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这里应注意，在序数效用理论中，仅谈及边际效用U/Xi是没有实际意义

的。

这是由于表示同一偏好关系的效用函数不是唯一的，如果用不同形式的效用

函数，边际效用的值将发生变化，然而边际替代率不依赖于所选择的效用函数的形式。

例1设二种商品，采用柯布一道格拉斯效用函数

U（Xi,X2）=AX1X2（2.1.3）

对U（Xi,X2）作单调变换，效用函数为

1ab

U（Xi,X2）=AXiaX；

就hAxFx厂（2.1.4）

令—，则（2.1.4）写作

a+b

U讥1必2）=AxFx2』（么1.5）

对于（2.1.3）

MRS12

（1_-）X1

aX2

bX1

对于（2.1.5）

二、效用最大化问题

消费者的效用最大化可以看作是消费者在收入所允许的范围内选择适当的商品组合，使得自身的效用达到最大化。

设一个消费者的收入为丫，n种商品的价格为Pi，i=1，2,…，n；

消费者的预算约束为

P1X1+P2X2+…+PnXn=Y

理性消费者的消费行为是在既定的预算约束下，选择最优的商品组合（X1,

X2，…，Xn）使效用最大化，即

（2.1.6）

malX（Xi,X2；

Xn）

St：

RXi+F2X2k+PnXn=Y

这是一个有约束的极值问题，可利用拉格朗日乘数法求解。

构造拉格朗日函数

L（X!

X2,,Xn；

）二U（X!

X2,,Xn）-[（PX「巳X?

RXJ-Y]

效用最大化的一阶必要条件为

（2.1.7）

C/u

由（2.1.7）第一式得出

1；

i=1,2/,n

—flj

即得

MU1

mu2...

MUn

（2.1.8）

或

MUi

i,j=1,2,,n

（2.1.9）

MUj

式（2.1.8）中，1/Pi表示单位收入可购买商品i的数量。

式（2.1.8）说明：

当效用最大化时，对每一种商品而言，单位收入增加的效用，即边际效用都是相等的，消费者将保持这种状态不变，此时，我们称消费者处于均衡。

（2.1.8）式

称为消费者最优选择条件，或消费者的均衡条件。

拉格朗日乘子入表示单位收入支出的边际效用。

（2.1.9）式左边恰是商品i和商品j的边际替代率；

而右边Pi/Pj为商品i和j的经济替代率。

第二节需求函数

一、需求函数的一般形式

消费者的需求理论主要讨论消费者对商品的选择行为，即探讨一个理性消费

者在预算约束条件下，选择最优商品组合使效用最大化。

这一选择行为由上节的

maXJ（X1,X2，…，Xn）-'

（PX…

（2.2.1）

（2.1.6）式给出，引入拉格朗日乘子入，（2.1.6）式可变为

解这一最大化问题，可得

（2.2.2）式表示了消费者对n种商品的需求量，这就是消费者的需求函数：

对第i种商品的需求量依赖于n种商品的价格和消费者的收入。

对于上节的例1,设消费者收入为丫，两种商品的价格分别为Pl，P2,效用最大化问题为

maxU（X1,X2^AX1aXb

s.t：

PXiP2X2二丫

作拉格朗日函数L（X1,X2^AX1aXb--（P^X1-P2X2）—丫］

aAX'

xb-•R=0

由一阶条件可得bA怒？

—1-■P2=0

以上需求函数说明，在效用最大化时，用于消费品i的支出PiXi（i=1,2）

是总支出（收入）丫的线性函数，称之谓简单线性支出系统（LES）。

需求函数具有零次齐次性质，即对于任意的非零常数k

Xi二Xi（kR,kP2,,kPn；

kY）二Xi（R,FV,Pn;

