全等三角形证明培优题精整理版.docx
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全等三角形证明培优题精整理版
模块一：
基本辅助线
1.如图，已知AC=BD,AD丄ACBC丄BD.求证：
AD=BC.
（2）
2.如图，AB=AE,ZABC=ZAED,BOED点F是CD的中点,
求证JAF丄CD.
（1）
在你连接BE后，还能得出什么新的结论？
请写出三个（不要求证明）A
3.如性hZB=ZE,ZC=ZDBODE,M为CD中点，求证：
AM丄CD・
4•如图，平而上有一边长为2的正方形ABCD,0为对角线的交点・正方形OEFG的顶点与0重合，0E、0G分别与正方形ABCD的边交于M、N两点.
1如图＜1）
2如图
（2）你的结论•
5•如图所示，在AABC中，AB二AG在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,
肝交阮于6求证：
EG=FGo
6•如图，在△ABC中，AB=AC>E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC『F,过点E作EG丄BC于G.
（1）若ZA=50",ZD=30°,求ZGEF的度数：
（2）若BD=CE,求证jFG=BF+CG.
模块二：
碌子型
1已知：
如图，点C为线段AB上一点，AACM,ACBN都是等边三角形，AN交MC于点E,BM交CNF点E
⑴求证：
AN二BM;
（2）求证：
aCEF为等边三角形
2•如图，已知，等腰RtAOAB中，zAOB=90。
，等腰RtAE0F4^zEOF=90%连结AE、BFo求证：
（1）AE=BF；
（2）AE丄BF。
3•如图1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE.AG丄CE：
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？
若成立，请给出证明:
若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于乩交AD于M.
①求证：
AG丄CH：
②当AD=4,DG=75时，求CH的长.
△AEC都是等边三角形，AF丄CD于点F,AH±BE于点H,问：
（1）BE为什么？
（2）AF、AH有何数量关系？
为什么？
5•已知：
如图①所示，在ZiABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE.ZBAC=ZDAE,且点B,A,D在一条直线上，连接BE,CD.M,N分别为BE,CD的中点.
（1）求证：
®BE=CD：
②△AMN是等腰三角形：
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,英他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出
（1）中的两个结论是否仍然成立：
（3）在（2〉的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P・求证：
△PBDs^aMX.
6.（2009?
丰台区一模）如图1,在△ABC中，ZACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
（1）如果AB=AC,ZBAC=90°,
1当点D在线段BC卜.时（与点B不重合〉，如图2,线段CF.BD所在直线的位置关系为,
线段CF、BD的数量关系为:
2当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由：
3
（2）如果ABHAC,ZBAC是锐角，点D在线段BC上，当ZACB满足什么条件时，CF丄BC（点C、F不重合〉,并说明理由.
2•已知，如图ZkABC中，AOAB,AM是BC边上的中线，求证：
一（AC-AB）
3.如图所示，已知△ABC中，AD平分ZBAC,E,F分别在BD,AD上，DE二CD,EF=AC,求证:
EF"
AB.
4•如图,
AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE丄DF求证：
BE乂F>EF・
4.
证：
CE=-CD.
如图，已知在△ABC中，AB=AC,CE是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,连接CD・求
14.如图，已知在^ABC中.AD平分BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF=EF,求证：
AC二BE.
17.在△ABC中，分别以△ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形
ACFG,点M为BC中点，
（1）求证：
AMLEG;
（2）求证:
EG=2AM,
模块四、截长补短
1.
使其和较短线段长度相等。
使其和较长线段长度相等•
截长：
截取较长线段，
2.补短：
延长较短线段，适用范围：
条件或题目中出现“a+b=c”或"a-b=c«目的：
构造全等三角形
L如图，在△ABC中，ZB=2ZC,AD丄BC于D,求证：
CD=BD+AB・
2•如图，在正方形ABCD中，M、X分别是BC、CD上的点，ZMAN=45"・
3、如图所示，已知△ABC中，AD平分ZBAC.E.F分别在BD.AD匕DE二CD,已知ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，ZEAF=135°,求证：
BE^DF=EF.
4,
5.如图，五边形ABCDE中，AB=AE.BC+DE=CD,ZABOZAED=18（r.连接AD.
.
（1）同学们学习了图形的变换后知逍旋转是研究几何问题的常用方法，请你在图中作出△ABC绕着点A按逆时针旋转“ZBAE的度数”后的像；
（2）试判断AD是否平分ZCDE,并说明理由-
5•如图，在四边形ABCD中，ZB二ZD=180°,AB=AD,EF分别是线段BC、CD上的一点，且
BE+FXEF.求证：
ZEAF=-ZBAD.
