人教A版版高考数学文科一轮设计第六七章教师用书Word版含答案Word文件下载.docx

人教A版版高考数学文科一轮设计第六七章教师用书Word版含答案Word文件下载.docx

《人教A版版高考数学文科一轮设计第六七章教师用书Word版含答案Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版版高考数学文科一轮设计第六七章教师用书Word版含答案Word文件下载.docx（86页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1.判断正误（在括号内打“√”或“×

”）　

精彩PPT展示

（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（　　）

（2）一个数列中的数是不可以重复的.（　　）

（3）所有数列的第n项都能使用公式表达.（　　）

（4）根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.（　　）

解析　

（1）数列：

1，2，3和数列：

3，2，1是不同的数列.

（2）数列中的数是可以重复的.

（3）不是所有的数列都有通项公式.

答案　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）√

2.（2017·

长沙模拟）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是（　　）

A.an＝（－1）n－1＋1B.an＝

C.an＝2sinD.an＝cos（n－1）π＋1

解析　对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意，故选C.

答案　C

3.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为（　　）

A.15B.16C.49D.64

解析　当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.

答案　A

4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________.

解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即（n＋1）2＋λ（n＋1）＞n2＋λn，整理，

得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－（2n＋1）.（*）

因为n≥1，所以－（2n＋1）≤－3，要使不等式（*）恒成立，只需λ＞－3.

答案　（－3，＋∞）

5.（必修5P33A5改编）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.

答案　5n－4

考点一　由数列的前几项求数列的通项

【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）－1，7，－13，19，…；

（2），，，，，…；

（3），2，，8，，…；

（4）5，55，555，5555，….

解　

（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝（－1）n（6n－5）.

（2）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×

3，3×

5，5×

7，7×

9，9×

11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an＝.

（3）数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.

（4）将原数列改写为×

9，×

99，×

999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝（10n－1）.

规律方法　根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：

（1）分式中分子、分母的各自特征；

（2）相邻项的联系特征；

（3）拆项后的各部分特征；

（4）符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.

【训练1】

（1）数列0，，，，…的一个通项公式为（　　）

A.an＝（n∈N*）B.an＝（n∈N*）

C.an＝（n∈N*）D.an＝（n∈N*）

（2）数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.

解析　

（1）注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.

（2）这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝（－1）n.

答案　

（1）C　

（2）（－1）n

考点二　由Sn与an的关系求an（易错警示）

【例2】

（1）若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

（2）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.

解析　

（1）当n＝1时，a1＝S1＝3×

12－2×

1＋1＝2；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3（n－1）2－2（n－1）＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.

故数列的通项公式为an＝

（2）由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，

两式相减，得an＝an－an－1，

∴当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2.

又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，

∴an＝（－2）n－1.

答案　

（1）　

（2）（－2）n－1

规律方法　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；

②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.

易错警示　在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.

【训练2】

（1）（2017·

河南八校一联）在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.

（2）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.

解析　

（1）依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列，an＝－2n－1.

（2）当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·

3n－1.

显然当n＝1时，不满足上式.

∴an＝

答案　

（1）－2n－1　

（2）

考点三　由数列的递推关系求通项公式

【例3】在数列{an}中，

（1）若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________.

（2）若a1＝1，an＝an－1（n≥2），则通项公式an＝________.

（3）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.

解析　

（1）由题意得，当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝2＋（2＋3＋…＋n）＝2＋＝＋1.又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1.

（2）法一　因为an＝an－1（n≥2），所以an－1＝·

an－2，…，a2＝a1，以上（n－1）个式子的等号两端分别相乘得an＝a1·

·

…·

＝＝.

法二　因为an＝·

a1＝·

1＝.

（3）设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2（an＋t），

即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.

故an＋1＋3＝2（an＋3）.

令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，

且＝＝2.

所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.

∴bn＝4·

2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.

答案　

（1）＋1　

（2）　（3）2n＋1－3

规律方法　

（1）形如an＋1＝an＋f（n）的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.

