高考数学专题命题及其关系充分条必要条件Word文档格式.docx
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（2）错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案
（1）×
（2）×
（3）√ （4）√
2.（教材练习改编）命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠
，则tanα≠1B.若α＝
，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠
D.若tanα≠1，则α＝
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：
tanα≠1，綈p：
α≠
，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠
”.
答案 C
3.（·
天津卷）设x>
0，y∈R，则“x>
y”是“x>
|y|”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析 x>
y
x>
|y|（如x＝1，y＝－2）.
但x>
|y|时，能有x>
y.
∴“x>
|y|”的必要不充分条件.
4.命题“若a>
－3，则a>
－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；
其逆命题为“若a>
－6，则a>
－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.
答案 B
5.（·
大连双基检测）已知函数f（x）的定义域为R，则命题p：
“函数f（x）为偶函数”是命题q：
“∃x0∈R，f（x0）＝f（－x0）”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若f（x）为偶函数，则有f（x）＝f（－x），所以p⇒q；
若f（x）＝x，当x＝0时，f（0）＝f（－0），而f（x）＝x为奇函数，所以q
p.
∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条件.
答案 A
考点一 四种命题的关系及其真假判断
【例1】
（1）命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为（ ）
A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A.真、假、真B.假、假、真
C.真、真、假D.假、假、假
解析
（1）根据逆否命题的定义可以排除A，D；
由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.
（2）由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；
取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.
答案
（1）C
（2）B
规律方法
（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；
如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.
（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；
判断一个命题为假命题，只需举出反例.
（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
【训练1】已知：
命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（ ）
A.否命题是“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m＞1”，是真命题
B.逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题
C.逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题
D.逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题
解析 由f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝ex－m≥0恒成立，
∴m≤1.
因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题.
答案 D
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】
（1）函数f（x）在x＝x0处导数存在.若p：
f′（x0）＝0；
q：
x＝x0是f（x）的极值点，则（ ）
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件
（2）（·
衡阳一模）“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线（a＋2）x－3y－2＝0垂直”的（ ）
解析
（1）由极值的定义，q⇒p，但p
q.例如f（x）＝x3，在x＝0处f′（0）＝0，f（x）＝x3是增函数，x＝0不是函数f（x）＝x3的极值点.
因此p是q的必要不充分条件.
（2）直线ax＋y＋1＝0与直线（a＋2）x－3y－2＝0垂直的充要条件为a（a＋2）＋1×
（－3）＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线（a＋2）x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件.
规律方法 充要条件的三种判断方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断.
（2）集合法：
根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.
【训练2】（·
山东卷）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
解析 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；
反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.
因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
考点三 充分条件、必要条件的应用（典例迁移）
【例3】（经典母题）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，
则S⊆P.
∴
解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，可知m≥0≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.
【迁移探究1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
这样的m不存在.
【迁移探究2】本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，
∴P⇒S且S
P.
∴[－2，10][1－m，1＋m].
或
∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞）.
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解；
（2）要注意区间端点值的检验.
【训练3】ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________.
解析 当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－
.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
所以有
即0＜a≤1.
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
答案 0≤a≤1
[思想方法]
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；
在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.
2.充要条件的几种判断方法
直接判断若p则q、若q则p的真假.
（2）等价法：
即利用A⇒B与綈B⇒綈A；
B⇒A与綈A⇒綈B；
A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
（3）利用集合间的包含关系判断：
设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}；
若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；
若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.
[易错防范]
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.
3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
基础巩固题组
（建议用时：
25分钟）
一、选择题
1.（·
山东卷）设m∈R,命题“若m>
0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（ ）
A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析 根据逆否命题的定义，命题“若m>
0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.
2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的（ ）
解析 因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的（ ）
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 m⊂α，m∥β
α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
4.（·
安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－
＋a为奇函数”的（ ）
解析 显然a＝0时，f（x）＝sinx－
为奇函数；
当f（x）为奇函数时，f（－x）＋f（x）＝0.又f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－
＋a＋sinx－
＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.
5.下列结论错误的是（ ）
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>
0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>
0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－
，不能推出m>
0.所以不是真命题.
6.设x∈R，则“1<
x<
2”是“|x－2|<
1”的（ ）
解析 由|x－2|<
1，得1<
3，所以1<
2⇒1<
3；
但1<
3
1<
2.
所以“1<
1”的充分不必要条件.
7.已知命题p：
x2＋2x－3＞0；
命题q：
x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（ ）
A.[1，＋∞）B.（－∞，1]
C.[－1，＋∞）D.（－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
8.（·
佛山模拟）已知a，b都是实数，那么“
>
”是“lna>
lnb”的（ ）
解析 由lna>
lnb⇒a>
b>
0⇒
，故必要性成立.
当a＝1，b＝0时，满足
，但lnb无意义，所以lna>
lnb不成立，故充分性不成立.
二、填空题
9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.
答案 2
10.“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的________条件.
解析 cos2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，
即cosα＝±
sinα.
由cosα＝sinα得到cos2α＝0；
反之不成立.
∴“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
11.已知命题p：
a≤x≤a＋1，命题q：
x2－4x<
0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<
0}＝{x|0<
4}.
∵p是q的充分不必要条件，∴MN，
解得0<
a<
3.
答案 （0，3）
12.有下列几个命题：
①“若a>
b，则a2>
b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<
4，则－2<
2”的逆否命题.
其中真命题的序号是________.
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误.②原命题的逆命题为：
“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确.
答案 ②③
能力提升题组
10分钟）
13.（·
四川卷）设p：
实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：
实数x，y满足
则p是q的（ ）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
解析 如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部（阴影部分）为q表示的区域.
故p是q的必要不充分条件.
14.（·
南昌十所省重点中学联考）已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在（0，＋∞）上为减函数”的（ ）
解析 由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<
1.
由于函数y＝logmx在（0，＋∞）上是减函数，
所以0<
m<
因此“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在（0，＋∞）上为减函数”的必要不充分条件.
15.已知集合A＝
，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________.
解析 A＝
＝{x|－1＜x＜3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.
答案 （2，＋∞）
16.（·
临沂模拟）下列四个结论中正确的是________（填序号）.
①“x2＋x－2>
0”是“x>
1”的充分不必要条件；
②命题：
“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0>
1”；
③“若x＝
，则tanx＝1”的逆命题为真命题；
④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）＋f（log23）＝0.
解析 ①中“x2＋x－2>
1”的必要不充分条件，故①错误.
对于②，命题：
1”，故②正确.
对于③，“若x＝
，则tanx＝1”的逆命题为“若tanx＝1，则x＝
”，其为假命题，故③错误.
对于④，若f（x）是R上的奇函数，则f（－x）＋f（x）＝0，∵log32＝
≠－log32，
∴log32与log23不互为相反数，故④错误.
答案 ②
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