全等三角形经典题目测试含答案文档格式.docx

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（S．A．S．）

（A．S．A．）

（A．A．S．）

7．（2009•芜湖）如图所示的4×

4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（　　）

（第7题）（第8题）

330°

315°

310°

320°

　8．（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

PA=PB

PO平分∠APB

OA=OB

AB垂直平分OP

9．（2009•江苏）如图，给出下列四组条件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；

其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）

1组

2组

3组

4组

10．（2008•新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（　　）

h1＞h2

h1＜h2

h1=h2

无法确定

11．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）

（第11题）（第12题）（第13题）

12．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：

①AB=AE；

②BC=ED；

③∠C=∠D；

④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）

4个

3个

2个

1个

13．如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（　　）

BB′⊥AC

BC=B′C

∠ACB=∠ACB′

∠ABC=∠AB′C

二．填空题（共7小题，共21分）

14．（2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　_________　．

　（第14题）（第15题）

15．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：

S△BCO：

S△CAO=　_________　．

16．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=　_________　cm．

（第16题）（第17题）（第18题）

17．（2011•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=　_________　度．

18．（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°

，AD=AE，那么图中有　_________　对全等三角形．

19．（2008•大兴安岭）如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：

　_________　，使OC=OD（只添一个即可）．

20．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=　_________　度．

三．解答题（共6小题，共60分）

21．（2013•陕西）如图，∠AOB=90°

，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．

求证：

AC=OD．

22．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠C=90°

，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．

△ABC≌△MED．

23．（2011•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．

△BEC≌△CDA．

24．（2012•密云县二模）已知：

如图，∠C=∠CAF=90°

，点E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于点D．求证：

AB=FE．

25.如图，在

ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.

⑴求证：

BE=CE；

⑵若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC,垂足为F，∠BAC=45°

，原题设其它条件不变.

AEF≌

BCF.

26.（10分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：

∠C=2∠B．

一．选择题（共13小题）

考点：

全等三角形的判定与性质．

分析：

求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．

解答：

解：

∵F是高AD和BE的交点，

∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°

，

∴∠CAD+∠AFE=90°

，∠DBF+∠BFD=90°

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠CAD=∠FBD，

∵∠ADB=90°

，∠ABC=45°

∴∠BAD=45°

=∠ABD，

∴AD=BD，

在△DBF和△DAC中

∴△DBF≌△DAC，

∴BF=AC=8cm，

故选C．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF≌△DAC．

先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应边相等就可得到答案．

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°

∴∠EAF+∠AFE=90°

，∠FBD+∠BFD=90°

∴∠EAF=∠FBD，

=∠ABC，

在△ADC和△BDF中

∴△ADC≌△BDF，

∴DF=CD=4，

故选：

此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．

角平分线的性质；

专题：

计算题．

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵DE=DG，DM=DE，

∴DM=DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF=DN，

∴△DEF≌△DNM（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，

S△DNM=S△DEF=

S△MDG=

=

故选B．

本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

全等三角形的判定．

根据全等三角形的判定方法，对每个选项分别分析、解答出即可；

A、BC=BD，∠BAC=∠BAD，又由图可知AB为公共边，不能证明△ABC和△ABD全等，故本项错误，符合题意；

B、∠C=∠D，∠BAC=∠BAD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；

C、∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；

D、BC=BD，AC=AD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意．

故选A．

本题主要考查了全等三角形的判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；

若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

三角形的面积．

首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．

∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，

∴DF=DE=2．

又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，

∴7=

×

4×

2

AC×

2，

∴AC=3．

本题主要考查了角平分线的性质；

利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用．

作图题．

我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．

作图的步骤：

①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；

④过点D′作射线O′B′．

所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；

作图完毕．

在△OCD与△O′C′D′，

∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），

∴∠A′O′B′=∠AOB，

显然运用的判定方法是SSS．

此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．

网格型．

利用正方形的性质，分别求出多组三角形全等，如∠1和∠7的余角所在的三角形全等，得到∠1+∠7=90°

等，可得所求结论．

由图中可知：

①∠4=

90°

=45°

，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等

∴∠1+∠7=90°

同理∠2+∠6=90°

，∠3+∠5=90°

∠4=45°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×

+45°

=315°

考查了全等三角形的性质与判定；

做题时主要利用全等三角形的对应角相等，得到几对角的和的关系，认真观察图形，找到其中的特点是比较关键的．

8．（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

角平分线的性质．

本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．

∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB

∴PA=PB

∴△OPA≌△OPB

∴∠APO=∠BPO，OA=OB

∴A、B、C项正确

设PO与AB相交于E

∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE

∴△AOE≌△BOE

∴∠AEO=∠BEO=90°

∴OP垂直AB

而不能得到AB平分OP

故D不成立

故选D．

本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到△OPA≌△OPB，进而求得△AOE≌△BOE是解决的关键．

要判断能不能使△ABC≌△DEF一定要熟练运用判定方法判断，做题时注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来选择判定方法．

根据全等三角形的判定方法可知：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF，用的判定方法是“边边边”；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，用的判定方法是“边角边”；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F用的判定方法是“角边角”；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，用的判定方法是“角角边”；

因此能使△ABC≌△DEF的条件共有4组．

本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、AAS、ASA，HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

本题可通过构建全等三角形进行求解．过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；

因此只要证明△AMC≌△FNE，即可得出h1=h2．

过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；

在△AMC和△FNE中，

∵AM⊥BC，FN⊥DE，

∴∠AMC=∠FNE；

∵∠FED=115°

∴∠FEN=65°

=∠ACB；

∵又AC=FE，

∴△AMC≌△FNE；

∴AM=FN，

∴h1=h2．

本题主要考查了全等三角形的判定几性质；

做题中通过作辅助线构造了全等三角形是解决本题的关键，也是一种很重要的方法，要注意学习、掌握．

11．（2007•义乌市）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）

已知条件给出了角平分线还有PE⊥AC于点E等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．

利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3．

本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质．做题时从已知开始思考，想到角平分线的性质可以顺利地解答本题．

12．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：

∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边．

∠1=∠2，AC=AD，

加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；

加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；

加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；

加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．

13．（2005•乌兰察布）如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（　　）

根据已知条件结合三角形全等的判定方法，验证各选项提交的条件是否能证△ABC≌△AB′C即可．

如图：

∵AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，

A：

若BB′⊥AC，

在△ABC与△AB′C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∠ACB=∠ACB′，

∴△ABC≌△AB′C，

AB=AB′；

B：

若BC=B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB=AB′；

C：

若∠ACB=∠ACB′，则在△ABC与△AB'

C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′；

D：

若∠ABC=∠AB′C，则∠ACB=∠ACB′∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′．

本题考查的是三角形角平分线的性质及三角形全等的判定；

做题时要结合已知条件在图形上的位置对选项逐个验证．

二．填空题（共7小题）

14．（2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是　15　．

过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．

过D作DE⊥BC于E，

∵∠A=90°

∴DA⊥AB，

∵BD平分∠ABC，

∴AD=DE=3，

∴△BDC的面积是

DE×

BC=

10×

3=15，

故答案为：

15．

本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：

角平分线上的点到角两边的距离相等．

S△CAO=　4：

5：

6　．

首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：

S△CAO的值．

过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，

∴OD=OE=OF，

∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，

∴S△ABO：

S△CAO=（

AB•OD）：

（

BC•OF）：

AC•OE）=AB：

BC：

AC=40：

50：

60=4：

6．

4：

此题考查了角平分线的性质．此题难度