曼昆《宏观经济学》第67版课后习题详解第7章经济增长Ⅰ资本积累与人口增长.docx

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曼昆《宏观经济学》第67版课后习题详解第7章经济增长Ⅰ资本积累与人口增长

曼昆《宏观经济学》（第6、7版）

第3篇增长理论：

超长期中的经济

第7章经济增长Ⅰ：

资本积累与人口增长

课后习题详解

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一、概念题

1．索洛增长模型（Solowgrowthmodel）

答：

索洛增长模型是表明储蓄、人口增长和技术进步如何影响一个经济的产出水平及其随着时间推移而实现增长的一种经济增长模型。

它的基本假定有：

（1）社会储蓄函数为，式中，是作为参数的储蓄率；

（2）劳动力按照一个不变的比例增长；（3）生产的规模报酬不变。

其主要思想是：

人均投资用于资本扩展化和资本深化，当人均投资大于资本扩展化时，人均产出就会增长；当人均投资等于资本扩展化时，经济达到稳定状态，人均产出不再增长，但总产出会继续增长，增长率等于人口增长率。

2．稳定状态（steadystate）

答：

索洛模型的稳定状态是指长期中经济增长达到的一种均衡状态，在这种状态下，投资等于资本扩展化水平，人均资本存量维持不变，即。

这个维持不变的人均资本存量称之为稳定状态人均资本存量。

在稳定状态下，不论经济初始位于哪一点，随着时间的推移，经济总是会收敛于该人均资本水平。

在稳定状态，由于人均资本存量保持不变，所以人均产出也保持不变，即人均产出增长率为零。

3．资本的黄金律水平（goldenrulelevelofcapital）

答：

资本的黄金律水平是指在稳定状态人均消费最大化时所对应的人均资本水平，由经济学家费尔普斯于1961年提出。

他认为如果一个经济的发展目标是使稳态人均消费最大化，稳态人均资本量的选择应使资本的边际产出等于劳动力的增长率。

黄金律具有如下的性质：

（1）在稳态时如果一个经济中人均资本量高于黄金律的水平，则可以通过消费掉一部分资本使每个人的平均资本下降到黄金律的水平，就能够提高人均消费水平；

（2）如果一个经济拥有的人均资本低于黄金律的数量，则该经济能够提高人均消费的途径是在目前缩减消费，增加储蓄，直到人均资本达到黄金律的水平。

二、复习题

1．在索洛模型中，储蓄率是如何影响稳定状态的收入水平的？

它是如何影响稳定状态的增长率的？

答：

在索洛模型中，如果储蓄率高，经济的资本存量就会大，相应的稳定状态的产出水平就会高；如果储蓄率低，经济的资本存量就会少，相应的稳定状态的产出水平就会低。

如图7-9所示。

图7-9储蓄率的影响

较高的储蓄导致较快的增长，但这只是暂时的。

储蓄率的提高会加快经济增长，直至经济达到新的稳定状态为止。

如果经济保持高储蓄率，也会保持大量的资本存量和高产出水平，但并不能永远保持较高的经济增长率，随着时间的推移，经济总是会趋向收敛于稳定状态下的均衡经济增长率。

2．为什么一个经济的决策者可能会选择黄金律资本水平？

答：

决策者会选择黄金律资本水平的原因如下：

经济决策者的目标是社会福利最大化，而社会福利水平体现为社会中个体的人均消费水平而非产出水平。

所以，决策者的目标就应该是人均消费最大化。

如果决策者要使人均产出最大化，那么就应该使储蓄率为100%；但如果要使人均消费水平最大化，显然储蓄率不应该是100%，因为100%的储蓄率会使消费为零。

通过索洛模型的分析，可以知道这个使人均消费最大化的资本水平就是黄金律资本水平。

因此，决策者要使社会福利最大化，就一定会选择黄金律资本水平。

假定经济中不存在人口增长和技术进步。

如果稳定状态下的资本存量增加一个单位，产出增加量则等于资本的边际产出；但是，折旧以速度增加，所以新增产出中可以用于消费的净增加量等于。

黄金规则的资本存量水平是在，即资本的边际产出等于折旧。

3．决策者会选择其资本高于黄金律稳定状态的稳定状态吗？

会选择其资本低于黄金律稳定状态的稳定状态吗？

解释你的答案。

答：

决策者对这两种情况都可能选择，只是看本国情况的不同而定。

（1）在理想的状况下，决策者出于长远考虑，肯定会选择黄金律资本水平，因为在黄金律资本水平下，稳定状态的人均消费可以达到最大，即社会福利最大化。

但是在实际情况中，政治等多种因素可能会影响决策者的选择。

（2）考虑初始资本水平高于黄金律水平。

在这种情况下，决策者如果选择将经济的资本水平带入黄金律水平，那么在达到黄金律资本水平的过程中，所有时点的人均消费都会增大，此后逐步下降。

（3）再考虑初始资本水平低于黄金律水平的情况。

在这种情况下，如果要把经济带入黄金律资本水平，社会将要忍受短期的痛苦，在短期内人均消费会降低，因为用于储蓄（投资）的部分更大了。

或者可以理解为为了使下一代人的福利水平更高，现在这代人要牺牲一部分消费，用更多的储蓄（投资）提高社会的产量。

如此看来，如果不选择黄金律资本存量，则各期的消费水平会有所不同，也就可能造成不同代际的人的福利水平不同，这种选择要视不同国家实际情况而定。

4．在索洛模型中，人口增长率是如何影响稳定状态的收入水平的？

它是如何影响稳定状态的增长率的？

答：

（1）在一定的储蓄率下，人口增长率越高，则稳定状态人均资本水平越低，相应的人均产出水平也越低；反之，人口增长率越低，稳定状态下的人均资本水平越高，人均产出水平也就越高。

（2）人口增长率越高，稳定状态下的经济总量增长率就越高。

在稳定状态下，人均资本以及人均产出都不变，即人均产出增长率为零，所以，在没有技术进步的情况下，经济总量增长率等于人口增长率（），那么人口增长率越高，经济总量增长率就越高。

