版高中数学 第一章 解三角形 11 正弦定理一学案 苏教版必修5Word文件下载.docx

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2．a＝＝＝2RsinA.

3．sinA＝，sinB＝________，sinC＝________.

知识点三　解三角形

解斜三角形是指由六个元素（三条边和三个角）中的________元素（至少有一个是________），求其余三个未知元素的过程．

类型一　定理证明

例1　在钝角△ABC中，证明正弦定理．

反思与感悟　

（1）本例用正弦函数的定义沟通边与角的内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．

（2）要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．

跟踪训练1　如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.

类型二　用正弦定理解三角形

例2　在△ABC中，已知A＝32.0°

，B＝81.8°

，a＝42.9cm，解三角形．

反思与感悟　

（1）正弦定理实际上是三个等式：

＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，

所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．

（2）具体地说，以下两种情形适用正弦定理：

①已知三角形的任意两角与一边；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．

跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°

，C＝75°

，求b的值．

类型三　边角互化

例3　在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长的最大值．

反思与感悟　利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC（k>

0）能够使三角形边与角的关系相互转化．

跟踪训练3　在任意△ABC中，求证：

a（sinB－sinC）＋b（sinC－sinA）＋c（sinA－sinB）＝0.

1．在△ABC中，若sinA＝2sinB，AC＝2，则BC＝________.

2．在△ABC中，sinA＝sinC，则边a，c的大小关系是________．

3．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B＝________.

4．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝________.

1.定理的表示形式：

＝＝＝2R，

或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC（k>

0）．

2.正弦定理的应用范围：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角．

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．

3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：

一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；

另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　＝＝＝c.

思考2　在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本采用边BC上的高AD＝bsinC＝csinB来证明．

知识点二

1.　　△ABC外接圆的半径

3.　

知识点三

三个　边

题型探究

例1　证明　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，

根据正弦函数的定义知：

＝sin∠CAD＝sin（180°

－A）

＝sinA，＝sinB.

∴CD＝bsinA＝asinB.

∴＝.

同理，＝.故＝＝.

跟踪训练1　证明　

连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.

∵A′B为直径，长度为2R，

∴∠A′CB＝90°

，

∴sinA′＝＝，

∴sinA＝，即＝2R.

例2　解　根据三角形内角和定理，C＝180°

－（A＋B）＝180°

－（32.0°

＋81.8°

）＝66.2°

.

根据正弦定理，

得b＝＝

≈80.1（cm）；

得c＝＝

≈74.1（cm）．

跟踪训练2　解　根据三角形内角和定理，

得A＝180°

－（B＋C）＝180°

－（60°

＋75°

）＝45°

根据正弦定理，得b＝＝＝9.

例3　解　设AB＝c，BC＝a，CA＝b.

由正弦定理，

得＝＝＝＝2.

∴b＝2sinB，c＝2sinC，

a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC

＝3＋2sinB＋2sin

＝3＋2sinB＋

2

＝3＋3sinB＋3cosB

＝3＋6sin，

∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9.

跟踪训练3　证明　由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>

0.代入得：

左边＝k（sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB）＝0＝右边，

所以等式成立．

当堂训练

1．4　2.a＝c　3.60°

或120°

　4.或

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