（2）形如an＋1＝an·

f（n）的递推关系式可化为＝f（n）的形式，可用累乘法，也可用an＝·

a1代入求出通项.

（3）形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为（an＋1＋x）＝p（an＋x）的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.

【训练3】

（1）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1（n∈N*），则数列{an}的通项公式an＝________.

（2）在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.

解析　

（1）由an＋2＋2an－3an＋1＝0，

得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an），

∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，

∴an＋1－an＝3×

2n－1，

∴n≥2时，an－an－1＝3×

2n－2，…，a3－a2＝3×

2，a2－a1＝3，

将以上各式累加得

an－a1＝3×

2n－2＋…＋3×

2＋3＝3（2n－1－1），

∴an＝3×

2n－1－2（当n＝1时，也满足）.

（2）原递推公式可化为an＋1＝an＋－，

则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，

a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，逐项相加得，an＝a1＋1－，故an＝4－.

答案　

（1）3×

2n－1－2　

（2）4－

[思想方法]

1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法（对于交错数列一般有（－1）n或（－1）n＋1来区分奇偶项的符号）；

已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.

2.强调an与Sn的关系：

an＝

3.已知递推关系求通项：

对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路：

（1）算出前几项，再归纳、猜想；

（2）利用累加或累乘法求数列的通项公式.

[易错防范]

1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f（n）和函数y＝f（x）的单调性是不同的.

2.数列的通项公式不一定唯一.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an等于（　　）

A.B.cos

C.cosπD.cosπ

解析　令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确.

答案　D

2.数列，－，，－，…的第10项是（　　）

A.－B.－

C.－D.－

解析　所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：

符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝（－1）n＋1·

，故a10＝－.

3.（2016·

保定调研）在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝（　　）

A.2n－1B.2n－1＋1

C.2n－1D.2（n－1）

解析　法一　由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2n－1.

法二　由题意知an＋1＋1＝2（an＋1），∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.

4.数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于（　　）

A.2n－1B.n2

C.D.

解析　设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，

当n≥2时，an＝＝.

5.数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝（　　）

A.7B.6C.5D.4

解析　依题意得（an＋2＋an＋1）－（an＋1＋an）＝[2（n＋1）－3]－（2n－3），即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝（a8－a6）＋（a6－a4）＝2＋2＝4.

二、填空题

6.若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝________.

解析　借助递推关系，则a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.

答案　

7.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1（n∈N*），则an＝________.

解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×

1＋1，因此an＝

8.（2017·

北京海淀期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0（n∈N*），又anan＋1＝Sn，则a3－a1＝________.

解析　因为anan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1，令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.

答案　1

三、解答题

9.数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.

（1）这个数列的第4项是多少？

（2）150是不是这个数列的项？

若是这个数列的项，它是第几项？

（3）该数列从第几项开始各项都是正数？

解　

（1）当n＝4时，a4＝42－4×

7＋6＝－6.

（2）令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9（舍去），即150是这个数列的第16项.

（3）令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1（舍）.

∴从第7项起各项都是正数.

10.已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

（1）求a2，a3；

（2）求{an}的通项公式.

解　

（1）由S2＝a2得3（a1＋a2）＝4a2，

解得a2＝3a1＝3.

由S3＝a3得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，

解得a3＝（a1＋a2）＝6.

（2）由题设知a1＝1.

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

整理得an＝an－1.

于是

a1＝1，

a2＝a1，

a3＝a2，

……

an－1＝an－2，

an＝an－1.

将以上n个等式两端分别相乘，

整理得an＝.

显然，当n＝1时也满足上式.

综上可知，{an}的通项公式an＝.

能力提升题组

20分钟）

11.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是（　　）

A.B.C.4D.0

解析　∵an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.

12.（2017·

石家庄质检）已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，则a2016的值为________.

