三角恒等变换与解三角形高考文科数学高考文科数学热点难点专题专题突破.docx

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三角恒等变换与解三角形高考文科数学高考文科数学热点难点专题专题突破

三角恒等变换与解三角形

1．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值为（　　）

A.B.C．－D．－

答案　D

解析　因为tan120°＝＝－，

即tan70°＋tan50°－tan70°tan50°＝－.

2．在△ABC中，若原点到直线xsinA＋ysinB＋sinC＝0的距离为1，则此三角形为（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

答案　A

解析　由已知可得，＝1，

∴sin2C＝sin2A＋sin2B，∴c2＝a2＋b2，

故△ABC为直角三角形．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（　　）

A．1＋B．2＋

C．4＋D．5＋

答案　D

解析　在△ABC中，acosB＋bcosA＝2ccosC，

则sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，

即sin（A＋B）＝2sinCcosC，

∵sin（A＋B）＝sinC≠0，∴cosC＝，∴C＝，

由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，

即（a＋b）2－3ab＝c2＝7，

又S＝absinC＝ab＝，∴ab＝6，

∴（a＋b）2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，

∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.

4．已知α为锐角，则2tanα＋的最小值为（　　）

A．1B．2C.D.

答案　D

方法二　∵α为锐角，∴sinα>0，cosα>0，

∴2tanα＋＝＋

＝＝

＝≥×2＝，

当且仅当＝，

即α＝时等号成立．故选D.

5．已知2sinθ＝1－cosθ，则tanθ等于（　　）

A．－或0B.或0

C．－D.

答案　A

解析　因为2sinθ＝1－cosθ，

所以4sincos＝1－＝2sin2，

解得sin＝0或2cos＝sin，即tan＝0或2，

又tanθ＝，

当tan＝0时，tanθ＝0；

当tan＝2时，tanθ＝－.

6．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a－b）（sinA＋sinB）＝（c－b）sinC，若a＝，则b2＋c2的取值范围是（　　）

A．（3,6]B．（3,5）C．（5,6]D．[5,6]

答案　C

解析　∵（a－b）（sinA＋sinB）＝（c－b）sinC，

由正弦定理得（a－b）（a＋b）＝（c－b）c，

即b2＋c2－a2＝bc，

∴cosA＝＝＝，

又A∈（0，π），

∴A＝，∴B＋C＝.

又△ABC为锐角三角形，

∴∴

由正弦定理＝＝＝＝2，

得b＝2sinB，c＝2sinC，

∴b2＋c2＝4（sin2B＋sin2C）

＝4

＝4

＝3＋2sin2B＋2sinBcosB

＝3＋1－cos2B＋sin2B

＝4－2＝4－2cos，

又

∴－1≤cos<－，

∴5<4－2cos≤6，

可得b2＋c2的取值范围为（5,6]．

7．设△ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________；当BC＝1时，△ABC的面积等于________．

答案　－　

解析　∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，

∴a∶b∶c＝2∶3∶4.

令a＝2t，b＝3t，c＝4t，

则cosC＝＝－，

∴sinC＝.

当BC＝1时，AC＝，

∴S△ABC＝×1××＝.

8．如图，在△ABC中，BC＝2，∠ABC＝，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且DE＝，则BE2＝________.

答案　＋

解析　如图，连接CD，由题设，有∠BDC＝2A，

所以＝＝，

故CD＝.

又DE＝CDsinA＝＝，

所以cosA＝，而A∈（0，π），故A＝，

因此△ADE为等腰直角三角形，

所以AE＝DE＝.

在△ABC中，∠ACB＝75°，所以＝，

故AB＝＋1，

在△ABE中，BE2＝（＋1）2＋2－2×（＋1）××＝＋.

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为________．

答案　

10．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.

（1）如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；

（2）如图2，若∠ABC＝，求△ADC的面积．

解　

（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β.

因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，

所以tanα＝，tanβ＝，

所以tan∠BAC＝tan（α＋β）＝＝＝1.

又∠BAC∈（0，π），所以∠BAC＝.

（2）设∠BAD＝α.

在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3.

由正弦定理得＝，

解得sinα＝.

因为AD>BD，所以α为锐角，

从而cosα＝＝.

因此sin∠ADC＝sin＝sinαcos＋cosαsin

＝＝.

