人教版高中数学选修1232《复数代数形式的四则运算》教学设计.docx
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人教版高中数学选修1232《复数代数形式的四则运算》教学设计
选修1-2
3.2复数代数形式的四则运算（罗静）
一、教学目标
1.核心素养
通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力.
2.学习目标
（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.
（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.
（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力.
3.学习重点
复数代数形式四则运算法则.
4.学习难点
复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用.
二.教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1预习教材P56---P60,完成P58和P60相应练习题
任务2掌握复数加、减、乘、除四则运算法则
任务3利用复平面理解复数加减法的几何意义
2.预习自测
1.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为（）
A.1＋i
B.2＋i
C.3
D.－2－i
答案：
D
解析：
∵z1＋z2＝（2＋bi）＋（a＋i）＝（2＋a）＋（b＋1）i＝0，
∴，∴，∴a＋bi＝－2－i.
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
C
解析：
z＝z2－z1＝（1－2i）－（2＋i）＝－1－3i.故z对应的点为（－1，－3），在第三象限.
3.若复数z满足z＋（3－4i）＝1，则z的虚部是（）
A.－2
B.4
C.3
D.－4
答案：
B
解析：
z＝1－（3－4i）＝－2＋4i，所以z的虚部是4.
（二）课堂设计
1.知识回顾
1.复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi（a,b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）
3.复数z＝a＋bi（a,b∈R）的模为
2.问题探究
问题探究一：
复数的加减法
●活动一怎样计算复数的加法与减法?
设,是任意两个复数，那么
（1）复数与的和的定义：
（2）复数与的差的定义：
.
●活动二从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？
事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.
●活动三复数的和与差还是一个复数吗？
显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.
●活动四我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？
对任意.
（1）交换律：
；
（2）结合律：
.
●活动五复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？
（1）复平面内的点
（2）复数
（3）复数的加减法的几何意义
复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：
平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，表示复数所对应的向量，表示复数所对应的向量，即表示复数所对应的向量，表示复数所对应的向量
注：
两个复数的差表示与连接两个终点且指向被减数的向量对应.
问题探究二：
复数的乘除法
●活动一复数的乘法怎么算？
复数的乘法是否有似曾相识的感觉？
设=a＋bi，=c＋di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则·=（a＋bi）（c＋di）=_________________.
从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
●活动二复数的乘法是否也满足运算律呢？
对任意.
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
●活动三复数的除法又该如何计算呢？
设=a＋bi,=c＋di（a,b,c,d∈R，且c＋di≠0），
几个运算性质：
①i的幂的周期性：
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N）.
②（1±i）2＝±2i，，，.
③设，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.
●活动四什么叫做共轭复数？
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数的共轭复数为.
共轭复数有如下性质：
①；②；③，；
④，；⑤，（z2≠0）.
例1计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）（5－6i）＋（－2－2i）－（3＋3i）.
（4）已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z.
【知识点：
复数的四则运算】
详解：
.
（3）原式＝（5－2－3）＋[－6＋（－2）－3]i＝－11i.
（4）z＋1＋2i＝10－3i，∴z＝（10－3i）－（2i＋1）＝9－5i.
点拔：
复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.
例2设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复平面内作出复数z1＋z2所对应的向量.
【知识点：
复数的四则运算，复数加减法的几何意义】
【思路探究】利用加法法则求z1＋z2
详解：
∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，∴z1＋z2＝（5＋3i）＋（4＋i）＝9＋4i
∵，，由复数的几何意义可知，与复数z1＋z2对应，
∴＝（5,3）＋（4,1）＝（9,4）.作出向量如图所示.
点拔：
1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.
2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.
3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.
变式：
在题设不变的情况下，计算z1－z2，并在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量.
解：
z1－z2＝（5＋3i）－（4＋i）＝（5－4）＋（3－1）i＝1＋2i.
复数z1－z2所对应的向量为.
例3
（1）设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
（2）已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值.
【知识点：
复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：
数形结合】
（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.
由题意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.（a＋c）2＋（b＋d）2＝2，∴2ac＋2bd＝0.
∴|z1－z2|2＝（a－c）2＋（b－d）2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2.
∴|z1－z2|＝.
（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.
解法一：
设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.
又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.
可知w对应的点的轨迹是以（－4,5）为圆心，1为半径的圆.
如图
（1）所示，∴|w|max＝＋1，|w|min＝－1.
（1）
（2）
解法二：
由条件知复数z对应的点的轨迹是以（－1,1）为圆心，1为半径的圆，
而|z－3＋4i|＝|z－（3－4i）|表示复数z对应的点到点（3，－4）的距离，
在圆上与（3，－4）距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图
（2）所示，
所以|z－3＋4i|max＝＋1，|z－3＋4i|min＝－1.
点拔：
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
例4
（1）计算.
（2）计算：
；
（3）若复数，求1＋z＋z2＋…＋z2013的值.
【知识点：
复数的四则运算】
（1）分析：
先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并.
详解：
又解：
.
（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解.
详解：
（3），
而，
所以
点拔：
1.要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值.
2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.
例5已知z∈C，为z的共轭复数，若，求z.
【知识点：
复数的四则运算，共轭复数】
详解：
设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi（a，b∈R），
由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有，解得或，
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
点拔：
1.是共轭复数的常用性质.
2.实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数.
3.若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数.
3.课堂总结
【知识梳理】
1.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即（a＋bi）±（c＋di）＝（a±c）＋（b±d）i.
2.复数加减法的几何意义
3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
【重难点突破】
（1）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式.
（2）复数加法的几何意义：
如果复数分别对应于向量，那么，以为两边作平行四边形，对角线OS表示的向量就是的和所对应的向量.
复数减法的几何意义：
两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
（3）复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.
（4）两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.
（5）复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化.
4.随堂检测
1.（）
A.
B.2
C.
D.1
答案：
C
解析：
【知识点：
复数的四则运算，复数的模】
原式
2.复数i（2－i）等于（）
A.1＋2i
B.1－2i
C.－1＋2i
D.－1－2i
答案：
A
解析：
【知识点：
复数的四则运算】
i（2－i）＝2i－i2＝1＋2i.
3.已知＝1＋i（i为虚数单位），则复数z等于（）
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
答案：
D
解析：
【知识点：
复数的四则运算】
由＝1＋i，知z＝＝－＝－1－i，故选D.
（三）课后作业
★基础型自主突破
1.等于（）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
【知识点：
复数的四则运算】
原式
2.i为虚数单位，i607的共轭复数为（）
A.i
B.－i
C.1
D.－1
答案：
A
解析：
【知识点：
共轭复数相关概念，的周期性】
方法一：
i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i.故选A.
方法二：
i607＝＝＝＝－i，其共轭复数为i.故选A.
3.已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）等于（）
A.5-5i
B.7-5i
C.5+5i
D.7+5i
答案：
C
解析：
【知识点：
复数的四则运算】
4.复数z=i·（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
B
解析：
【知识点：
复数的四则运算，复数的几何意义】
5.复数z满足，则z=（）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
【知识点：
复数的四则运算】
，∴
6.复数z＝的共轭复数是（）
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