7-已知J如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，ZMAN=45",AH
（1）MX=DX-BM：
（2）AH=AB.
7•已知：
如图，ABCD是正方形，ZFAD=ZFAE-求证：
BE+DF二AE.
&如图.△ABC是正三角形，ZADC=120°,求证：
BD=AD+CD.
2.
3.
模块五角平分线的性质与判定
如图，BE=CF,DE丄AB的延长线于点E.DF±AC于点F,且DB=DC求证：
AD是ZBAC的平分线・
5.
△ABC的而积是
如图，已知^ABC的周长是22,0B、0C分别平分ZABC和ZACB,OD丄BC于D,且0D=3,
AD丄BC于D,且AB・BD=DC,那么ZC=（?
?
?
?
）度.
BDC
4•已知，如图，ABCD是正方形，ZFAD=ZFAE.求证：
BE・DF=AE・
5•如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角ZBDC=120"的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MX.探究：
（1）线段胡、MX、NCZ间的数量关系.
（2）若点爪N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段別仁MX、XC之间的数量关系，在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明.
6•如图：
在△ABC中，ZC=90°,AD是ZBAC的平分线，DE丄AB于E,F在AC上，BD=DF：
说明:
（1）CF=EB.?
（2）AB=AF^2EB-
7•如图，已知：
△ABC的ZB、ZC的外角平分线交于点D.求证：
AD是ZBAC的平分线・
模块六、角平分线的四大基本模型
1.角平分线+平分线，等腰三角形必呈现
2.・
点垂线，垂两边，线等全等都出现
4.
5.
角平分线+垂线，中点全等必可见
角分线，分两边，对称全等要记全
如图，在△ABC中，BD、CD分别平分ZABC和ZACB.DE//AB,FD7AC,如果BC=6,求△DEF的周长
2.△ABC中.
（1）如图1,若ZBAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。
（2）如图2.若ZBAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E,过E作EF丄AB,垂足为F,猜想2BF、AB、AC的关系并证明。
Z1=Z2,DA=DB・你能说明DC丄AC吗?
4•在^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分ZABC,CE丄BE,求证：
（1）BD•BE=AB•BC：
⑵心严
5•如图，已知△ABC中，AD平分ZBAC.ZC=20"•AB・BD二AC.则ZB的度数是
6•已知，等腰△AB：
ZA=100",ZABC的平分线交AC于D,BD=BE,
（1）求ZDEC;
（2）求证：
AD=EC.
7•如图，AD是△ABC的角平分线，H,G分别在AC,AB上，且HD=BD・
（2）
明・
若ZB+2ZDGA=180^,请探究线段AG与线段AH、HDZ间满足的等量关系，并加以证
&⑴如图，在△ABC中，AD是ZBAC的外角平分线，P是ADt的任意一点，试比较PB+PC与ABMC的大小，并说明理由.
AOPB-PC.
9•如图，△ABC中，ZBAC=90",AB=AC,AD丄BC,垂足是D,AE平分ZBAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA丄AE,FC丄BC.
（1）求证jBE=CF：
（2）在AB上取一点M,使B
10.
（1）如图，在△ABC中，ZABC、ZACB的平分线相交于F,过F作DE〃BC,分别交AB.AC于点D、E.判断DE=DB-EC是否成立？
为什么？
（2）如图，若点F是ZABC的平分线和外角ZACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？
证明你的猜想・
如图，CD为RtAABC斜边上的高，ZBAC的平分线分别交CD、BC于点E、F.且FG丄AB,
模块七垂直平分线
1•如图，已知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点，若AB=12cm,BC=10cm,ZA=50°,求△&€£
的周长和ZEBC的度数。
2•电信部门要修建一座电视信号发射塔P,按照设il要求，发射塔P到两城氛A.B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等.请在图中作出发射塔P的位置.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
3如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,E为CD的中点，连接AE、BE.BE丄AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD.
（3）若ZABC=50"，求ZF・
4.已知:
如图AB二CD,线段AC的垂宜平分线于线段BD的垂宜平分线柑交于点E,求iiE：
ZABE=ZCDE・
模块八大角夹半角
模型特征：
组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点•方法：
旋转某个图形使大角的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。
1•操作：
如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角ZBDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MX.
2.探尢：
线段创I、MX、NC之间的关系，并加以证明.
3.说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）：
（2）在你经历说明
（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.
4.®AN=NC（如图②）：
②DM〃AC（如图③〉•
5.附加题：
若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM.MX、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由・
ZDAB.
（1）
（2）
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