所以△ADC的面积S＝×AD×DC·sin∠ADC

＝×6×2×＝（1＋）．

11．已知函数f（x）＝cos·sin＋cos2－.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值．

解　

（1）f（x）＝cossin＋cos2－＝sinxcosx＋sin2x－

＝sin2x－cos2x＝sin.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）由

（1）知f（A）＝sin＝1，

因为A∈（0，π），

所以2A－∈，

所以2A－＝，所以A＝.

在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

又a＝2，

则4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，

当且仅当b＝c＝2时，等号成立．

所以△ABC面积的最大值为

S△ABC＝bcsinA＝×4×＝.

12．已知函数f（x）＝sinωx·cosωx－cos2ωx（ω>0）的最小正周期为.

（1）求ω的值；

（2）在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f（A）的值域．

解　

（1）f（x）＝sin2ωx－（cos2ωx＋1）

＝sin－，

因为函数f（x）的最小正周期为T＝＝，

所以ω＝.

（2）由

（1）知f（x）＝sin－，

易得f（A）＝sin－.

因为sinB，sinA，sinC成等比数列，

所以sin2A＝sinBsinC，

所以a2＝bc，

所以cosA＝＝

≥＝（当且仅当b＝c时取等号）．

因为0

所以0

所以－

所以－1

所以f（A）的值域为.

13.已知函数f（x）＝sinxcosx＋sin2x.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，f（A）＝，AD＝BD＝2，求cosC.

解　

（1）f（x）＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以f（x）的单调递增区间是（k∈Z）.

14.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形ABECD内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：

A，B，C，D，E在同一平面内，且∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1km.

（1）求BC的长；

（2）野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为多少？

（≈1.732，结果保留两位小数）

解　

（1）在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°，

由正弦定理＝，

得BC＝·sin∠CEB＝×sin45°＝（km）.

（2）依题意知，在Rt△ACD中，

AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan60°＝（km），

又sin105°＝sin（60°＋45°）＝，

sin15°＝sin（60°－45°）＝，

所以活动区ABECD的面积S＝S△ACD＋S△ABC＋S△BCE＝×AC×CD＋×AC×CB×sin15°＋×BC×CE×sin105°＝××1＋×××＋××1×＝1＋≈1.87（km2），

故野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为1.87km2.

15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccosB.

（1）求角C的大小；

（2）求cosA＋sin的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值.

解　

（1）b＝2a－2ccosB＝2a－2c·，

整理得a2＋b2－c2＝ab，

即cosC＝，

因为0

（2）由

（1）知C＝，则B＝π－A－，

于是cosA＋sin＝cosA＋sin（π－A）

＝cosA＋sinA＝2sin，

由A＝－B，得0

故当A＝时，2sin取得最大值2，此时B＝.

15.设函数f（x）＝sinxcosx－sin2（x∈R），

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f ＝0，c＝2，求△ABC面积的最大值.

解　

（1）函数f（x）＝sinxcosx－sin2（x∈R），

化简可得f（x）＝sin2x－＝sin2x－.

令2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z），

则kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

即f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.

令2kπ＋≤2x≤2kπ＋（k∈Z），

则kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）.

（2）由f ＝0，得sinC＝，

又因为△ABC是锐角三角形，

所以C＝.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，将c＝2，C＝代入得4＝a2＋b2－ab，

由基本不等式得a2＋b2＝4＋ab≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.

即ab≤4（2＋），

所以S△ABC＝absinC≤·4（2＋）·＝2＋，

即△ABC面积的最大值为2＋.

17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝（2a－c，cosC），n＝（b，cosB），m∥n.

（1）求角B的大小；

（2）若b＝1，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC内切圆的半径.

（2）由

（1）得B＝，又b＝1，在△ABC中，b2＝a2＋c2－2accosB，所以12＝a2＋c2－ac，即1＋3ac＝（a＋c）2.

又（a＋c）2≥4ac，

所以1＋3ac≥4ac，

即ac≤1，当且仅当a＝c＝1时取等号.

从而S△ABC＝acsinB＝ac≤，当且仅当a＝c＝1时，S△ABC取得最大值.

设△ABC内切圆的半径为r，由S△ABC＝（a＋b＋c）r，得r＝.