之和,使问题简化以利计算。
a2
例9
a22
0a2
Dn
1Dn1
a12
1Dn
⋯⋯
ai
12
i1
上面介绍了计算n阶行列式的常见方法,计算行列式时,我们应当针对具体
问题,把握行列式的特点,灵活选用方法。
学习中多练习,多总结,才能更好地
掌握行列式的计算。
ax
byaybzazbx
xyz
(1)ay
bzaz
bxax
by
(a3b3)yzx;
az
byay
bz
zxy
证明
bx
ay
yay
ay
bzaz
zax
xax
xay
z
y
zaz
a2yaz
b2z
a3y
b3z
b3y
(a3b3)y
关于行列式的消项(其中C代表列·
·
R代表行)
a2abb2
(2)2aab2b(ab)3;
111
abb2c2c1a2aba2b2
2a
2b
ba
c3
c1
(1)31ab
(b
a)(b
a)aba(ab)
3
1111
abcd
(3)a2b2c2d2
a4b4c4d4
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);
证明
c2
d2
a4
b4
c4
d4
(c2,c3,c4减数字去第一
b(b
a)
c(c
d(d
0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)
列的)
a)(c
a)(d
b2(b
c2(c
a)d2(d
a)0
ba)
b)(cb
b)(d
b)c(c
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
(4)
ax
anan1an2
a2xa1
用数学归纳法证明
当n
2时D
x2ax
命题成立
假设对于(n
1)阶行列式命题成立
即
Dn1xn1a1xn2
an2xan1
则Dn按第一列展开
有
xD
a
(1)n1x
00
xDn1anxna1xn1
an1xan
因此
对于n阶行列式命题成立
6设n阶行列式Ddet(aij),
把D上下翻转、或逆时针旋转
90、或依副对角线翻转
依次得
D1a
D2a
D3a
11
1n
n1
n(n
证明D1
D2
(1)2DD3
因为D
det(aij)
所以
n1an1
a21