A.E（ξ）随着x的增大而增大,D（ξ）随着x的增大而增大
B.E（ξ）随着x的增大而减小,D（ξ）随着x的增大而增大
C.E（ξ）随着x的增大而减小,D（ξ）随着x的增大而减小
D.E（ξ）随着x的增大而增大,D（ξ）随着x的增大而减小
答案 C
2.（2018河南南阳一中第七次考试,14）已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E（ξ）= .
答案
炼技法提能力
【方法集训】
方法1 离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法
（2018天津,16,13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
（ii）设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
解析 本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
（1）由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P（X=k）=（k=0,1,2,3）.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=.
（ii）设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.
由（i）知,P（B）=P（X=2）,P（C）=P（X=1）,
故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=.
所以,事件A发生的概率为.
导师点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:
（1）考察对象分两类;
（2）已知各类对象的个数;
（3）从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
方法2 利用期望与方差进行决策的方法
（2020届四川成都双流中学10月月考,19）甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销5天.两品牌提供的返利方案如下:
甲品牌无固定返利,卖出10件以内（含10件）的产品,每件产品返利5元,超出10件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利20元,且每卖出一件产品再返利3元.经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下:
甲
乙
6 6 7
0
6 9
2 0
1
3 2 2
（1）现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率;
（2）若将频率视作概率,回答以下问题:
①记甲品牌的日返利额为X（单位:
元）,求X的分布列和数学期望;
②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为商场做出选择,并说明理由.
解析 本题考查古典概型概率的计算,随机变量的分布列和数学期望的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.
（1）解法一:
设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则
P（A）==.
解法二:
设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则事件为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量都不低于10”,则P（A）=1-P（）=1-=1-=.
（2）①设甲品牌的日销售量为随机变量ξ,则甲品牌的日返利额X（单位:
元）与ξ的关系为
X=当ξ=6时,X=30;当ξ=7时,X=35;当ξ=10时,X=50;当ξ=12时,X=64.
故X的分布列为
X
30
35
50
64
P
所以E（X）=30×+35×+50×+64×=41.8（元）.
②解法一:
设乙品牌的日销售量为随机变量η,乙品牌的日返利额Y（单位:
元）与η的关系为Y=20+3η,且η的分布列为
η
6
9
12
13
P
所以E（η）=6×+9×+12×+13×=10.4,
则E（Y）=E（3η+20）=3E（η）+20=3×10.4+20=51.2.
因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售.
解法二:
乙品牌的日返利额Y（单位:
元）的取值集合为{38,47,56,59},分布列为
Y
38
47
56
59
P
则E（Y）=38×+47×+56×+59×=51.2.
因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售.
【五年高考】
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 离散型随机变量的分布列
1.（2019课标Ⅰ,21,12分）为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:
对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
（1）求X的分布列;
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi（i=0,1,…,8）表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1,2,…,7）,其中a=P（X=-1）,b=P（X=0）,c=P（X=1）.假设α=0.5,β=0.8.
（i）证明:
{pi+1-pi}（i=0,1,2,…,7）为等比数列;
（ii）求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
解析 本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识.
（1）X的所有可能取值为-1,0,1.
P（X=-1）=（1-α）β,P（X=0）=αβ+（1-α）（1-β）,
P（X=1）=α（1-β）.
所以X的分布列为
X
-1
0
1
P
（1-α）β
αβ+（1-α）（1-β）
α（1-β）
（2）（i）证明:
由
（1）得a=0.4,b=0.5,c=0.1.
因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1（pi+1-pi）=0.4（pi-pi-1）,即pi+1-pi=4（pi-pi-1）.又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}（i=0,1,2,…,7）是公比为4,首项为p1的等比数列.
（ii）由（i）可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=（p8-p7）+（p7-p6）+…+（p1-p0）=p1.
由于p8=1,故p1=,
所以p4=（p4-p3）+（p3-p2）+（p2-p1）+（p1-p0）=p1=.
p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.
试题分析 本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.
2.（2017课标Ⅲ,18,12分）某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位:
℃）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25）,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
[30,35）
[35,40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位:
瓶）的分布列;
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位:
元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位:
瓶）为多少时,Y的数学期望达到最大值?
解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望.
（1）由题意知,X所有可能取值为200,300,500,
由表格数据知
P（X=200）==0.2,P（X=300）==
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