版《5年高考3年模拟》A版理科数学112 离散型随机变量及其分布列均值与方差.docx

1、版5年高考3年模拟A版理科数学112 离散型随机变量及其分布列均值与方差11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.离散型随机变量的分布列(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题2019课标,13,5分离散型随机变量的均值计算利用频率估计概率2019课标,21,12分求离散型随机变量的分布列数列2018课

2、标,20,12分利用期望进行决策二项分布的均值、导数2017课标,18,12分离散型随机变量的分布列、期望利用频率估计概率2.离散型随机变量的均值与方差2016课标,19,12分求离散型随机变量的分布列,利用期望进行决策利用相互独立事件的概率公式求概率分析解读本节内容常以实际问题为背景,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,解题时要熟悉相关公式的应用.考查学生的数据分析能力和数学运算能力.多以解答题的形式呈现,分值约为12分.破考点 练考向【考点集训】考点一离散型随机变量的分布列(2019广东汕头一模,5)已知离散型随机变量X的分布列为X0123Pm则X的数学期望E(X)=()A. B.1

3、C. D.2答案B考点二离散型随机变量的均值与方差1.(2018浙江重点中学模拟,8)已知随机变量满足P(=0)=,P(=1)=x,P(=2)=-x,若0x,则()A.E()随着x的增大而增大,D()随着x的增大而增大B.E()随着x的增大而减小,D()随着x的增大而增大C.E()随着x的增大而减小,D()随着x的增大而减小D.E()随着x的增大而增大,D()随着x的增大而减小答案C2.(2018河南南阳一中第七次考试,14)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为,则E()=.答案炼技法 提能力【方法集训】方法1离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法(2

4、018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1

5、)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+

6、P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.导师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.方法2利用期望与方差进行决策的方法(2020届四川成都双流中学10月月考,19)甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先进场试销5天.两品牌提供的返利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返利5元,超出10件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利20

7、元,且每卖出一件产品再返利3元.经统计,两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下:甲乙667069201322(1)现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率;(2)若将频率视作概率,回答以下问题:记甲品牌的日返利额为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为商场做出选择,并说明理由.解析本题考查古典概型概率的计算,随机变量的分布列和数学期望的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.(1)解法一:设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天

8、低于10”,则P(A)=.解法二:设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则事件为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量都不低于10”,则P(A)=1-P()=1-=1-=.(2)设甲品牌的日销售量为随机变量,则甲品牌的日返利额X(单位:元)与的关系为X=当=6时,X=30;当=7时,X=35;当=10时,X=50;当=12时,X=64.故X的分布列为X30355064P所以E(X)=30+35+50+64=41.8(元).解法一:设乙品牌的日销售量为随机变量,乙品牌的日返利额Y(单位:元)与的关系为Y=20+3,且的分布列为691213

9、P所以E()=6+9+12+13=10.4,则E(Y)=E(3+20)=3E()+20=310.4+20=51.2.因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售.解法二:乙品牌的日返利额Y(单位:元)的取值集合为38,47,56,59,分布列为Y38475659P则E(Y)=38+47+56+59=51.2.因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙品牌长期销售.【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一离散型随机变量的分布列1.(2019课标,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲

10、、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲

11、药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.(i)证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解析本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创

12、新意识.(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-).所以X的分布列为X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6

13、)+(p1-p0)=p1.由于p8=1,故p1=,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=.p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.试题分析本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.2.(2017课标,18,12分)某超市计划按月订购一种

14、酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)=0.2,P(X=300)=