1994考研数学三真题及解析Word文档格式.docx
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N（,
2）的简单随机样本
X是样本均值，记
那么服从自由度为n
（A）t
S1
.n1
（C）t
三、（此题总分值6分）计算二重积分（x
D
四、（此题总分值
设函数y
1n
—*
n1i1
—（Xi
X）2,
）2,
-（Xi
ni1
（Xi
i1
1的t分布的随机变量是
y）dxdy,其中D
y（x）满足条件
（x,y）
y4y4y
y（0）2,y（0）
0,
x）2,
X
S2
..n1
S4
4求广义积分
y（x）dx.
五、
（此题总分值5分）
f（x,y）x2arctan—
y2arctan
x+2f
求•
yxy
六、
设函数f（x）可导,且f（0）
0,F（x）
xn1n
0tf（x
tn）dt,求x叫啓
七、（此题总分值8分）
曲线yat（a0）与曲线ylnG在点（X。
，y。
）处有公共切线，求:
（1）常数a及切点（x0,y0）；
（2）两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx.
八、（此题总分值6分）
假设f（x）在［a,）上连续，f（x）在a,内存在且大于零,记
f（x）f（a）.、
F（x）（xa）
xa
证明F（x）在a,内单调增加
九、（此题总分值11分）设线性方程组
X1
a1X2
a1X3
3
a1,
a2x2
a?
X3
a2,
83X2
83X3
a3,
x1
a4x2
a4X3
（1）证明：
假设ai,a2,a3,a4两两不相等，那么此线性方程组无解;
其中
（2）设a!
a3k,a2a°
k（k0）,且仆2是该方程组的两个解
11
11,21,
写出此方程组的通解•十、（此题总分值8分）
001
设Ax1y有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件
100
（此题总分值8分）
假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同分布
PXi00.6,PXi10.4（i1,2,3,4）,
求行列式X
X2
X4
的概率分布
十二、〔此题总分值8分〕
10或
销
假设由自动线加工的某种零件的内径X〔毫米〕服从正态分布N〔,1〕,内径小于
大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损售利润T〔单位：
元〕与销售零件的内径X有如下关系：
1,X10,
T20,10X12,
5,X12.
问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题（此题共5小题，每题3分,总分值15分.）
【答案】In3
【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数时，积分为
0；
被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分.所以知
2x
原式2于
22
Ldx
In（2x）
In6
In2
In3.
【答案】1
【解析】根据导数的定义，有f（Xo）Iim所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式
Iimf（X02x）f（X0X）
x0
x）f（X0）
，从而求得极限值
.由于
Iimf（X02x）f（x。
）f（X0
f（X0）
（2）Iimf（X02X）f（X0）
2x
Iimf（x。
x）f（x°
）
2f（Xo）f（Xo）1.
所以原式lim
f（Xo2x）f（Xox）
xy.
⑶【答案】yyeSinXxe2y
【解析】将方程exyy2cosx看成关于x的恒等式，即y看作x的函数.
方程两边对x求导，得
sinx
xy
ye
e（yxy）2yy
y
2y.
xe
【相关知识点】两函数乘积的求导公式：
g（x）
f（x）
g（x）f（x）g（X）
ai
⑷【答案】
【解析】由分块矩阵求逆的运算性质
有公式
所以，此题对A分块后可得
ani
B1
9
⑸【答案】旦
64
【解析】随机变量
X的概率密度，所以概率P
°
2xdx
求得二项分
布的概率参数后，故Y~B〔3」〕.
4
由二项分布的概率计算公式，所求概率为PY2
9_
【相关知识点】二项分布的概率计算公式:
k0,1,L,n.
假设YB（n,p）,那么PYkC：
pk（1p）nk
二、选择题（此题共5小题,每题3分,总分值15分.）
【答案】
【解析】此题是关于求渐近线的问题
由于
lime"
arctan
x2x1
（X1）（x2）
故y-为该曲线的一条水平渐近线
arctan
（x1）（x2）
故x0为该曲线的一条垂直渐近线故此题应选（B）.
【相关知识点】水平渐近线：
假设有
所以该曲线的渐近线有两条•
limf（x）a,那么ya为水平渐近线;
铅直渐近线：
假设有limf（x）
那么xa为铅直渐近线;
所以嘉2
n12
2n2
收敛，由比拟判别法，得
（1）n|an|
收敛.
斜渐近线：
假设有alim,blim[f（x）ax]存在且不为，那么yaxb为斜渐
xxx
近线.
⑵【答案】
（C）
【解析】考查取绝对值后的级数•因
（1）nlad1211121
|7n^|2an2厂2an石，
（第一个不等式是由a0,b0,ab1（a2b2）得到的.）
1np
1时收敛；
当p1时发散.）
又a；
收敛，爲收敛,（此为p级数:
n1n12n
故原级数绝对收敛，因此选（C）.
