高中数学 第1章 计数原理 13 组合教学案 苏教版选修23.docx

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高中数学第1章计数原理13组合教学案苏教版选修23

1.3组合

第1课时　组合与组合数公式

从1，3，5，7中任取两个数相除或相乘．

问题1：

所得商和积的个数相同吗？

提示：

不相同．

问题2：

它们是排列吗？

提示：

从1，3，5，7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．

问题3：

一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动．所抽出的这5人与顺序有关吗？

提示：

无关．

问题4：

你能举个这样的示例吗？

提示：

从班里选7名同学组成班委会．

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个不同元素的一个组合.

从1，3，5，7中任取两个数相除．

问题1：

可以得到多少个不同的商？

提示：

A＝4×3＝12种．

问题2：

如何用分步法理解“任取两个数相除”？

提示：

第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为C，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有A种排法．

问题3：

你能得出C的结果吗？

提示：

因为A＝CA，所以C＝＝6.

问题4：

试用列举法求得从1，3，5，7中任取两个元素的组合数？

提示：

1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7共6种．

组合数与组合数公式

组合数

定义

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数

表示法

用符号C表示

组合数

公式

乘积

形式

C＝

阶乘

形式

C＝

性质

C＝C；C＝C＋C

备注

①n，m∈N*且m≤n.②规定C＝1

1．组合的特点是只取不排

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

2．组合的特性

元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．

3．相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同（不管顺序如何），就是相同的组合．

　　[例1]　判断下列问题是排列问题还是组合问题？

并计算出结果．

（1）高三年级学生会有11人：

①每两人互通一封信，共通了多少封信？

②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组有10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

[精解详析]　

（1）①是排列问题，共通了A＝110封信；

②是组合问题，共握手C＝55次．

（2）①是排列问题，共有A＝90种选法；

②是组合问题，共有C＝45种选法．

[一点通]　区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起．而区分有无顺序的方法是：

把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

1．下列问题：

①铁路线有5个车站，要准备多少车票？

②铁路线有5个车站，有多少种票价？

③有4个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？

④从a，b，c，d4名学生中选出2名学生，有多少种不同选法？

⑤从a，b，c，d4名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法？

其中是组合问题的是________．（将正确的序号填在横线上）

解析：

来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序；而来往的票价是相同的，没有方向性；单循环是无序的，但冠亚军却有明显的顺序；从4名学生中选出2名学生无顺序；而2名学生完成两件不同的工作是有序的．

答案：

②④

2．求出问题1中组合问题的组合数．

解：

②铁路线有5个车站，有C＝10种不同的票价．

④从a，b，c，d4名学生中选出2名学生，有C＝6种不同的选法.

　　[例2]　

（1）计算：

C－C·A；

（2）解方程3C＝5A.

[思路点拨]　

（1）直接利用公式计算；

（2）由计算公式化为关于x的方程．

[精解详析]　

（1）原式＝C－A

＝－7×6×5＝210－210＝0.

（2）由排列数和组合数公式，原方程可化为

3·＝5·，

则＝，即为（x－3）（x－6）＝40.

所以，x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2.

经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．

所以，方程的根为x＝11.

[一点通]　组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．

组合数公式阶乘形式的主要作用有：

（1）计算m，n较大时的组合数；

（2）对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．

特别地，当m>时计算C，用性质C＝C转化，减少计算量．

3．计算C＋C＝________．

解析：

C＋C＝＋＝20＋56＝76.

答案：

76

4．计算下列各式的值．

（1）C＋C；

（2）C＋C＋C＋C.

解：

（1）C＋C＝C＋C＝＋200＝5150.

（2）原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210.

5．

（1）求C＋C的值；

（2）求等式＝3中的n值．

解：

（1）∵即∴≤n≤.

∵n∈N*，∴n＝10，

∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466.

（2）原方程可变形为＋1＝3，C＝C，

即

＝·，

化简整理，得n2－3n－54＝0.

解此二次方程得n＝9或n＝－6（不合题意，舍去），

故n＝9为所求.

　　[例3]　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？

（1）任意选5人；

（2）甲、乙、丙三人必须参加；

（3）甲、乙、丙三人不能参加；（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加．

[思路点拨]　本题属于组合问题中的最基本问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断，然后利用组合数公式解决．

[精解详析]　

（1）C＝792种不同的选法．

（2）甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C＝36种不同的选法．

（3）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加．分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．

[一点通]　解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其组合数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．

6．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种．

解析：

抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有CC种；甲型2台乙型1台的取法有CC种．

根据分类计数原理可得总的取法有CC＋CC＝40＋30＝70（种）．

答案：

70

7．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：

（1）由于与顺序、位置无关，是组合问题，由组合定义知有C＝＝56（种）．

（2）是组合问题，只需从7个白球中取2个即可，所以有C＝21（种）．

（3）是组合问题，只需从7个白球中取3个即可，所以有C＝35（种）．

1．区分一个问题是排列问题，还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．判断它是否有顺序的方法：

将元素取出来，看交换元素的顺序后对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题.

2．同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．“组合”是指“从n个不同元素中取m（m≤n）个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.

课下能力提升（五）

一、填空题

1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________．

（1）从1，2，3，4中选出2个构成的集合；

（2）由1，2，3组成两位数的不同方法；

（3）由1，2，3组成无重复数字的两位数．

解析：

由题意知：

（1）与顺序没有关系；

（2）（3）与顺序有关，故是排列问题．

答案：

（1）

2．已知C＝10，则n＝________．

解析：

C＝＝10，解之得n＝5.

答案：

5

3．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．

解析：

设男生有n人，则女生有（8－n）人，由题意可得CC＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．

答案：

2或3

4．若C＝C，则x＝________．

解析：

∵C＝C，

∴x＝3x－8或x＋（3x－8）＝28，

即x＝4或x＝9.

答案：

4或9

5．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________．

解析：

∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝.

答案：

二、解答题

6．列出从5个元素A，B，C，D，E中取出2个元素的所有组合．

解：

从5个元素A，B，C，D，E中取出2个元素的所有组合有：

AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个．

7．计算：

A＋A＋A＋…＋A.

解：

原式＝CA＋CA＋C·A＋…＋C·A

＝（C＋C＋C＋…＋C）·A

＝（C＋C＋C＋C＋…＋C－C）·A

＝（C＋C＋C＋…＋C－C）·A

＝（C＋C＋…＋C－C）·A

…

＝（C－C）·A

＝2C－2

＝333298.

8．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

（3）现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

解：

（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C＝＝45种选法．

（2）可把问题分两类情况：

第一类，选出的2名是男教师有C种方法；

第二类，选出的2名是女教师有C种方法．

根据分类计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同的选法．

（3）分步：

首先从6名男教师中任选2名，有C种选法；再从4名女教师中任选2名，有C种选法；根据分步计数原理，所以共有C·C＝90种不同的选法．

第2课时　组合的应用

　　[例1]　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？

（1）只有1名女生；

（2）两名队长当选；

（3）至少有1名队长当选．

[思路点拨]　特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．

[精解详析]　

（1）1名女生，4名男生，故共有C·C＝350种．

（2）将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165种．

（3）至少有1名队长含有两类：

只有1名队长；2名队长，故共有选法C·C＋C·C＝825种，或采用间接法共有C－C＝825种．

[一点通]　解答组合应用题的总体思路：

（1）整体分类：

从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．

（2）局