高教社杯全国大学生数学建模竞赛Word文档格式.docx
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通过对所建模型特点的描述：
模型优缺点、使用范围、建模思想或方法、结果检验等方面，得出模型可以普便推广及使用。
关键词：
数学期望标准差模糊数学模型层次分析模型
一、问题综述……………………………………………………………..3
1.1问题提出的背景……………………………………………………………………3
1.2问题分析……………………………………………………………………………3
二、模型假设………………………………………………………………3
三、模型建立………………………………………………………………3
3.1统计模型.........................................................3
3.2层次分析法........................................................3
四、模型求解………………………………………………………………3
4.1补齐表中缺失的数据，给出补缺的方法及理由…………………………………3
4.2给出101名初试者的录取顺序……………………………………………………5.
4.3五位专家中哪位打分比较严格，哪位专家打分比较宽松………………………8.
4.4你认为那些初试者应该给与第二次面试机会……………………………………8
4.5如果第二次面试的专家小组只由其中的三位专家组成，你认为这个专家组应有哪三
位专家组成………………………………………………………………………………9
五、模型评价……………………………………………………………9
六、参考文献……………………………………………………………10
七、参考附录……………………………………………………………10
7.1各位专家对初试者打分的原始数据……………………………………………10
7.2第四题参考数据…………………………………………………………………12
7.3第五题参考数据…………………………………………………………………15
一、问题综述
1.1问题提出的背景
1.2问题分析
该题目是某单位在一次招聘过程中，组成了一个五人专家小组，对101个应试者评分，如何运用数学建模的方法补齐表中数据，给出101名面试者的录取顺序，评价专家的打分严松情况。
二、模型假设
1、数据根据专家的打分情况而来，忽略打分时的客观情况，数据只受面试者的能力影响。
2、假设统计表格中的数据都是公平、真实的。
三、模型建立
3.1统计模型
通过分析可知，该题有着统计学的本质特征：
数据的随机性，以及大量随机性中的差异性可以发现统一性的趋势。
利用统计学中的分段统计数据，把每个专家的打分情况分成几段，然后根据最大概率原则，确定初试者的分数落在哪一个阶段。
并利用Excel进行辅助计算。
3.2层次分析法【1】
1、建立层次结构模型，将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，最高层：
进入第二次面试的面试者；
中间层：
五位专家的不同权重，最低层：
根据不同权重得到的不同组合。
2、构造判断（成对比较）矩阵A,wi代表权重
W1/w1w1/w2w1/w3…..w1/wn
W2/w1w2/w2w2/w3…..w2/wn
A=....
....
Wn/w1wn/w2wn/w3…..wn/wn
3、层次单排序及其一致性检验
n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n,而当λ=n时A是一致阵，如果成对比较阵A不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A最大特征根λ的特征向量作为权向量。
CI定义为一致性指标，将AI与同阶的随机一致性指标RI之比成为一致性比率，当CR<
0.1时，认为A的不一致程度在允许范围内。
四、模型求解
4.1补齐表中缺失的数据，给出补缺的方法及理由。
首先，把五位专家打分的情况进行分类，如图所示，甲专家的打分主要落在60-69，80-89这两个阶段，乙专家与丁专家打分情况类似，分数主要落在80-89这个阶段，丙专家在50-59这个阶段内没有打分，分数主要落在80-89，90-99这两个阶段内，戊专家在50-59这个阶段内打分个数较少，大部分落在80-89这个阶段。
根据最大概率原则【2】，9号面试者的成绩最可能落在60-69，80-89这两个阶段，由于甲专家打分比较严格，故落在60-69之间。
25号面试者成绩落在80-89之间。
58号面试者成绩落在80-89，90-99之间，由于丙专家打分比较宽松，故落在90-99之间。
序号
甲专家
乙专家
丙专家
丁专家
戊专家
9
65
97
76
87
64
25
68
85
84
58
63
94
95
82
4.2给出101名初试者的录取顺序
利用Excel算出每位面试者的总分，当总分相同时，可计算五位专家打分的标准差，标准差较小，说明五位专家对面试者的能力看法越一致，依此，对面试者的录取顺序如下：
排序
专家甲
专家乙
专家丙
专家丁
专家戊
总分
标准差
1
39
92
99
79
86
90
446
2
19
96
444
3
51
74
93
440
4
47
88
80
439
5
83
98
438
6
81
73
430
7
40
429
7.694154
8
8.043631
66
89
10.20784
10
91
426
7.596052
11
12.73578
12
69
425
13
100
424
14
18
422
4.335897
15
72
10.96814
16
421
13.44247
17
53
9.654015
22
75
420
7.968689
10.77033
20
45
70
419
9.576012
21
77
14.06058
10.03494
23
101
78
418
24
413
11.21606
71
8.763561
26
412
8.988882
27
49
7.635444
28
411
9.338094
29
67
12.02913
30
410
31
409
32
43
408
10.57355
33
50
10.92245
34
407
8.619745
35
12.77889
36
406
37
