高考数学圆锥曲线及解题技巧.doc
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圆锥曲线问题解题方法
圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧。
一.紧扣定义,灵活解题
灵活运用定义,方法往往直接又明了。
例1.已知点A(3,2),F(2,0),双曲线,P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析:
如图所示,
双曲线离心率为2,F为右焦点,由第二定律知即点P到准线距离。
二.引入参数,简捷明快
参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决。
例2.求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解:
取如图所示的坐标系,设点F到准线的距离为p(定值),椭圆中心坐标为M(t,0)(t为参数)
,而
再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),则
消去t,得轨迹方程
三.数形结合,直观显示
将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化。
熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3.已知,且满足方程,又,求m范围。
解析:
的几何意义为,曲线上的点与点(-3,-3)连线的斜率,如图所示
四.应用平几,一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解。
例4.已知圆和直线的交点为P、Q,则的值为________。
解:
五.应用平面向量,简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5.已知椭圆:
,直线:
,P是上一点,射线OP交椭圆于一点R,点Q在OP上且满足,当点P在上移动时,求点Q的轨迹方程。
分析:
考生见到此题基本上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解:
如图,共线,设,,,则,
点R在椭圆上,P点在直线上
,
即
化简整理得点Q的轨迹方程为:
(直线上方部分)
六.应用曲线系,事半功倍
利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效。
所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。
例6.求经过两圆和的交点,且圆心在直线上的圆的方程。
解:
设所求圆的方程为:
则圆心为,在直线上
解得
故所求的方程为
七.巧用点差,简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些。
例7.过点A(2,1)的直线与双曲线相交于两点P1、P2,求线段P1P2中点的轨迹方程。
解:
设,,则
<2>-<1>得
即
设P1P2的中点为,则
又,而P1、A、M、P2共线
,即
中点M的轨迹方程是
解析几何题怎么解
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.
例1已知点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t(0(1)写出直线的方程;
(2)计算出点P、Q的坐标;
(3)证明:
由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q.
讲解:
通过读图,看出点的坐标.
(1)显然,于是直线
的方程为;
(2)由方程组解出、;
(3),.
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.
需要注意的是,Q点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗?
例2已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.
讲解:
从直线所处的位置,设出直线的方程,
由已知,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为
代入椭圆方程得
化简后,得关于的一元二次方程
于是其判别式
由已知,得△=0.即①
在直线方程中,分别令y=0,x=0,求得
令顶点P的坐标为(x,y),由已知,得
代入①式并整理,得,即为所求顶点P的轨迹方程.
方程形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗?
例3已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.
讲解:
∵
(1)原点到直线AB:
的距离.
故所求双曲线方程为
(2)把中消去y,整理得.
设的中点是,则
即
故所求k=±. 为了求出的值,需要通过消元,想法设法建构的方程.
例4已知椭圆C的中心在原点,焦点F1、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2的最大值为90°,直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点,△ABF2的面积最大值为12.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)求椭圆C的方程.
讲解:
(1)设,对由余弦定理,得
,
解出
(2)考虑直线的斜率的存在性,可分两种情况:
i)当k存在时,设l的方程为………………①
椭圆方程为由得.
于是椭圆方程可转化为………………②
将①代入②,消去得,
整理为的一元二次方程,得.
则x1、x2是上述方程的两根.且,也可这样求解:
,
AB边上的高
ii)当k不存在时,把直线代入椭圆方程得
由①②知S的最大值为由题意得=12所以
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣:
设过左焦点的直线方程为:
…………①
(这样设直线方程的好处是什么?
还请读者进一步反思反思.)
椭圆的方程为:
由得:
于是椭圆方程可化为:
……②
把①代入②并整理得:
于是是上述方程的两根.
AB边上的高,
从而
当且仅当m=0取等号,即
由题意知,于是.
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为:
例5已知直线与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线上.(1)求此椭圆的离心率;
(2)若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上,求此椭圆的方程.
讲解:
(1)设A、B两点的坐标分别为得
根据韦达定理,得
∴线段AB的中点坐标为().
由已知得,故椭圆的离心率为.
(2)由
(1)知从而椭圆的右焦点坐标为设关于直线的对称点为解得
由已知得,故所求的椭圆方程为.
例6已知⊙M:
轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点,
(1)如果,求直线MQ的方程;
(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.
讲解:
(1)由,可得
由射影定理,得在Rt△MOQ中,
,故,
所以直线AB方程是
(2)连接MB,MQ,设由点M,P,Q在一直线上,得
由射影定理得即
把(*)及(**)消去a,并注意到,可得
适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在,还请读者反思其中的奥妙.
例7如图,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC=。
DO⊥AB于O点,OA=OB,DO=2,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
AOB
C
(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设,试确定实数的取值范围.
讲解:
(1)建立平面直角坐标系,如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB| y=∴动点P的轨迹是椭圆∵∴曲线E的方程是.
(2)设直线L的方程为,代入曲线E的方程,得设M1(,则
①
②
③
i)L与y轴重合时,
ii)L与y轴不重合时,由①得又∵,
∵或∴0<<1,
∴∵
而∴∴∴,
∴的取值范围是.
值得读者注意的是,直线L与y轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.
例8直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A两点.
(1)求证:
;
(2)求证:
对于抛物线的任意给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.
讲解:
(1)易求得抛物线的焦点.若l⊥x轴,则l的方程为.若l不垂直于x轴,可设,代入抛物线方程整理得.综上可知.
(2)设,则CD的垂直平分线的方程为
假设过F,则整理得
,.这时的方程为y=0,从而与抛物线只相交于原点.而l与抛物线有两个不同的交点,因此与l不重合,l不是CD的垂直平分线.
此题是课本题的深化,你能够找到它的原形吗?
知识在记忆中积累,能力在联想中提升.课本是高考试题的生长点,复课切忌忘掉课本!
例9某工程要将直线公路l一侧的土石,通过公路上的两个道口A和B,沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,试说明怎样运土石最省工?
讲解:
以直线l为x轴,线段AB的中点为原点对立直角坐标系,则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点,设这样的点为M,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50,
∴M在双曲线的右支上.
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处,曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处,按这种方法运土石最省工.