高二数学选修1-2第三章复数测试题.doc

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高二数学同步测试选修1-2

（第三章）复数

说明：

本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．

1．方程2z+|z|=2+6i的解的情况是 （）

A．没有解 B．只有一解 C．有两解 D．多于两解

2．已知z=x＋yi（x，y∈R），且，则z= （）

A．2＋i B．1＋2i C．2＋i或1＋2i D．无解

3．下列命题中正确的是 （）

A．任意两复数均不能比较大小； B．复数z是实数的充要条件是z=；

C．复数z是纯虚数的充要条件是z+=0； D．i+1的共轭复数是i－1；

4．设，则集合中元素的个数是 （）

A．1 B．2 C．3 D．无穷多个

5．使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m （）

A．1 B．0 C．3 D．复数无法比较大小

6．设复数，则满足等式的复数对应的点的轨迹是 （）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

7．若非零复数满足,则的值是 （）

O

x

B

C

y

A

A．1 B． C． D．

8．如图所示，复平面内有RtΔABC，其中∠BAC=90°，点A、B、C分别对应复数，且=2，则z=（）

A． B．

C． D．

9．复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|<|z|，则实数a的取值范围是 （）

A．－11 C．a>0 D．a<－1或a>1

10．如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______．

A．1 B． C．2 D．

二、填空题：

请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．

11．已知关于x的实系数方程x2－2ax+a2－4a+4=0的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，则a的值为 ．

12．已知（2x－1）+i=y－（3－y）i，其中x,y∈R，求x=，y=．

13．i＋i2＋i3+……+i2005=．

14．已知x、y、t∈R，t≠－1且t≠0，求满足x＋yi=时，点（x,y）的轨迹方程

．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．

15．（12分）设|z|＝5，|z|＝2,|z－|＝，求的值．

16．（12分）当m为何实数时，复数z＝+（m2+3m－10）i；

（1）是实数；

（2）是虚数；（3）是纯虚数．

17．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z:

（1）是实数，且．

（2）z的实部和虚部都是整数．

18．（12分）设复数|z－i|=1,且z¹0,z¹2i.又复数w使为实数，问复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，并说明理由．

19．（14分）设虚数z1,z2，满足.

（1）若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1,z2．

（2）若z1=1+mi（i为虚数单位，m∈R）,,复数w=z2+3,求|w|的取值范围．

20．（14分）已知：

A、B是ABC的两个内角，

其中、为相互垂直的单位矢量．若||=，试求tanA·tanB的值．

参考答案

一、1．B；

2．C；解：

本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

∵，∴，∴，

解得或,∴z＝2＋i或z＝1＋2i．

诠释：

本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）

3．B；

4．C；解析：

∵∴，，∴集合中的元素为，选C．；

5．C；解：

此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10,且虚数不能比较大小，

∴，解得，∴m=3.

当m＝3时，原不等式成立．

诠释：

本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件．

6．D；7．A；8．C；

9．A；利用复数模的定义得<，选A；；

10．A；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；

二、11．；12．x=,y=4；

13．i；解：

此题主要考查in的周期性．

i＋i2＋i3+……+i2005=（i+i2+i3+i4）+……+（i2001+i2002+i2003＋i2004）＋i2005

=（i－1－i+1）+（i－1－i+1）+……+（i－1－i+1）+i＝0＋0＋……＋0+i＝i.

或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）

诠释：

本题应抓住in的周期及合理分组．

14．xy=1；解：

此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．

∵x＋yi=，∴，∴xy=1,

∴点（x，y）的轨迹方程为xy＝1，它是以x轴、y轴为对称轴，中心在（0，0）的等轴双曲线．

三、

15．【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．

【解】如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示．

yA

D

OBx

C

由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：

cos∠AOD＝＝

∴＝（±ｉ）＝2±ｉ

yA

D

Ox

【另解】设z＝、＝如图所示．则||＝，且

cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，

所以＝（±ｉ）＝2±ｉ，即＝2±ｉ．

【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼．一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，

16．解：

此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即，

解得m=2，∴m=2时，z为实数．

（2）z为虚数，则虚部m2+3m－10≠0，即，

解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时，z为虚数．，

解得m=－,∴当m=－时，z为纯虚数．

诠释：

本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．

17．分析与解答：

设z=a+bi（a,b∈R,且a2+b2≠0）.

则

由

（1）知是实数，且,

∴即b=0或a2+b2=10.

又*

当b=0时，*化为无解．

当a2+b2=10时，*化为1<2a≤6,∴.

由

（2）知a=1,2,3.

∴相应的b=±3,±（舍），±1，

因此，复数z为：

1±3i或3±i.

此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法．

18．分析与解答：

设z=a+bi,w=x+yi（a,b,x,y∈R）.

由题z≠0,z≠2i且|z－i|=1,

∴a≠0,b≠0且a2+b2－2b=0.

已知u为实数，

∴，

∵a≠0,∴x2+y2－2y=0即x2+（y－1）2=1.

∴w在复平面上所对应的点Z的集合是以（0,1）为圆心，1为半径的圆．

又∵w－2i≠0,∴除去（0,2）点．

此题中的量比较多，由于是求w对应点的集合，所以不妨设w为x+yi（x,y∈R）,z=a+bi（a,b∈R）.关于z和w还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意．

19．分析与解答：

（1）∵z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，

可设z1=a+bi（a,b∈R且b≠0）,则z2=a－bi,

由得（a+bi）2=a－bi

即：

a2－b2+2abi=a－bi

根据复数相等，

∵b≠0解得：

或，

∴或．

（2）由于，z1=1+mi,w=z2+3,

∴w=（1+mi）2+3=4－m2+2mi.

∴,

由于且m≠0,可解得0

令m2=u,,

在u∈（0,1）上，（u－2）2+12是减函数，∴.

复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容，并且还可以与其它的数学知识相结合．

20．讲解：

从化简变形||入手．

||2=（）2=（）2

=

=，

=，

cos（A－B）=cos（A+B）．

4cosA·cosB+4sinA·sinB=5cosA·cosB–5sinA·sinB，

9sinA·sinB=cosA·cosB．

又A、B是ABC的内角，

cosA·cosB，tanA·tanB=．

说明：

本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强．