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文数
2014年普通高等学校招生考试（山东卷）
文科数学
本试卷分第Ｉ卷和第II卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３. 第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
第Ｉ卷（共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知是虚数单位.若＝，则
（A） （B） （C） （D）
（2）设集合，则
（A） （B） （C） （D）
（3）函数的定义域为
（A） （B） （C） （D）
（4）用反证法证明命题：
“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是
（A）方程没有实根
（B）方程至多有一个实根
（C）方程至多有两个实根
（D）方程恰好有两个实根
（5）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知向量.若向量的夹角为，则实数
（A） （B） C）0 （D） （8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（A）6
（B）8
（C）12
（D）18
（9）对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为
（A）5 （B）4 （C） （D）2
第II卷（共100分）
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为 .
（12）函数的最小正周期为 .
（13）一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。
（14）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 。
（15）已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为 。
三、解答题：
本大题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：
件）如右表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
（17）（本小题满分12分）
中，角A，B，C所对的边分别为.已知.
（Ｉ）求的值；
（II）求的面积.
（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，分别为线段的中点.
（Ｉ）求证：
；
（II）求证：
.
（19）（本小题满分12分）
在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.
（Ｉ）求数列的通项公式；
（II）设，记，求.
（20）（本小题满分13分）
设函数 ，其中为常数.
（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；
（II）讨论函数的单调性.
（21）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
（Ｉ）求椭圆的方程；
（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点.
（i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；
（ii）求面积的最大值.
2014年普通高等学校招生考试（山东卷）
文科数学试题参考答案
一、选择题
（1）A
（2）C （3）C （4）A （5）A
（6）D （7）B （8）C （9）D （10）B
二、填空题
（11）3 （12） （13）12 （14）（x-2）2+（y-1）2=4 （15）y=x
三、解答题
（16）
解：
（Ⅰ）因为样本容量与总体中的个体数的比是=,
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×=1, 150×=3, 100×=2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2
（Ⅱ）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；B1，B2，B3；C1，C2，
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},
{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},
{B2,C1},{B2,C2},{B3,C3},{B1,C2},{C1,C2},
每个样品被抽到的机会均等，因此这些事件的出现是等可能的，
记事件D：
“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则事件D包含的基本事件有
{B1,B2}，{B1,B3}，{B2,B3}，{C1,C2}，共4个，
所以P（D）=,即这2件商品来自相同地区的概率为.
（17）
解：
（I）在：
△ABC中
由题意可知==
又因为B=A+
所以sinB=sin（A+）=cosA=
由正弦定理可知
b==3
（）由B=A+
CosB=cos（A+）=-sinA=
由A+B+C=π，得C=π-（A+B）
所以sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=1/3
因此，△ABC的面积S=absinC=
（18）
证明：
设AC
由于E为AD的中点，
所以AE//BC
因此四边形ACBE为菱形，
所以O为AC的中点
又F为PC的中点
因此在△PAC中，可得AP//OF
又OF属于平面BEF，AP不属于平面BEF
所以AP//平面BEF
所以四边形……
因此BE∥CD。
又AP⊥平面PCD，
所以AP⊥CD，因此AP⊥BE。
因为四边形ABCE为菱形，
所以BE⊥AC。
又AP∩AC=A，AP，AC包含于平面PAC，
所以BE⊥平面PAC。
（19）
解：
（I）由题意知
即
解得
所以，数列{an}的通项公式为
（Ⅱ）由题意知bn=
所以，Tn=
因为，
可得，当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，
当a 0时，函数f（x）在（0，+）上单调递增加；
当a时，函数f（x）在（0，+）上单调递减；
当＜a＜0时，
F（x）在（0, ）,（,+）上单调递减，
在（，）上单调递增。
（20）
解：
（1）由题意知 时，.
此时
可得
所以 在 处的切线方程为
（2）函数 的定义域为.
当 ，函数在上单调递增
当时，令
由于
①当时，
，函数在上单调递减
②时，，
，函数在上单调递减
③当时，
设 是函数的两个零点
则，
由
所以 时，，，函数单调递减
时， ，函数单调递增
时，，函数单调递减
（21）
解：
（I）由题意知=，可得=4，
椭圆C的方程可化简为=
将y=x代入可得x=
因此=，可得a=2.
因此b=1,所以椭圆C的方程式为+=1
（II）（i）设A（，）（≠0），D（，），则B（-，-）,
因为直线AB的斜率=
又AB⊥AD，所以直线AD的斜率K=-
设直线AD的方程为y=kx+m
由题意知 k≠0，m≠0
由 可得（1+4）+8mkx+4-4=0
所以+=-，
因此+=k（+）+2m=
所以=-=
所以，直线BD的方程为
令y=0,得x=3,即M（3,0）.
可得，
所以，，即λ=
因此，存在常数λ=使得结论成立。
（2）直线BD的方程，
令x=0,得y=，即N（0，）
由
（1）知，M（3,0）
可得△
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