Y）

它表示所有n种商品的价格、收入按同比例变化并不影响任何一种商品的需求

量，此说明消费者无货币幻觉。

因此需求函数可写作

（2.2.3）

这里P是一般价格指数，（2.2.3）式表明对第i种商品的需求量是所有n种商品的相对价格和实际收入的函数。

对于需求函数，若固定第i种商品以外的n-1种商品的价格和消费者的收入不变，由（2.2.2）式可得

Xi二Xi（瓦，冃才用！

，卫;

此式表示对第i种商品的需求曲线。

二、需求弹性及消费品分类

需求价格弹性定义为：

Ej卷•旦

jXi

当i=j时，Eij称作需求的自价格弹性，简称需求价格弹性；

当i工j时，Eij称作需求的互价格弹性。

需求收入弹性定义为：

i=刍工

cYXi

按照需求的自价格弹性可将商品分类为：

EiiV0,该商品为非吉芬商品，随着价格的上升，对该商品需求量相应减少。

若EiiV-1,即需求量下降的幅度超过商品价格上升的幅度，称该商品具有价格弹性；

若-1VEiiV0，即需求量下降的幅度低于商品价格上升的幅度，称该商品缺乏价格弹性。

Eii>

0，该商品为吉芬商品，商品价格上升，对其需求量反而增加。

按照互价格弹性，可将商品分类为：

Eij>

0,替代品，第j种商品的价格上升导致第i种商品需求量增加。

EijV0,互补品，第j种商品的价格上升导致第i种商品需求量减少。

按照收入弹性，可将商品分类为：

ni>

0,正常商品，随着收入的增加，对该商品的需求量相应增加。

若ni>

1，即需求量增加的幅度超过收入增加的幅度，该商品的为奢移品；

若0vniv1,

即需求量增加的幅度小于收入增加的幅度，该商品为必需品。

ni=0,中性商品，收入增加并未改变对该商品的需求量。

niV0,低劣商品，收入增加反而使对该商品的需求量减少。

三商品的可分离性

对于需求函数（2.2.2）,商品的数量n往往较大，使得方程中需要估计的参数较多，给估计带来一定的困难。

为了解决这一问题，需求理论中引进了可分离性假定。

可分离假定是指按照商品的效用把相互作用紧密的商品归并为一组，而相互

作用一般的商品则可以分别包括在不同的组里。

如目前城镇居民消费品可以划分为食品、衣着、家庭设备用品及服务、医疗保健、交通和通讯、教育文化娱乐服务、居住、杂项商品和服务等八个组。

牛肉、羊肉在形成食品效用方面是非常紧密的竞争品，属于一个组。

同样，电影、戏剧在满足娱乐方面也是紧密的竞争品，

属于一个组。

可分离性也可以通过分析消费者在做出消费决定时的分步预算而得到进一

步理解。

由于消费者面对大量的消费品难以一次做出决定，因而通常首先将收入划分为几个预算项目，如食品、衣着、居住等。

然后再将各种需求的预算分配到具体商品上，如将食品需求方面的预算分配给米、面、蔬菜、肉类、奶制品等。

按照可分离性假定，假若商品分作n个组，效用函数可写作

U=Ui（XJU2（X2）……+Un（Xn）

这一效用函数右边的n项是“相互独立”的，即某类商品消费量的变化并不影响其他商品的效用，也即某类商品的边际效用与其它类商品的消费量无关。

即

dXi

由于对商品一般来说不可能是低劣品，所以上式表明所有分类的商品都是

互补的。

因此，可以认为这些商品本身在广义上来说是可叠加的，如食品、衣着、

