高中数学同步讲义必修二第二章232 平面与平面垂直的判定.docx

1、高中数学同步讲义必修二第二章 232 平面与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直知识点一二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面(3)画法：(4)记法：二面角l或AB或PlQ或PABQ.(5)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.知识点二平面与平面垂直思考若直线

2、l垂直于平面，是否经过直线l的任意一个平面都垂直于平面？答案是梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法：记作：.(2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l，l1若l，则过l有无数个平面与垂直()2两垂直平面的二面角的平面角大小为90.()类型一证明面面垂直例1如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由(2)证明：平面PAB平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M平

3、面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，PAAB，PACD.因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD.从而PABD.又BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，AB，AP平面PAB，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.引申探究1若将本例条件改为“PA垂

4、直于矩形ABCD所在的平面”，试证明：平面PCD平面PAD.证明因为PA平面ABCD，所以PACD，因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD，又ADPAA，AD，PA平面PAD，所以CD平面PAD，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD.2若将本例条件改为“PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PBBC，M是PC中点”，试证明：平面MBD平面PCD.证明连接AC，则BDAC.由PA底面ABCD，可知BDPA，又ACPAA，AC，PA平面PAC，所以BD平面PAC，所以BDPC，因为PBBC，M是PC中点，所以BMPC，又BDBMB，BM，BD平面BMD，所以PC平面MBD.而PC平面PCD，

5、所以平面MBD平面PCD.反思与感悟证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面跟踪训练1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以

6、DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.类型二求二面角的大小例2(1)有下列结论：两个相交平面组成的图形叫作二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()A B C D答案B解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以错误，易知正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故错误；由定义知正确故选B.(2)如图，已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO

7、30，ACO45，求二面角ABCO的大小解如图，在平面内，过O作ODBC，垂足为点D，连接AD，设COa.AO，BC，AOBC.又AODOO，BC平面AOD.而AD平面AOD，BCAD，ADO即为二面角ABCO的平面角，由AO，OB，OC，得AOOB，AOOC，又ABO30，ACO45，AOa，则ACa，AB2a，在RtABC中，BAC90，BCa，ADa.在RtAOD中，sinADO，ADO60，即二面角ABCO的大小为60.反思与感悟(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两

8、条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法跟踪训练2如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小解由已知PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC.又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.又PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角由PAAC知PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.1直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行 B可能重

9、合C相交且垂直 D相交不垂直答案C解析由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C.2下列命题中正确的是()A平面和分别过两条互相垂直的直线，则 B若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则 C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则D若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则答案C解析当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确3如图所示，在ABC中，ADBC，ABD的面积是ACD的面积的2倍，沿AD将ABC翻折，使翻折后BC平面ACD，此时二面角BADC的大小为()A30 B45 C60 D90答案C解析由已

10、知BD2CD，翻折后，在RtBCD中，BDC60，而ADBD，CDAD，故BDC是二面角BADC的平面角，其大小为60.4如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A2对 B3对 C4对 D5对答案D解析PA平面ABCD，平面PAD平面ABCD，平面PAB平面ABCD，又CD平面PAD，AB平面PAD，BC平面PAB，平面PCD平面PAD，平面PAB平面PAD，平面PBC平面PAB，共有5对互相垂直的平面5如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点求证：平面EBD平面ABCD.证明连接AC与BD交于O点，连接OE.O为

11、AC的中点，E为SA的中点，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.1求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”2平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决一、选择题1下列不能确定两个平面垂直的是()A两个平面相交，所成二面角是直二面角B一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C一个平面经过另一个平面的一条垂线D平面内的直线a垂直于平面内的直线b答案D解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平

12、面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直2已知直线m，n与平面，给出下列三个结论：若m，n，则mn；若m，n，则mn；若m，m，则.其中正确结论的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析若m，n，则m与n可能平行、相交或异面，故错误；易知正确所以正确结论的个数是2.3.如图所示，在四面体DABC中，若ABBC，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析因为ABBC，且E是A

13、C的中点，所以BEAC.同理，DEAC.又BEDEE，所以AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.4过两点与一个已知平面垂直的平面()A有且只有一个 B有无数个C有且只有一个或无数个 D可能不存在答案C解析若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直5在四面体ABCD中，ABBCCDAD，BADBCD90，ABDC为直二面角，E是CD的中点，则AED等于()A90 B45 C60 D30答案A解析如图，设ABBCCDADa，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AFCFa，AFC90.在RtAFC中，可得ACa，ACD为正三角形E是