在有技术进步（）的情况下，经济总量增长率等于人口增长率与技术进步率之和，稳态的经济总量增长率仍然与人口增长率正相关。

但人口增长率与稳态的人均产出增长率没有关系。

因为在稳定状态时（假设没有技术进步），人均资本不变，人均产出增长率为零，与人口增长率无关。

即使在有技术进步时，稳态的人均产出增长率与人口增长率也无关。

因为在稳态时，人均资本维持不变，那么人均产量也就不变，因此人均产出增长率只与技术进步相关。

三、问题与应用

1．A国与B国的生产函数都是：

a．这个生产函数是规模报酬不变吗？

请解释。

b．人均生产函数是什么？

c．假设没有一个国家经历了人口增长或技术进步，并且资本折旧为每年5%。

再假设A国每年储蓄为产出的10%，而B国每年储蓄为产出的20%。

用你对b的答案和投资等于折旧的稳定状态条件，找出每个国家稳定状态的人均资本水平。

然后找出稳定状态的人均收入水平和人均消费水平。

d．假定两国都从人均资本存量为2开始。

人均收入水平和人均消费水平是多少？

记住资本存量的变动是投资减折旧，用计算器来计算这两个国家的人均资本存量随时间推移将如何变动。

计算每一年的人均收入和人均消费。

B国的消费会在多少年后高于A国的消费？

解：

a．该生产函数是规模报酬不变的生产函数。

规模报酬不变，函数定义为。

A国与B国的生产函数都是，对于任何正数，都有。

b．人均生产函数是以生产函数两边同除以L得到的：

。

如果定义，可以得到，定义，整理上式得：

。

c．已知：

资本折旧率；A国储蓄率；B国储蓄率；人均产出函数是。

在稳定状态时，资本存量不变，即投资等于折旧：

。

将人均生产函数代入可推出：

。

因此：

A国的稳态人均资本水平为：

；

B国的稳态人均资本水平为：

。

将、的值代入人均生产函数，可得两国的稳态人均产出水平分别为：

，

由于收入中用于储蓄的比例是，那么用于消费的比例就是，因此两国的人均消费水平分别为：

d．对于A国：

，，，，。

对于B国：

，，，，。

由以上两个表可以看出：

直到第五年B国的人均消费才会比A国更高。

2．有关德国和日本战后增长的讨论，正文中描述了部分资本存量在战争中被摧毁之后所出现的情况。

相反，假设战争并没有直接影响资本存量，但人员死伤减少了劳动力。

a．对总产出和人均产出的即刻影响是什么？

b．假设储蓄率不变，而且战前经济处于稳定状态，那么，在战后的经济中人均产出会发生什么变动？

战后人均产出增长率小于还是大于正常增长率？

答：

a．索洛增长模型的总量生产函数是，或者以人均形式来表示为。

如果一场战争减少了劳动力，下降，使上升了。

由总量形式的生产函数可知，劳动力减少，则总产出下降。

但是，由于人均资本存量水平上升了，工人人均产出将会增加。

b．劳动力的减少意味着战后人均资本存量高于战前，而战前的经济处于稳定状态，所以战后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。

如图7-10所示，战后的人均资本存量位于的右边的某一个位置。