⑶【答案】
【解析】由公式r（AB）min（r（A）,r（B））,假设A可逆,那么
r（AB）r（B）r（EB）r[A1（AB）]r（AB）.
从而r（AB）r（B）,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩，所以选（C）.
（4）
【解析】事实上，当0P（B）1时，P（A|B）P（A|B）是事件A与B独立的充分必要
条件,证明如下：
假设P（A|B）P（A|B）,那么
P（AB）
P（B）
P（AB）,P（AB）P（B）P（AB）P（B）P（AB）,
1P（B）
P（B）[P（AB）P（AB）]P（B）P（A）,
由独立的定义，即得A与B相互独立•
假设A与B相互独立，直接应用乘法公式可以证明P（A|B）P（A|B）.
P（A|B）1P（A|B）P（A|B）.
由于事件B的发生与否不影响事件A发生的概率，直观上可以判断A和B相互独立.所以此题选（D）.
⑸【答案】
【解析】
由于X1，X2，L，Xn均服从正态分布N（，
2），根据抽样分布知识与t分布的应
用模式可知
:
N（0,1），
其中X
Xi，
X）2
2（n
1），
t（n1）.
1n2
彳（XiX）2
n1
1n2（XiX）n（n1）i1
因为t分布的典型模式是：
设X:
N（0,1），Y:
2（n），且X，Y相互独立，那么随机变量
T服从自由度为n的t分布，记作T:
t（n）.
一Y/n
因此应选（B）.
（此题总分值6分）
【解析】方法1：
由x2
yxy1,配完全方得
rsin,引入极坐标系（r,
（r,）0
2,0r
）,那么区域为
y）dxdy
2（1
rcosrsin
）rdr
方法2：
弓I入坐标轴平移变换:
由于区域
D1关于
同理可得
0（cos
sin
）d
1,配完全方得
x2,v
Di
cos
1,那么有dxdy
y-
y1,那么在新的直角坐标系中区域D变为圆域
（u,v）|u2
dudv，代入即得
（uv1）dudv
v轴对称，被积函数
vdudv0,又
D1
四、（此题总分值5分）
ududvvdudvdudv.
D[D[
u是奇函数，从而ududv0.
dudvD1
【解析】先解出y（x）,此方程为常系数二阶线性齐次方程，用特征方程法求解•
方程y4y4y0的特征方程为2440,解得122.
故原方程的通解为y（GC2X）e2x
由初始条件y（0）2,y（0）4得C12,C20,
再求积分即得
oy（x）dxo2e2xdx
lim"
e2xd2x
b0
bim
e2x
b
1.
【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程
pyqy0:
首先写出方程ypy
qy0的特征方程:
pr
0,在复数域内解出两个特
征根r,,r2；
分三种情况:
（i）两个不相等的实数根
GD,那么通解为y
Cierxi
r2x
C2e2;
（2）两个相等的实数根
r1
◎那么通解为y
Cl
C2xerXl;
（3）一对共轭复根r,,2
i,那么通解为y
GcosxC2sinx.
其中Ci,C2为常数•
五、（此题总分值5分）
【解析】由复合函数求导法
首先求—,由题设可得
2xarctan—
_y_
y21
1仝y
再对y求偏导数即得
xy
2_
yx
【相关知识点】多元复合函数求导法那么：
如果函数
2x2
有对x及对y的偏导数，函数zf（u,v）在对应点
2xarctany•
22
22•
（x,y）,v（x,y）都在点（x,y）具
（u,v）具有连续偏导数，那么复合函数
六、（此题总分值5分）
【解析】运用换元法，令xn
F（x）
由于limF（x）
法那么，可得
x2n
tn
u,那么
xd
n1n
tf（x0\
tn）dt
“0〞型的极限未定式
limF（x）
2n
xn
f（u）duF（x）
n1n、
xf（x）.
又分子分母在点0处导数都存在，运用洛必达
F（x）
limlim
X02nx2n1x
Xf（x）
02n1
02nx
丄l2
2nx0x
1lim2nx0
f（xn）f（0）
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
（t）
f（x）dx,（t）,（t）均一阶可导
⑴
由导数的定义，有
假设F（t）
原式
f（0）.
f（t）（t）f（t）
（t）f
（t）.
【解析】利用（xo,y。
）在两条曲线上及两曲线在（xo,y。
）处切线斜率相等列出三个方程，由此,
可求出a,xo,yo,然后利用旋转体体积公式
b2
f（x）dx求出Vx.
（1）过曲线上点（Xo,y°
）的切线方程为y
yok（xXo）,其中，当y（xo）存在时,
ky（xo）.
由ya»
：
x知y—=.由yIn-：
x知
2Jx
由于两曲线在（x°
y°
）处有公共切线，可见—
2Jx02xo
1,得X。
将x0—分别代入两曲线方程
有y
y°
1ln
a,x0
e
从而切点为（e2,1）.
