乘法公式的复习.docx

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乘法公式的复习

1.怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：

符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：

不变或不这样变，可以吗？

）

3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．

5、项数变化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…××=×=．

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：

a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．

如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．

面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，

m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．

2.乘法公式应用的五个层次

乘法公式：

（a＋b）（a－b）=a2－b2，

（a±b）=a2±2ab＋b2，

（a±b）（a2±ab＋b2）=a3±b3．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．

例1计算

（2）（－2x－y）（2x－y）．

（2）原式=[（－y）－2x][（－y）＋2x]=y2－4x2．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．

例2计算

（1）19982－1998·3994＋19972；

解

（1）原式=19982－2·1998·1997＋19972=（1998－1997）2=1

第三层次──活用：

根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：

（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解原式=（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1

=（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1=216．

例4计算：

（2x－3y－1）（－2x－3y＋5）

分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：

－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．

解原式=（2x－3y－3＋2）（－2x－3y＋3＋2）

=[（2－3y）＋（2x－3）][（2－3y）－（2x－3）]

=（2－3y）2－（2x－3）2=9y2－4x2＋12x－12y－5．

第四层次──变用：

解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=（a＋b）2－2ab，a3＋b3=（a＋b）3－3ab（a＋b）等，则求解十分简单、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．

解：

∵a＋b=9，ab=14，

∴2a2＋2b2=2[（a＋b）2－2ab]=2（92－2·14）=106，

a3＋b3=（a＋b）3－3ab（a＋b）=93－3·14·9=351

第五层次──综合后用：

将（a＋b）2=a2＋2ab＋b2和（a－b）2=a2－2ab＋b2综合，

可得（a＋b）2＋（a－b）2=2（a2＋b2）；（a＋b）2－（a－b）2=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：

（2x＋y－z＋5）（2x－y＋z＋5）．

解：

原式=[（2x+y-z+5）+（2x-y+z+5）]2-[（2x+y-z+5）-（2x-y+z+5）]2

=（2x＋5）2－（y－z）2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2

3、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：

平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2、完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。

假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为（a+b）（a-b），通过左右两图的对照，即可得到平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为（a+b）2与（a-b）2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：

对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。

例1、运用乘法公式计算：

（1）（-1+3x）（-1-3x）；

（2）（-2m-1）2

解：

（1）（-1+3x）（-1-3x）=[-（1-3x）][-（1+3x）]

=（1-3x）（1+3x）=12-（3x）2=1-9x2.

（2）（-2m-1）2=[-（2m+1）]2=（2m+1）2=4m2+4m+1.

②改变顺序：

运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.

例2、运用乘法公式计算：

（1）（）（）;

（2）（x-1/2）（x2+1/4）（x+1/2）

解：

（1）（）（）=（）（）

=（）（）=

=

（2）（x-1/2）（x2+1/4）（x+1/2）=（x-1/2））（x+1/2）（x2+1/4）

=（x2-1/4）（x2+1/4）=x2-1/16.

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=（a+b）（a-b），逆用积的乘方公式，得anbn=（ab）n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、计算：

（1）（x/2+5）2-（x/2-5）2;

（2）（a-1/2）2（a2+1/4）2（a+1/2）2

解：

（1）（x/2+5）2-（x/2-5）2

=[（x/2+5）+（x/2-5）][（x/2+5）-（x/2-5）]=（x/2+5+x/2-5）（x/2+5-x/2+5）

=x·10=10x.

（2）（a-1/2）2（a2+1/4）2（a+1/2）2

=[（a-1/2）（a2+1/4）（a+1/2）]2

=[（a-1/2）（a+1/2）（a2+1/4）]2

=[（a2-1/4）（a2+1/4）]2

=（a4-1/16）2=a8-a4/8+1/256.

④合理分组：

对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：

（1）（x+y+1）（1-x-y）;

（2）（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）.

解：

（1）（x+y+1）（1-x-y）

=（1+x+y）（1-x-y）=[1+（x+y）][1-（x+y）]=12-（x+y）2

=1-（x2+2xy+y2）=1-x2-2xy-y2.

（2）（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）=（2x+5+y-z）（2x+5-y+z）

=[（2x+5）+（y-z）][（2x+5）-（y-z）]=（2x+5）2-（y-z）2=（4x2+20x+25）-（y2-2yz+z2）=4x2+20x+25-y2+2yz-z2

=4x2-y2-z2+2yz+20x+25.

4、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。

尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一.先分组，再用公式

例1.计算：

简析：

本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。

通过观察，将整式运用加法交换律和结合律变形为；将另一个整式变形为，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。

解：

原式

二.先提公因式，再用公式

例2.计算：

简析：

通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为，则可利用乘法公式。

解：

原式

三.先分项，再用公式

例3.计算：

简析：

两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。

进而分析如何将常数进行变化。

若将2分解成4与的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。

解：

原式=

四.先整体展开，再用公式

例4.计算：

简析：

乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。

解：

原式

五.先补项，再用公式

例5.计算：

简析：

由观察整式，不难发现，若先补上一项，则可满足平方差公式。

多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。

解：

原式

六.先用公式，再展开

例6.计算：

简析：

第一个整式可表示为，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。

解：

原式

七.乘法公式交替用

例7.计算：

简析：

利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

解：

原式

5.中考与乘法公式

1.结论开放

例1.（02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

分析：

利用面积公式即可列出

或或

在上述公式中任