居住等。

四、线性支出系统模型

线性支出系统是目前最常用的一种需求系统，它是描述消费者行为的重要模

型。

对于上节的例子，我们引出了简单线性支出系统（LES），但此模型与实际

情况有较大出入，Stone将Cobb-Douglass型效用函数稍加修改，提出了

Stone-Geary效用函数，并且导出了实用的线性支出系统。

这里o<

biJ一0区—Xi0/0为消费者对第i种商品的最低需求

量。

称U为Stone-Geary效用函数。

解效用最大化化问题

（237）

maXblnXi-X：

）

■=i-1

RX,+F2X2+…+PnXn=Y

得需求函数为

RXi二RXi0叽丫一\PjX；

）（238）

此处RXO是消费者对第i种商品的最低消费支出，送RX：

为消费者对n种

商品的最低总消费支出；

Y—7PjXO是满足最低消费支出的剩余收入，这部分

收入以固定的比例bi用于各商品之间，b称为边际预算比。

（2.3.8）称作线性支出系统。

它表示消费者在第i种商品上的支出PiXi可分作两部分：

一部分PX0为最低消费支出，另一部分bi（Y-vPjX：

）是消费者按预

算比bi对商品i的额外支出。

线性支出系统（2.3.8）中的bi和X0未知，为模型参数。

模型关于bi和X°

是非线性的，它们在模型中以乘积的形式出现，给参数的估计带来了困难，因此，模型参数的估计可采用迭代法。

如果bi给定，模型（2.3.8）关于参数X°

（j=1,2,…，n）是线性的：

PXi—biY=Xi°

（P—biR）—3瓦X0Pj（2.3.9）

如果X°

（j“,2,…，n）给定，模型（2.3.8）关于参数bi是线性的：

PXj-RX,讪丫-、PjX：

）（2.3.10）

迭代估计过程如下：

首先给出一个bi的初始值，对（2.3.9）应用普通最小二乘法估计X：

（j=1,2,…，n）；

然后根据上述估计出的X：

（j=1,2，…，n）代入（2.3.10）

式，应用普通最小二乘法求得bi（i=1,2/,n）的估计值。

如此，循环以上过程，

直到估计出的bi（i=1,2/,n）和Xj0（j=1,2/,n）趋于稳定。

五、扩展线性支出系统模型

由上可以看出线性支出系统模型参数估计采用迭代法是比较麻烦的。

若将模

型（2.3.8）中边际预算比bi用边际消费倾向bi代替；

仍假定某一时期人们对各

种商品（服务）的需求量仅决定于人们的收入和各种商品的价格，这一模型就成为扩展线性支出系统模型，扩展线性支出系统模型是经济学家Liuch于1973年

提出的。

扩展线性支出系统模型的一般形式为：

Vi二RXi°

b（Y-'

PjX0）i=1,2,,n（2.3.11）

式中Vi二RXi为消费者对第i种商品的消费支出。

对于截面资料，（2.3.11）式中的RXi0与-b'

PjXj0是常数，将其合并，令

ai=RXi°

—biTPjX0，贝U（2.3.11）式化为

V^aibiY（2.3.12）

利用截面资料采用普通最小二乘法可求得ai，b”的估计量。

由于送a=送RX0-送b吃PjX0

所以送PjX0=Zq/（1—送b*）

因此PX0=ai+b吃ai/（1—Eb*）（2.3.13）

将上面求得的3i,bi'

