高考全国卷1理科数学试题及答案.doc

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2015年高考理科数学试卷全国卷1

1．设复数z满足=，则|z|=（）

（A）1（B）（C）（D）2

2．=（）

（A）（B）（C）（D）

3．设命题：

，则为（）

（A）（B）

（C）（D）

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312

5．已知M（）是双曲线C：

上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是（）

（A）（-，）（B）（-，）

（C）（，）（D）（，）

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:

“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:

积及为米几何?

”其意思为:

“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?

”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）

（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

7．设为所在平面内一点，则（）

（A）（B）

（C）（D）

8．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）

（A）（B）

（C）（D）

9．执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）

（A）5（B）6（C）7（D）8

10．的展开式中，的系数为（）

（A）10（B）20（C）30（D）60

11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）

（A）1（B）2（C）4（D）8

12．设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（）

（A）[-，1）（B）[-，）（C）[，）（D）[，1）

13．若函数f（x）=为偶函数，则a=

14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.

15．若满足约束条件，则的最大值为.

16．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.

17．（本小题满分12分）为数列{}的前项和.已知＞0，=.

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.

18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：

平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：

千元）对年销售量y（单位：

t）和年利润z（单位：

千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？

（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：

对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线C：

y=与直线（＞0）交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？

说明理由.

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=.

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线的切线；

（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，设函数，讨论h（x）零点的个数.

22．（本题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于E.

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：

DE是的切线；

（Ⅱ）若，求∠ACB的大小.

23．（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线:

=2，圆：

以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求，的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为,,求的面积.

24．（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

【答案解析】

1.【答案】A

【解析】由得，==，故|z|=1，故选A.

考点：

本题主要考查复数的运算和复数的模等.

2.【答案】D

【解析】原式===，故选D.

考点：

本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.

3.【答案】C

【解析】:

，故选C.

考点：

本题主要考查特称命题的否定

4.【答案】A

【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.

考点：

本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式

5.【答案】A

【解析】由题知，，所以==，解得，故选A.

考点：

双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

6.【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.

考点：

圆锥的性质与圆锥的体积公式

7.【答案】A

【解析】由题知=，故选A.

考点：

平面向量的线性运算

8.【答案】D

【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.

考点：

三角函数图像与性质

9.【答案】C

【解析】执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，

执行第2次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，

执行第3次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，

执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，

执行第5次，S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，

执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，

执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.

考点：

本题注意考查程序框图

10.【答案】C

【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选C.

考点：

本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.

11.【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16+20，解得r=2，故选B.

考点：

简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

12.【答案】D

【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.

因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，

当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.

考点：

本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

13.【答案】1

【解析】由题知是奇函数，所以=，解得=1.

考点：

函数的奇偶性

14.【答案】

【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.

考点：

椭圆的几何性质；圆的标准方程

15.【答案】3

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

考点：

线性规划解法

16.【答案】（，）

【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.

考点：

正余弦定理；数形结合思想

17.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.

试题解析：

（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，

当时，==，即，因为，所以=2，

所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，

所以数列{}前n项和为==.

考点：

数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.

由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，

又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.

在Rt△FDG中，可得FG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，

∴，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0,），F（－1,0，），C（0，，0