高二数学-2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题.doc
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2015-2016学年下学期期中考试
高二数学（文科）试卷
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
一．填空题（本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上）
1．设全集，集合，，则▲ ．
出处：
07全国卷
考点：
集合的运算。
答案：
2．已知和都是命题，则“命题为真命题”是“命题为真命题”的▲条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要”）
考点：
命题及充分必要条件。
答案：
必要不充分
3.若复数是纯虚数，则实数的值为▲.
出处：
选修1-2P82复习题第6题改编
考点：
复数的运算。
答案：
4.满足的集合的个数为▲.
出处：
必修1P19本章测试第10题改编
考点：
集合的子集、真子集。
答案：
3
5.用反证法证明某命题时，对结论“自然数至少有1个奇数”的正确假设为“假设自然数▲”
答案：
没有奇数或全是偶数
6．若“”是假命题，则实数的取值范围为▲
出处：
选修1-1本章测试第5题改编
考点：
含有一个量词的命题的否定。
答案：
7．已知，若有且只有一个子集，则的范围是▲.
出处：
必修1P10练习第6题改编
考点：
集合的运算、空集的性质
答案：
8．已知集合，且，则▲.
出处：
2013湖北改编
考点：
集合元素的互异性
答案：
9．已知，则▲.
出处：
选修1-2P82复习题第11题
考点：
复数的运算或几何意义
答案：
1
10．给出以下命题：
①是“函数为偶函数的充要条件”；
②使；
③命题“若是锐角，则”的否命题
其中说法正确的是▲.
出处：
选修1-1习题1第4题习题3的第2题本章测试的第3题
考点：
充分必要条件、命题。
答案：
①②
11．已知正三角形的边长为，面积为，内切圆的半径为则，类比这一结论可知:
正四面体的底面的面积为，内切球的半径为，体积为，则▲.
考点：
类比推理面积相等—体积相等。
答案：
12．设函数的定义域为，若，则的取值范围为▲.
出处：
2015启东中学改编，
答案：
13.将正偶数排列如右表，其中第行第个数表示为，
例如，若，则▲.
2
46
81012
14161820
………..
答案：
60
14．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，。
给出如下四给结论:
①②③④“整数属于同一‘类’”的充要条件是“”。
其中正确结论的个数是▲.
出处：
2011福建改编。
答案：
3
二、解答题：
本大题共6小题，共90分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分14分）
已知，复数，求当为何值时，
（1）；
（2）是纯虚数；
（3）对应的点位于复平面的第二象限.
出处：
选修1-2P78第2题改编
考点：
复数的定义、几何意义。
15解：
（1）当且，……………2分
即时，；……………4分
（2）当且，……………6分
即时，是纯虚数；……………8分
（3）当，……………10分
即时，对应的点位于复平面的第二象限.……………14分
16．（本小题满分14分）
已知条件：
函数（，且）在其定义域上是减函数；条件：
函数的定义域为R。
如果“或”为真，试求的取值范围.
.解：
若为真，，且，在定义域内是增的，………2分
而是减函数，则；………6分
若为真，则恒成立.
记，则，………8分
所以的最小值为，故；………10分
于是“或”为真时，或.………14分
出处：
选修1-1本章测试第10题改编；
考点：
对数函数单调性、分段函数求最值、命题的真假.
17.用适当的方法证明下列不等式
（1）已知是正实数，证明不等式；
（2）求证：
当时，.
17.解:
（1）是正实数，，，………4分
，
当且仅当时等号成立。
………6分
（2），
只要证………8分
即要证，………10分
即要证，
即要证，………12分
这显然成立，所以当时，………14分
出处：
选修1-2习题2.2第2题
考点：
分析法证明不等式。
，
18.（本小题满分16分）
设是由一些实数构成的集合，若，则，且
（1）若，求；
（2）证明：
若，则；
（3）能否只有一个元素，若能，求出集合，若不能，说明理由.
18.解：
（1），，
………2分
………4分
（2），………8分
（3）假设集合只有一个元素，记，则………10分
即有且只有一个解，………12分
又因为
无实数解。
………14分
与有且只有一个实数解解矛盾。
所以假设不成立。
即集合不能只有一个元素。
………16分
19.（选修2-2课本第104页练习第3题改编）有如下结论：
“圆上一点处的切线方程为”，
（1）类比上述结论，求相应的在椭圆处的切
线方程（只写结论）
（2）过椭圆C：
的右准线l上任意一点M引椭圆C的
两条切线，切点为
①求证：
直线恒过一定点；
②当点在的纵坐标为1时，求的面积
解：
（1）切线方程为……………………2分
（2）设M
∵点M在MA上∴①同理可得②…………………………6分
由①②知的方程为…………8分
易知右焦点F（）满足③式，故恒过椭圆C的右焦点F（）……10分
（2）把的方程
∴……………………12分
又M到的距离………14分
∴△的面积……………………16分
20．（本小题满分16分）
设函数，且，
.求证：
（1）且；
（2）函数在区间（0,2）内至少有一个零点；
（3）设是函数的两个零点，则≤||<.
证明：
（1），………2分
又，又
，
………4分
（2）
①当时，
函数在区间内至少有一个零点。
………6分
②当时，………8分
函数在区间内至少有一个零点。
综上在区间内至少有一个零点。
………10分
（3）是函数的两个零点，则是方程的两根
，………12分
………14分
≤||<………16分
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