双曲线知识点及题型总结.doc

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双曲线知识点及题型总结

1双曲线定义：

①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

要注意两点：

（1）距离之差的绝对值.

（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.

当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；

当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

②动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e（e＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线

2.双曲线的标准方程：

和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：

如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：

⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.

5.曲线的简单几何性质

－=1（a＞0，b＞0）

⑴范围：

|x|≥a，y∈R

⑵对称性：

关于x、y轴均对称，关于原点中心对称

⑶顶点：

轴端点A1（－a，0），A2（a，0）

⑷渐近线：

①若双曲线方程为渐近线方程

②若渐近线方程为双曲线可设为

③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x

⑸准线：

l1：

x=－，l2：

x=，两准线之距为

⑹焦半径：

，（点P在双曲线的右支上）；

，（点P在双曲线的右支上）；

当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）

⑺与双曲线共渐近线的双曲线系方程是

⑻与双曲线共焦点的双曲线系方程是

6曲线的内外部

（1）点在双曲线的内部.

（2）点在双曲线的外部.

7曲线的方程与渐近线方程的关系

（1）若双曲线方程为渐近线方程：

.

（2）若渐近线方程为双曲线可设为.

（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.

8双曲线的切线方程

（1）双曲线上一点处的切线方程是.

（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

（3）双曲线与直线相切的条件是.

9线与椭圆相交的弦长公式

若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A（x1，y1）、B（x2,y2），则弦长

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；

高考题型解析

题型一：

双曲线定义问题

1.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2.若，则“”是“方程表示双曲线”的（）

A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.

3.给出问题：

F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：

双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.

该学生的解答是否正确？

若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上._________.

4.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是.

题型二：

双曲线的渐近线问题

1.双曲线－=1的渐近线方程是（）

A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x

2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）

A.－=1B.－=1C.－=1D.－=1

题型三：

双曲线的离心率问题

1已知双曲线（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且∣PF1∣=4∣PF2∣,则此双曲线的离心率e的最大值为（）

A． B． C．２ D．

2.已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为（）

A.B.C.2D.3

3.过双曲线M:

的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是（）

A.B.C.D.

4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（）

A.B.2C.D.2

5..已知双曲线（a>0,b<0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.（1,2）B.（1,2）C.[2,+∞）D.（2,+∞）

题型四：

双曲线的距离问题

1.设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于（）

A.1或5B.6 C.7 D.9

2.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是

A.（,）B.（-,）C.[,]D.[-,]

3.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.

题型五：

轨迹问题

1.已知椭圆x2+2y2=8的两焦点分别为F1、F2，A为椭圆上任一点。

AP是⊿AF1F2的外角平分线，且=0.则点P的轨迹方程是.

2.双曲线x2－y2=4的两焦点分别为F1、F2，A为双曲线上任一点。

AP是∠F1AF2的平分线，且=0.则点P的轨迹是　　　　　（　　）

A.椭圆的一部分　B.双曲线的一部分C.圆的一部分　D.抛物线的一部分

3求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程

高考例题解析

1.已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为（）

AB8CD随的大小变化

答案:

A解析:

用双曲线定义列方程可解

2.过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样的直线存在（）

A0条B1条C2条D3条

答案:

D解析:

x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条

3.直线与曲线的交点个数是（）

A0个B1个C2个D3个

答案:

D解析:

（0,5）点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点

4.P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为（）

A内切B外切C内切或外切D无公共点或相交

答案:

C解析:

用两圆内切或外切的条件判断

5.设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足,则的面积为（）

A1BC2D

答案:

A解析:

勾股定理,双曲线定义联立方程组h或面积公式

6.设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时,的值为（）

A0B1CD2

答案:

A解析:

不妨设由,,,

7.过点A（0，2）可以作___条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点

答案：

4解析：

数形结合，两切线、两交线

过点P（4,4）且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有（　　）

A．1条B．2条C．3条D．4条

解析：

如图所示，满足条件的直线共有3条．

答案：

C

8.已知A（3，2），M是双曲线H：

上的动点，F2是H的右焦点，求的最小值及此时M的坐标。

解：

由，则

此时M的坐标（）

9.已知双曲线C：

，一条长为8的弦AB两端在C上运动，AB中点为M，则距轴最近的M点的坐标为。

解：

又，则

当且仅当时，取“=”，由逆径，故可取“=”

又由

即故M（）

10.P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆（x＋4）2＋y2＝4和（x－4）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．

解析：

双曲线的两个焦点为F1（－4,0）、F2（4,0），为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为（|PF1|＋2）－（|PF2|－1）＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：

5

.直线：

与双曲线C：

的右支交于不同的两点A、B。

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？

若存在，求出的值。

若不存在，说明理由。

解：

（Ⅰ）将直线

……①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

……②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.

则由FA⊥FB得：

整理得

……③

把②式及代入③式化简得

解得

可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

（四川卷）9.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。

（Ⅰ）求ｋ的取值范围；

（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使求。

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。

满分14分。

解：

（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

故曲线的方程为

设，由题意建立方程组

消去，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

解得

∵

依题意得

整理后得

∴或

但∴

故直线的方程为

设，由已知，得

∴，

又，

∴点

将点的坐标代入曲线的方程，得得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴，点的坐标为

到的距离为

∴的面积

练习题

1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）

A