的估计值代入（2.3.13）,即可求得PXi0。

第三节恩格尔曲线

一、恩格尔曲线的定义

消费者在一定的收入水平下，按照最优选择理论可选择一组商品组合使效用最大，这样的商品组合为最佳组合。

由于消费者随着收入的增加，用于消费的预算也会相应增加，在商品价格不变的情况下，对商品的需求量必然会改变，因此当收入增加，在商品价格不变时，最佳组合会发生变化。

我们把研究转向一种商品，当其它商品的价格不变时，消费者收入的变化与这种商品的需求量之间的关系构成一条曲线，即收入一消费曲线，这条曲线称作恩格尔曲线。

若将收入作为横轴，需求量作为纵轴，构成二维坐标系，恩格尔曲线如图1.3.1所示①：

曲线上

①在许多西方经济学教科书中，以需求量为横轴，收入为纵轴，构成二维坐标系，画出

恩格尔曲线，恰与这里的形状相反，曲线是凹向上的。

每一点的斜率表示该商品的边际消费倾向，即该商品消费量的变化与收入变化的比率；

而该点到原点连线的斜率表示该商品的平均消费倾向，即该商品消费量与收入之间的比率。

图1.3.1

恩格尔曲线源自恩斯特•恩格尔对于收入与食品消费之间关系的研究。

恩格尔发现，随着收入的增加人们用于食品的支出逐渐上升，但食品消费的增长速度与收入的增长速度并不一致，而是前者低于后者，亦即食品的平均消费倾向与边际消费倾向逐渐减少，这时在以食品消费量为纵轴，收入量为横轴的坐标系里，食品消费与收入之间的关系曲线呈下凹状（从图1.3.1可明显看出）。

称食品消费占国民收入的比例为恩格尔系数。

恩格尔由此研究得出了著名的“恩格尔定律”：

食品消费占国民收入的比重即恩格尔系数，可以作为一个国家福利的指标，恩格尔系数越低，福利越咼。

一般来说，对于正常商品，随着收入的增加，消费量会相应增加，其恩格尔曲线的斜率为正值；

当商品为低劣品时，收入增加反而会使需求量减少，因而其恩格尔曲线的斜率为负值。

即使对于正常商品，也存在一些特殊的恩格尔曲线，下面以两种商品为例来说明。

完全替代品。

当两种商品（甲商品和乙商品）可以完全替代时，其消费量取决于各自的价格。

如果甲商品的价格P1低于乙商品的价格P2,则消费完全集中的甲商品上，因而甲商品的恩格尔曲线为一条源自坐标原点向右上方倾斜的直线：

X1二Y/R，其斜率为1/P1;

而乙商品的恩格尔曲线为横轴X2=0,其斜率为零。

完全互补品。

甲商品和乙商品为完全互补品，甲商品的消费量总是伴随着相同数量的乙商品的消费，其预算约束为：

Y=P1X1+P2X2=（P什P2）X1=（P1+P2）X2。

这两种商品的恩格尔曲线均为源自坐标原点而向右上方倾斜的直线，斜率为

1/（Pl+P2）。

柯布一道格拉斯偏好。

如果两种商品的效用函数为柯布一道格拉斯函数

U=X：

X；

』（OWa<

1），则需求函数为Xi=aY/Pi,X2=（1-a）Y/P2，因此这两种商品

的恩格尔曲线均为源自坐标原点而向右上方倾斜的直线，其中第一种商品的恩格

尔曲线的斜率为a/Pi，第二种商品的恩格尔曲线的斜率为（1—a）/P2。

以上三种情形的恩格尔曲线均为直线，即需求量与收入以相同的比例增加。

实际情况并不一定如此，需求量增加的比例可能高于收入增加的比例，也可能低

于收入增加的比例。

二、恩格尔曲线的形式在应用研究中，恩格尔曲线通常取如下四种函数形式：

bYbY

线性函数：

X=a+bY，其收入弹性为二^-二一

Xa+bY

双对数函数：

InX=ablnY,其收入弹性为二b。

半对数函数：

X二ablnY,其收入弹性为=-b—。

Xa+blnY

对数倒数函数：

lnX二a-b丄,其收入弹性为=b=a-lnX。

上述恩格尔曲线中，除双对数函数的收入弹性为常数外，其余函数的收入弹性均随着收入的变化而变化。

在实际应用中，恩格尔曲线常采用半对数函数形式。

恩格尔曲线描述的是当商品价格不变时，对某商品的需求量与收入之间的关系。

在实际的家计调查中，调查在同一时期完成，则可认为消费者所面临的商品价格是一致的，价格变化对需求量的影响可以不考虑。

但在利用家计调查估算恩格尔曲线时，还应考虑到，对某商品的需求除了受收入影响外，还受到消费者受教育程度、区域等其它因素的影响，因此在选择具体的函数形式时还应包括反映这些因素的变量。

