高二导数的概念提高.doc

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个性化教学辅导教案

学科

数学

年级

高二

任课教师

2018年

春季班

第周

课题

导数的概念

教学

目标

1、理解导数的概念及导数的几何意义；

2、掌握定义法求函数的导数及曲线的切线方程的求解问题。

重点

导数的概念及导数的几何意义

难点

曲线的切线方程问题

教学过程

一、知识总结：

⑴函数的平均变化率：

一般地，函数，是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可以用式子表示，我们把这个式子称为函数从到的平均变化率。

习惯上用表示，即。

类似的，，于是平均变化率可以表示为。

注意：

其中的和称为改变量，既可以为“增量”也可以为“减量”，不能把它简单的看作是增加量。

相对于为“增量”，相对于为“减量”。

⑵函数的瞬时变化率：

函数在处的瞬时变化率记为。

其中，表示：

当无限趋近于时，无限趋近的值。

可以存在且不一定唯一，也可以不存在。

⑶导数：

设函数在区间上有定义，且，若无限趋近于无限趋近于0时，平均变化率无限趋近于一个常数，则是函数在处的瞬时变化率，我们称函数在处可导，并称该常数为函数在处的导数，记作：

或。

即：

。

⑷导函数：

如果函数在开区间上有定义且在区间内的每一点处都是可导的，则称函数在区间内可导，其每一个点处的导数构成一个新的函数，我们称它为函数的导函数，简称导数。

如果函数在定义域内每一点都是可导的，则称函数为可导函数。

⑸导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义是曲线=在点处的切线的斜率。

也就是说，曲线=在点处的切线的斜率满足：

。

相应地，利用直线的点斜式可以得到切线方程为：

或。

二、精讲精练：

例1、若。

求下列各式的值。

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

练习1：

在处可导，则（）

A.与、有关B.仅与有关，而与无关

C.仅与有关，而与无关D.与、均无关

练习2：

在处可导，则等于（）

A.B.C.D.

练习3：

函数可导，则等于（）

A.不存在B.C.D.

例2、利用两种不同的方法求函数在处的导数。

练习1：

求下列函数的导数。

（Ⅰ），；（Ⅱ），；

（Ⅲ），；（Ⅳ），。

练习2：

已知函数，则_____________；____________。

例3、已知一物体的运动方程为，求此物体在和时的瞬时速度。

练习1：

将半径为的球加热，若球的半径增加，则球的体积增加约等于（）

A.B.C.D.

练习2：

已知成本与产量的函数关系为，则当产量为30时，边际成本为__________。

例4、已知曲线上的一点。

（Ⅰ）求过点的切线的倾斜角；（Ⅱ）求过点的切线方程。

练习1：

在曲线上求出满足下列条件的点的坐标。

（Ⅰ）过点的切线平行于直线；（Ⅱ）过点的切线的倾斜角为。

练习2：

设点是曲线上的任意一点，是曲线在点处的切线的斜率。

（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求当取最小值时的切线方程。

练习3：

下列三个命题：

其中正确的命题是_______。

①若不存在，则曲线=在点处没有切线；

②若曲线=在点处有切线，则必存在；

③若不存在，则曲线=在点处的切线的斜率不存在。

例5、已知曲线的切线经过点，求该切线的方程。

练习1：

函数的图象与直线相切，则（）

练习2：

已知曲线的一条切线为，则______________。

练习3：

已知函数的图象在点处的切线方程是，则____。

练习4：

如果曲线的一条切线与直线平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为_____________________。

三、课后练习：

⒈当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数（）

A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x1处的导数

C．在区间[x0，x1]上的导数D．在x处的平均变化率

⒉对于函数（c为常数），则为（）

A．0B．1C．cD．不存在

⒊y＝x2在x＝1处的导数为（）

A．2xB．2C．2＋ΔxD．1

⒋在导数的定义中，自变量的增量Δx满足（）

A．Δx<0B．Δx>0C．Δx＝0D．Δx≠0

⒌一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s’（5）＝42（m/s），其实际意义是（）

A．物体5秒内共走过42米B．物体每5秒钟运动42米

C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒

D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米

⒍已知函数f（x）＝x3－x在x＝2处的导数为f’

（2）＝11，则（）

A．f’

（2）是函数f（x）＝x3－x在x＝2时对应的函数值

B．f’

（2）是曲线f（x）＝x3－x在点x＝2处的割线斜率

C．f’

（2）是函数f（x）＝x3－x在x＝2时的平均变化率

D．f’

（2）是曲线f（x）＝x3－x在点x＝2处的切线的斜率

⒎函数y＝x＋在x＝1处的导数是（）

A.2B.1C.0D.-1

⒏设函数，则等于（）

A.B.C.D.

⒐下列各式中正确的是（）

A.B.

C.D.

⒑设函数可导，则等于（）

A.f’

（1）B.不存在C.f’

（1）D.以上都不对

⒒曲线y＝2x－x3在点（1，1）处的切线方程为_______________。

⒓过点P（－1,2）且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M（1,1）处的切线平行的直线方程是________________。

⒔已知自由落体的运动方程为s＝gt2，求：

（Ⅰ）落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；（Ⅱ）落体在t0时的瞬时速度；

（Ⅲ）落体在t0＝2s到t1＝2.1s这段时间内的平均速度；（Ⅳ）落体在t＝2s时的瞬时速度。

⒕求曲线y＝x2上过哪一点的切线满足下列要求。

（Ⅰ）平行于直线y＝4x－5；（Ⅱ）垂直于直线2x－6y＋5＝0；（Ⅲ）与x轴成135°的倾斜角。

⒖已知抛物线f（x）＝ax2＋bx－7过点（1,1），且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值。

课前小测

⒈在处可导，则等于（）

A.B.C.D.

⒉已知函数，则_____________；____________。

⒊将半径为的圆饼加热，若圆饼的半径增加，则圆饼的面积增加约等于___________。

⒋设点是曲线上的任意一点，是曲线在点处的切线的斜率。

（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求当取最小值时的切线方程。

⒌已知曲线。

（Ⅰ）求曲线上横坐标为1的点处的切线方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中的切线与曲线是否有其它公共点，如果没有，请说明理由，如果有，请求出经过该点的切线方程。

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