（2）将曲线表成
y是x的函数，V是两个旋转体的体积之差
套用旋转体体积公式，可得
旋转体体积为
2（；
皿
1（In、x）2dx
e2
Inxdx
41
—e2—xln2x
24
e2
2Inxdx
【相关知识点】由连续曲线
yf（x）、
直线xa,x
b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋
转一周所得的旋转体体积为:
f2（x）dx.
【解析】方法
1:
所以
方法
2：
F（x）
『（x）（xa）f（x）
f（a）（x
a）,
f（x）（xa）f（x）
a）f
a,上单调上升，于
尸是（x）
（a）
（x）0
20.
内单调增加.
f（x）（xa）f（x）f（a）
f（x）（x
f（x）f（a）
a）
（x）
（x）0（xa）,
（x）在
0.
F（x）在a
[f（x）（xa）f（x）f（a）],
由拉格朗日中值定理知
f（x）f（a）f（）,（a
x）.
于是有
F（x）——[f（x）f（）].
由f（x）0知f（x）在
a,
上单调增，从而f（x）f（）,故F（x）0.
于是F（x）在a,内单调增加
【相关知识点】1.分式求导数公式：
uuv2uv
vv
2.拉格朗日中值定理：
如果函数f（x）满足在闭区间［a,b］上连续；
在开区间a,b内可导,
那么在a,b内至少有一点（ab）,使等式f（b）f（a）f（）（ba）成立.
九、（此题总分值11分）
【解析】⑴因为增广矩阵A的行列式是范德蒙行列式2,228344两两不相等，贝U有
（a2a,）（a3a,）（a4
ai）（a3
a2）（a4a2）（a4a?
故r（A）4.而系数矩阵A的秩r（A）3,所以方程组无解
（2）当a,a3k,a2a°
k（k0）时,方程组同解于
x,kx2k2x3k3,
x,kx2k2x3k3.
1k—
因为2k0,知r（A）r（A）2.
1k
由nr（A）321,知导出组Ax0的根底解系含有1个解向量，即解空间的维数
为1.
由解的结构和解的性质，
12
0是Ax0的根底解系
于是方程组的通解为,
k
k0,其中k为任意常数
【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理:
设A是mn矩阵，线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AAM）的秩，即r（A）r（A）.（或者说，b可由A的列向量,,2,L,n线表出，亦
等同于1,2,L,n与1,2,L,n,b是等价向量组）
设A是mn矩阵,线性方程组Axb,那么
有唯一解
r（A）
r（A）n.
（2）
有无穷多解
（3）
无解
1r（A）.
b不能由A的列向量1,2丄,n线表出
2.解的结构：
假设1
2是对应齐次线性方程组Ax0的根底解系，知Axb的通解形
式为kiik22
其中i,2是Ax0的根底解系,是Axb的一个特解.
解；
如果是Axb的一个解，是Ax0的一个解
仍是Ax
b的解.
3.解的性质：
如果1,2是Ax0的两个解，那么其线性组合ki1k22仍是Ax0的
十、（此题总分值8分）
【解析】由A的特征方程，按照第二列展开，有
1）2（
1）0,
得到A的特征值为12
1,3
由题设有三个线性无关的特征向量
因此,
1必有两个线性无关的特征向量
0解空间的维数是2,
从而r（EA）1.这样才能保证方程组（EA）X
即有两个线性无关的解向量
由初等行变换,将E
A第一行加到第三行上
第
仃乘以x后加到第二仃上有
101
01
E
Ax0y
0xy,
00
由r（EA）1,得x和
y必须满足条件xy
【解析】记Y1X1X4,Y2X2X3,那么X
YY2,随机变量第和丫2相互独立且同分布
由A与B独立可得出P（AB）P（A）P（B）,故
P¥
1PX1X41PX11,X41PX11PX410.16,
01P¥
10.84.
由行列式的计算公式,随机变量XYiY2,有三个可能取值：
1,0,1.
PX1P0,Y>
1P0PY>
10.840.160.1344,
pX1py1,Y2°
p1pY200.1344,
PX01PX1PX10.7312.
所求的行列式的概率分布列于下表：
PXx
0.1344
0.7312
【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法
E（T）PX
10
20P10
125PX12
25
此时数学期望依赖于参数
dE（T）
d
21
re
解上面的方程得
（10
（12
20[（12
21（10
为使其到达最大值
5.
（10）]5[1（12）]
令其一阶导数为0,有
（12）
1（10）2
-r[21e^
（12尸
25e
],
（10）2
~2-
（12）2
F0,
~2~
）2
011
丄朋10.9.
221
得到唯一驻点
10.9,因为此问题是实际问题，所以平均利润函数必然有最大值
且这个最大值是唯一的
由题意知，当
10.9毫米时，平均利润最大.
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