高中数学同步讲义必修二第二章232 平面与平面垂直的判定.docx

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高中数学同步讲义必修二第二章232平面与平面垂直的判定

2.3.2　平面与平面垂直的判定

学习目标　1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．

知识点一　二面角的概念

（1）定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

（2）相关概念：

①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．

（3）画法：

（4）记法：

二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.

（5）二面角的平面角：

若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

知识点二　平面与平面垂直

思考　若直线l垂直于平面α，是否经过直线l的任意一个平面都垂直于平面α？

答案　是．

梳理　两面垂直的定义及判定

（1）平面与平面垂直

①定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

②画法：

③记作：

α⊥β.

（2）判定定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，l⊂β⇒α⊥β

1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．（　√　）

2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.（　√　）

类型一　证明面面垂直

例1　如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.

（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由．

（2）证明：

平面PAB⊥平面PBD.

（1）解　取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点，理由如下：

因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，

从而CM∥AB.

又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，

所以CM∥平面PAB.

（说明：

取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（2）证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.

因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD.

从而PA⊥BD.

又BC∥MD，且BC＝MD，

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，

所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD，

所以平面PAB⊥平面PBD.

引申探究

1．若将本例条件改为“PA垂直于矩形ABCD所在的平面”，试证明：

平面PCD⊥平面PAD.

证明　因为PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，

所以CD⊥AD，又AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAD.

2．若将本例条件改为“PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PB＝BC，M是PC中点”，试证明：

平面MBD⊥平面PCD.

证明　连接AC，则BD⊥AC.

由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，

因为PB＝BC，M是PC中点，

所以BM⊥PC，又BD∩BM＝B，BM，BD⊂平面BMD，

所以PC⊥平面MBD.

而PC⊂平面PCD，

所以平面MBD⊥平面PCD.

反思与感悟　证明面面垂直常用的方法

（1）定义法：

即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．

（2）判定定理法：

在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．

（3）性质法：

两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．

跟踪训练1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点．

证明：

平面BDC1⊥平面BDC.

证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，

所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1，

所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.

又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

类型二　求二面角的大小

例2　

（1）有下列结论：

①两个相交平面组成的图形叫作二面角；

②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是（　　）

A．①③B．②④C．③④D．①②

答案　B

解析　由二面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.

（2）如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．

解　如图，在平面α内，

过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，

设CO＝a.

∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.

又AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD.

而AD⊂平面AOD，∴BC⊥AD，

∴∠ADO即为二面角A－BC－O的平面角，

由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，得AO⊥OB，AO⊥OC，

又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，

∴AO＝a，则AC＝a，AB＝2a，

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，

∴BC＝＝a，

∴AD＝＝＝a.

在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝，

∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小为60°.

反思与感悟　

（1）定义法：

在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．

（2）垂面法：

过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线（交线）所成的角，即为二面角的平面角．

（3）垂线法：

利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．

跟踪训练2　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.

又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.

又∵BC是二面角P－BC－A的棱，

∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．

由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，

∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（　　）

A．平行B．可能重合

C．相交且垂直D．相交不垂直

答案　C

解析　由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.

2．下列命题中正确的是（　　）

A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β

C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β

D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β

答案　C

解析　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．

3．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

答案　C

解析　由已知BD＝2CD，翻折后，

在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，

而AD⊥BD，CD⊥AD，

故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.

4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有（　　）

A．2对B．3对C．4对D．5对

答案　D

解析　∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，

又CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，

∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，

平面PBC⊥平面PAB，

∴共有5对互相垂直的平面．

5．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．

求证：

平面EBD⊥平面ABCD.

证明　连接AC与BD交于O点，连接OE.

∵O为AC的中点，E为SA的中点，

∴EO∥SC.

∵SC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

又∵EO⊂平面EBD，

∴平面EBD⊥平面ABCD.

1．求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”．

2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路

（1）本质：

通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．

（2）证题思路：

处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．

一、选择题

1．下列不能确定两个平面垂直的是（　　）

A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C．一个平面经过另一个平面的一条垂线

D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b

答案　D

解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．

2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.

其中正确结论的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.

3.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

答案　C

解析　因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

4．过两点与一个已知平面垂直的平面（　　）

A．有且只有一个B．有无数个

C．有且只有一个或无数个D．可能不存在

答案　C

解析　若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．

5．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于（　　）

A．90°B．45°C．60°D．30°

答案　A

解析　如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.

由题意可得AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.

在Rt△AFC中，可得AC＝a，

∴△ACD为正三角形．

∵E是