但是不是稳定状态，这时人均储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态过渡。

最后，人均资本存量下降到，经济重新达到稳定状态。

在这个过程中，由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。

在稳定状态，技术进步决定人均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。

因此这和战前是一样的。

图7-10资本存量恢复稳态水平

3．考虑用以下生产函数描述的一个经济：

。

a．人均生产函数是什么？

b．假定没有人口增长或技术进步，找出稳定状态的人均资本存量、人均产出，以及作为储蓄率和折旧率函数的人均消费。

c．假定折旧率是每年10%。

作一个表，表示储蓄率分别为0、10%、20%、30%等时，稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费。

（你需要用一个有指数键的计算器来计算这个问题。

）使人均产出最大化的储蓄率是多少？

使人均消费最大化的储蓄率是多少？

d．（本题较难）用微积分找出资本的边际产量。

在你的表上增加一项——每种储蓄率下的资本的边际产量减折旧。

你的表说明了什么？

解：

a．对生产函数两端同除，得：

令，，所以：

b．稳定状态的条件为：

或者也可以写成：

将人均产出函数代入得：

解得：

再将它代入人均产出函数得：

人均消费等于人均产出减去人均储蓄，而人均储蓄在稳定状态下等于人均资本的折旧，所以稳定状态人均消费等于人均产出减去人均资本折旧：

也可以这么解：

因为人均消费等于人均产出减人均储蓄，那么人均消费就是人均产出的倍，即：

通过代数变化可以发现两种结果是等价的。

c．由表7-1可以清晰地看到：

当储蓄率为100%时，人均产出可以达到最大值2.68，但是此时消费为零，所有产出都用来投资了。

而最大的人均消费（1.12）位于30%的储蓄率，这就是黄金律水平，在这个水平下，资本的边际产出等于折旧率，并且储蓄率等于资本在产出中的贡献。

表7-1不同储蓄率下稳定状态的人均资本、人均产出和人均消费

d．对生产函数关于求导，得：

在表7-2中可得，在黄金律水平时，。

即在没有人口增长和技术进步的情况下，资本的边际产量等于折旧，此时达到黄金律稳定状态。

当储蓄率小于黄金律水平时，，反之则。

表7-2不同储蓄率下的资本的边际产量减折旧

4．“把较大比例的国民产出用于投资将有助于迅速恢复生产率增长，并提高生活水平。

”你同意这种主张吗？

请解释。

答：

不同意。

根据索洛模型可以知道，这样的结论不一定成立。

把较大比例的国民产出用于投资，会在短期内提高人均资本，从而提高人均产出增长率，即生产率的增长。

但是，当经济达到稳定状态之后，人均产出的增长率只与技术进步率相关，而与投资率无关，也就是说提高投资率（储蓄率）并不能提高长期的人均产出增长率。

生活水平是指人均消费水平，投资率高并不一定意味着人均消费就高，要看人均资本处在什么样的水平。

当人均资本高于黄金律水平时，提高投资率只会降低人均消费。

而在人均资本低于黄金律