第四节实例：

河南省城镇居民消费需求分析

一、河南省2004年城镇居民消费需求函数

城镇居民家庭消费性支出，包括食品、衣着、家庭设备用品及服务、医疗保

健、交通和通信、教育文化娱乐服务、居住、杂项商品和服务等八大类支出。

其中：

①食品，指居民为摄取身体所需要的营养和满足某种嗜好而进食的各种消费品，包括主食、副食、烟草、酒、饮料以及干鲜瓜果、糖果、糕点、奶制品等；

②衣着，指各种穿着用品及加工穿着品的各种材料，包括棉、麻、丝、毛和各种人造纤维、合成纤维纺织的各种布匹、呢绒、绸缎及其加工的服装，各种鞋、袜、帽及其他零星穿着用品等；

③家庭设备用品及服务，指家庭各类日用消费品及家庭服务，包括耐用消费品、室内装饰品、床上用品、家庭日用杂品、家具、家庭服务；

④医疗保健，指用于医疗和保健的药品、用品和服务费用，包括医疗器具、保健用品、医药费、滋补保健品、医疗保健服务及其他医疗保健费用；

⑤交通和通信，指用于交通和通信工具及相关的各种服务费、维修等支出；

⑥教育文化娱乐服务，指调查户用于教育和文化娱乐方面的支出；

⑦居住，指与居住有关的支出，包括住房、水、电、燃料方面的支出；

⑧杂项商品和服务，指无法直接归入上述各类支出以外的个人用品和杂项商品与服务支出。

根据河南省城市调查队城镇居民生活抽样调查资料，河南省2004年全年按

收入不等距九组分组的城镇居民消费支出情况如表2.4.1所示：

表2.4.1河南省2004年城镇居民消费支出情况单位：

元从

项目

合计

最低10%

#更低5%

低10%

较低20%

中间20%

较高20%

高10%

最咼10%

#更高5%

可支配收入

7704.90

2827.61

2352.69

4250.02

5734.41

7564.88

9770.71

12566.10

19184.32

22842.48

消费支岀

5294.19

2456.57

2181.65

3302.30

4206.43

5307.33

6643.11

7761.83

11498.88

12769.37

1.食品

1855.44

1107.93

989.39

1380.16

1615.27

1908.02

2171.35

2472.70

3234.81

3479.25

2.衣着

650.30

283.09

241.02

400.70

517.47

692.70

801.43

1032.61

1272.02

1323.86

3.家庭设备用品及服务

332.06

95.02

73.04

172.11

215.90

290.34

458.57

628.59

907.39

1077.90

4.医疗保健

436.53

178.07

199.35

223.73

335.93

431.20

597.88

662.26

981.72

1132.00

5.交通和通信

569.85

167.96

133.82

323.22

447.65

553.86

701.85

857.72

1561.45

2078.46

6.教育文化娱乐服务

694.56

287.23

234.58

348.92

485.32

713.12

946.81

944.98

1797.62

1874.26

7.居住

578.60

283.77

264.67

348.04

457.63

548.80

746.75

851.19

1295.26

1336.88

8.杂项商品和

服务

176.84

53.50

45.78

105.42

131.26

169.29

218.46

311.78

448.60

466.76

随着市场经济的逐步建立和日趋成熟，消费者对商品的需求基本上完全由消

费者确定，取决于消费者的收入和商品价格，这符合扩展线性支出系统的假定，

因此，将河南省城镇居民消费需求模型建为扩展线性支出系统，如（2.3.11）式

所示。

根据表2.4.1数据，对式（2.3.12）利用普通最小二乘法进行估计，经过调

整得到不同消费类别的需求函数，如表2.4.2所示。

表2.4.2扩展线性支出系统模型参数估计表

T统计量