405
38
404
11.16692
13.59044
403
41
402
11.32696
42
12.34099
62
16.48636
44
401
9.418068
60
13.34916
46
400
8.916277
10.07472
48
59
16.35543
399
9.859006
13.53514
398
52
397
9.762172
10.94532
54
395
14.94992
55
14.40486
56
61
394
15.61089
57
17.71158
11.62755
393
12.25969
6.503845
391
390
389
14.23728
10.42593
16.97645
388
11.19375
14.90973
12.1161
385
383
382
14.0819
10.16366
381
380
379
376
372
8.443933
13.14534
15.1921
371
370
8.485281
6.745369
369
368
367
19.44994
12.66096
15.94679
11.14899
365
361
13.10343
11.88276
8.408329
9.757049
360
359
12.81405
7.854935
355
350
345
332
4.3五位专家中哪位打分比较严格，哪位专家打分比较宽松。
由专家打分的分段情况，我们可以看出甲专家在低分区段最多，与其他四位专家相差较大，高分区段最少，故甲专家最严。
丙专家在低分区断没有打分，打分主要集中在中高分区段，故丙专家最宽松。
戊专家在50-59,60-69这两个阶段打分也比较少，在中高区段的打分情况仅次于丙专家。
乙专家与丁专家打分情况在各区段类似，但通过计算他打分们的标准差可知，乙专家打分的标准差为11.43862，丁专家打分标准差为11.45067，即乙专家打分比较集中。
综上，五位专家打分从严到松依次为：
甲专家、丁专家、乙专家、戊专家、丙专家。
4.4你认为那些初试者应该给与第二次面试机会。
假设我们最终录取十名，需要有二十名选手进入第二次面试。
首先通过总分排序选择前十名应试者进入第二次面试。
然后从剩下的应试者中通过选择不同的评分标准再选取十名进入第二次面试，于是我们采取层次分析法，使五位专家的权重不同再进行一次排名，选择剩下的初试者中前十名第二次面试。
具体做法如下：
由上一题可知，打分最严格的专家依次为甲专家，丁专家，乙专家，戊专家及丙专家。
根据层次分析模型，将所要选的初试者设为目标层，甲丁乙戊丙专家的打分设为准则层，记做C1,C2，C3，C4，C5，所选出来的三位专家打分风格即为方案层。
在这里，我们假设三种情况，第一种是打分较为宽松的专家有较高的权重，记为权重1，第二种是打分最严与最松的专家有较低的权重，记为权重2，第三种是打分较严的专家有较高的权重，记为权重3。
一、C1：
C2：
C3：
C4：
C5=1:
1:
2:
3:
3,则得出成对比较矩阵
A=
求λ的步骤如下：
a.将A的每一列向量归一化得
b.对
按行求和得
；
c.将
归一化
，
，T即为近似特征向量；
d.计算
作为最大特征根的近似值.
根据上述方法得出λ=5，故矩阵
为一致阵，当n=5时，随机一致性指标RI=1.12，故一致性比率CR=CI/RI=0<
0.1，故所选的权重是合理的。
除去依据总分及标准差差选出的前十名初试者，在剩余的91位初试者中选出给予第二次面试机会的初试者，根据所选的权重算出加权平均数，由数据选出前十名分别为69,77,64,16,82,100,58,43,55,101号.
二、若依据C1：
8/3:
8/3：
1，利用前面的模型同样可得所选权重是合理的，并且除去依据总分及标准差差选出的前十名初试者，在剩余的91位初试者中选出给予第二次面试机会的面试者的出前十名为8,69,38，79,77,30,35,43,58,86号。
三、若依据C1：
C5=3:
1,利用前面的模型同样可得所选权重是合理的，并且除去依据总分及标准差差选出的前十名初试者，在剩余的91位初试者中选出给予第二次面试机会的面试者的出前十名为97,72,45,22,86,100,82,11,18,49号。
4.5如果第二次面试的专家小组只由其中的三位专家组成，你认为这个专家组应有哪三位专家组成。
作为第二次面试，面试者能否录取与专家的分数能否公平的反应面试者的能力有关，所以对各位专家打分情况进行分析，以权重1为例，在甲专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者9名，在乙专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者7名，在丙专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者9名，在丁专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者6名，在戊专家打分的前二十名中有第二次进入面试的初试者6名，即甲、乙、丙三位专家的打分比较能反映初试者的能力，故选择甲乙丙三位专家。
同理，在权重2的情况下，选择乙、丙、戊三位专家，在权重3的情况下，选择甲、乙、丙三位专家
五、模型评价
1、层次分析法将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层（供决策的方案、措施等）相对于最高层（总目标）的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。
但是它只能从原有方案中选优，不能生成新的方案。
2、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受，所以采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。
3、运用EXCEL软件处理数据和进行运算，降低运算量，简单易行，有很大的可操作性。
且所得数据较为合理可靠。
六、参考文献
【1】姜启源谢金星叶俊编，数学模型（第四版），北京：
高等教育出版社，2011年
【2】徐玖平胡知能编，运筹学，北京：
科学出版社，2006
七、参考附录
7.1各位专家对初试者打分的原始数据
*
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