排列组合归纳总结Word格式文档下载.docx
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(3)保证连续性。
—排列与组合
1.排列
(1)排列定义:
从n个不同元素中,任取m(m<
n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列数公式:
Am=C:
A:
=n(n—1)(n—2)…(n—m+1)或写成Am=(n—m)!
•特殊:
Ann=n!
=n(n-1)!
(3)特征:
有序且不重复
2•组合
(1)组合定义:
从n个不同元素中,任取m(m<
n)个元素组成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数公式:
cm=笙=呵—1)(n—2)…(n—m+1)或写成
Amm!
(3)组合数的性质
①cm=cn—m;
mmm—1
1②Cn+1=Cn十Cn
(4)特征:
有序且不重复3•排列与组合的区别与联系:
排列有序,组合无序
联系:
排列可视为先组合后全排
4•基本原则:
(1)先特殊后一般;
(2)先选后排;
(3)先分类后分步。
-排列组合的应用(常用方法:
直接法,间接法)
1•抽取问题:
(1)关键:
特殊优先;
(2)题型:
①把n个相同的小球,一次性的放入到m个不同的盒
子中(nWm),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法?
Cmn
2把n个相同的小球,依次性的放入到m个不同的盒子
中(nWm,每个盒子至少1个,有多少种不同的方法?
Amn
3把n个相同的小球,放入到m个不同的盒子中(nWm),每个盒子放球数目不限,有多少种不同的方法?
m
4把n个不同的小球,放入到m个不同的盒子中(nWm),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法?
5把n个相同的小球,依次性的放入到m个不同的盒子中(n》m,每个盒子至多1个,有多少种不同的方法?
C-1m-1隔板法
2.排序问题:
特殊优先
(1)排队问题:
1对n个元素做不重复排序An;
2
Amm
对n个元素进行(其中有m个元素的位置固定)排列
如果对n个元素进行(其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置
八n
固定)排列A1K
AmAK
3相邻问题一捆绑法(注意松绑);
4不相邻问题:
(a)—方不相邻一先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位;
(b)互不相邻先排少的在插入多的;
⑵数字问题;
1各位相加为奇数的-----奇数的个数是奇数;
2各位相加为偶数的-----奇数的个数是偶数;
3组成n为偶数(奇数)的数----特殊优先法;
4能被n整除的数-----特殊优先法;
5
比某数大的数,比某数小的数或某数的位置----从大于(小于)开始排,再排等于;
⑶着色问题:
①区域优先-----
颜色就是分类点;
②颜色优先-----
区域就是分类点.
⑷几何问题:
①点、
线、面的关系一般均为组合问题;
②图中有多少个矩形C62
1非均分不编号;
n个不同元素分成
素数目均不相等,且不考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽mim2m3.
__CnCn呵Cn呵知2•
2非均分编号;
n个不同元素分成m组,每组组元素数目均不相
mim2m3
等,且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽CnCnfCnF^2
3均分不编号;
n个不同元素分成m组,其中有k组元素数目均相等,
m2m3k
且不考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽CnCn’Cnm』2*……Ak
4均分编号;
n个不同元素分成m组,其中有k组元素数目均相等,
且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽(CnCnsCn』i』2
二、二项式定理
1•定理:
(a+b)n=C0anb°
+1b+C2an_2b2+…+rbr+…+
cna°
bn(r=0,1,2,…,n).
2•二项展开式的通项
Tr+1=cnan-rbr,r=0,1,2,…,n,其中C;
叫做二项式系数.
3•二项式系数的性质
1对称性:
与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,
即C0
1n—1kn_k
Cn=Cn,…,Cn=Cn,
2最大值:
当n为偶数时,中间的一项的二项式系数取得最大值;
当n为奇数时,中间的两项的二2项式系数
Cn2C/相等,且同时取得最大值.
3各二项式系数的和
a.C0+Cn+C2+…+Cn+…+C;
=2n;
b.C!
+C+…+疋+•••=Ci+C+…+1+…=i-2°
=2
T二项式定理的应用:
1.求通项;
Tri二C;
an」br
2•含xr的项:
①项的系数;
②二项式系数。
3•常数项(含xr的项中r=0)整数项(含xr的项中r€N)有理项(含xr的项中r€Z)无理项(含xr的项中r-Z)
4.项的系数和:
(1)已知多项式f(x)=(a+bx)n(a,b>
0)=a0+aix+a2x'
+…+寂:
1a。
=f(0)
2ao+ai+a+…+a=f
(1)=(a+b)
3|ao|+|a1|+|a21+…+|an|=f
(1)=(a+b)
f
(1)+f(-1)
4
ao+a2+a4+・・.=2
22
6(ao+a2+Q+…)-(ai+a3+a5+…)=f
(1)f(-1)。
(2)已知多项式f(x)=(a-bx)n(a,b>
O)=ao+aix+a2X2+…+寂:
1ao=f(0)
^②ao+ai+g+…+a=f
(1)=(a-b)
③|ao|+|a1|+|a21+…+|an|=f(-1)=(a+b)
ao+a2+&
+・・・=2
5a1+a3+&
+…二也3;
6(ao+a2+a+…)-(a1+a3+a5+…)=f
(1)f(-1)。
(3)已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b>
o)=ao+a1X+a2X2+…+anXn:
令g(x)=(-1)n(b-ax)
①ao=f(o)
^②ao+a1+32+…+a=f
(1)=(a-b)
③|ao|+|a1|+|a21+-+|an|=|(-1)n|g(-1)
4ao+a2+a4+・・・=2
5a1+a3+&
+…=f
(1)~f^1);
6(ao+a2+Q+…)-(a1+a3+a5+…)=f
(1)f(-1)。
(4)已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b>
o)=ao+a1X+a2X2+…+anXn:
2ao+ai+q+…+a=f
(1)=(a-b)n;
3|ao|+|ai|+|a2|+…+|an|=|(-1)n|g
(1)
f(i)+f(-1)
^④ao+a2+&
5ai+a3+$+…二也S;
6(a0+a2+a+…)-(a1+a3+a5+…)=f
(1)f(-1)。
5.最值问题:
n
①二项式系数最大:
(a)当n为偶数时,二项式系数中,cl最
nAnA
大;
(b)当n为奇数时,二项式系数中,c石和CF最大
②项的是系数最大:
表示第叶1项的系数
(a)个项都为正数时[Ct「异CTr—c*最大;
WSr+
(b)一项为正一项为负时」CTr+—CWn&
+最大
WC-r+