解析　由题意得，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴数列{an}是周期为6的周期数列，而2016＝6×

336，∴a2016＝a6＝－1.

答案　－1

13.（2017·

太原模拟）已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1（n∈N*），则an＝________.

解析　由an－an＋1＝nanan＋1得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋（n－1）＝，又因为a1＝1，所以＝＋1＝，所以an＝.

14.（2016·

开封模拟）已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）.

（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.

解　

（1）∵an＝1＋（n∈N*，a∈R，且a≠0），

又a＝－7，∴an＝1＋（n∈N*）.

结合函数f（x）＝1＋的单调性，可知1>

a1>

a2>

a3>

a4，a5>

a6>

a7>

…＞an>

1（n∈N*）.

∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.

（2）an＝1＋＝1＋，

已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，

结合函数f（x）＝1＋的单调性，

可知5<

<

6，即－10<

a<

－8.

即a的取值范围是（－10，－8）.

第2讲　等差数列及其前n项和

最新考纲　1.理解等差数列的概念；

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；

4.了解等差数列与一次函数的关系.

1.等差数列的概念

（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

数学语言表达式：

an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数），或an－an－1＝d（n≥2，d为常数）.

（2）若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

（1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）d.

通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（m，n∈N*）.

（2）等差数列的前n项和公式

Sn＝＝na1＋d（其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项）.

3.等差数列的有关性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.

（1）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则有am＋an＝ap＋aq.

（2）等差数列{an}的单调性：

当d＞0时，{an}是递增数列；

当d＜0时，{an}是递减数列；

当d＝0时，{an}是常数列.

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列.

（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

4.等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n.

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）.

5.等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；

若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

（1）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　　）

（2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.（　　）

（3）已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列.（　　）

（4）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.（　　）

（5）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（　　）

解析　（4）若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.

（5）若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.

答案　

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）×

　（5）×

2.（2015·

重庆卷）在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于（　　）

A.－1B.0C.1D.6

解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×

2－4＝0，选B.

答案　B

3.（2017·

长沙模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3，S5＝15，则a2016＝________.

解析　在等差数列{an}中，由S3＝2a3知，3a2＝2a3，而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2016＝2016.

答案　2016

4.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为______.

解析　由题意知d＜0且即解得－1＜d＜－.

5.（必修5P68A8改编）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.

答案　180

考点一　等差数列基本量的运算

【例1】

（1）（2016·

全国Ⅰ卷）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）

A.100B.99C.98D.97

（2）（2016·

唐山模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.

解析　

（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.

（2）法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，

S4＝12，可得解得

即S6＝6a1＋15d＝30.

法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，

由S3＝6，S4＝12可得

解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.

答案　

（1）C　

（2）30

规律方法　

（1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

【训练1】（2015·

全国Ⅰ卷）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于（　　）

A.B.C.10D.12

解析　由S8＝4S4，得8a1＋×

1＝4×

，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝，故选B.

考点二　等差数列的判定与证明（典例迁移）

【例2】（经典母题）若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0（n≥2），a1＝.

（1）求证：

成等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式.

（1）证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，

又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列.

（2）解　由

（1）可得＝2n，∴Sn＝.

an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.

当n＝1时，a1＝不适合上式.

故an＝

【迁移探究1】将本例条件“an＋2SnSn－1＝0（n≥2），a1＝”改为“Sn（Sn－an）＋2an＝0（n≥2），a1＝2”，问题不变，试求解.

（1）证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn（Sn－an）＋2an＝0.

∴Sn[Sn－（Sn－Sn－1）]＋2（Sn－Sn－1）＝0，

即SnSn－1＋2（Sn－Sn－1）＝0.

即－＝.又＝＝.

故数列是以首项为，公差为的等差数列.

（2）解　由

（1）知＝，∴Sn＝，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝－

当n＝1时，a1＝2不适合上式，

【迁移探究2】已知数列{an}满足2an－1－anan－1＝1（n≥2），a1＝2，证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式.

解