高校自主招生仿真模拟试题及答案2word.doc
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数学模拟试题（第二套）
一、选择题
1.设，复数的实部为，则其虚部为（）
A.B.C.D.
2.在正四棱锥中,,分别为,的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为,则异面直线与所成角的余弦为（）
A.B.C.D.
3.椭圆的内接三角形的面积的最大值为（）
A.3B.C.D.
4.在中，，则的最大值为（）
A.B.C.D.
5.从3个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到（）种面值.
A.42B.43C.44D.45
6.在中，在上取点使得，在上取点使得，在上取点使得，与交于点，与交于点，与交于点，则（）
A.B.C.D.
7.5条直线最多把平面分成（）部分
A.13B.14C.15D.16
8.为过抛物线焦点的弦，为坐标原点，且，为抛物线准线与轴的交点，则的正切值为（）
A.B.C.D.1
9.正方形和正方形有两个公共顶点，，他们的位置可用矩阵来表示，变换将正方形逆时针旋转，即将分别移到的位置.变换将正方形逆时针旋转，即将分别移到的位置.则下列将各顶点从原来的位置变为的最短的变换序列是（）
A.B.C.D.
10.一个圆柱形试杯，杯底的厚度不计，空杯时重心在离杯底处，盛满水时水的重量等于试杯的重量，则当装水的高度与试杯的高度之比为（）时重心最低.
A.B.C.D.
二、解答题
11.在中，.求证：
.
12.长度为2的线段的端点在抛物线上滑动.求其中点的轨迹方程.
13.己知，，为正数.求证：
.
14.,为抛物线上任意两点，过两点的切线交点为.求证:
.
15.数列满足,为前项之和.
（1）若，求证:
为等比数列，并求公比.
（2）若，且存在，求及.
答案
一、选择题
二、，，，，，虚部.答案：
C
三、解法一:
设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为，得高为.以底面的中心为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，.设所成的角为，则.答案：
C
解法二:
设底西边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为，得高为.我们平移与在一起.设的中点为，的中点为.于是，
因为，所以，.在中，而，，.由余弦定理，求出.所以在中，由余弦定理求出.答案：
C
解法三：
另一种方法平移与在一起，即点移到点.设点移到点，则，在中，由余弦定理求出.答案:
C
四、将椭圆沿轴压缩一半，我们知道圆内接正三角形面积最大，，从而椭圆的内接三角形的面积.答案：
D
五、利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，，，.而
所以，.
因为，，，
所以.答案：
D
六、从1分到56分中不能得到的有1，3，8，l3，…，48，53，55，从3到53是公差为5的等差数列，所以共43种.答案:
B
七、作，则，而，故，，所以，.类似的方法可求出，于是上的三条线段之比.同样，可得，上的三条线段之比也都是.，，，所以.答案：
D
八、解略.答案：
D
九、解法一：
焦点，，方程.与抛物线方程联立，解得，，于是，，.答案：
C
解法二：
如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：
在直角梯形中，，，，，，求.
.类似的，有，，.答案：
C
十、经检验A、B都能实现所要求的变换，但A较短.答案：
A
十一、设试杯的高为1，重量为1，重心最低时在水面上，设这时的高度为，则，，.答案：
D
7.解答题
11.利用正弦定理，将条件中边的关系化为角的关系，，，，.而，所以，，，.
12.设，，，的斜率为，则的方程为，代入抛物线方程，得.，而是的中点，.再代入，得，，.故，，所以的轨迹方程为，即.
13.用，，表示三个分母，则
，，
即要证.
因为，即，而由公式，得，，从而得证.
14.证法一：
设，，，则的方程，即，的方程.联立，得，.
于是
证法二：
设准线为，作，，则，，平分，平分，则，分别为，的垂直平分线，即是的外心.因此本题可以转化为，在中，外心为，的垂直平分线交的垂线于点，的垂直平分线交的垂线于点，求证.证明过程如下：
设的中点为，在中，.同理.故.
15.
（1）由题意得，即，.
三、由，；
，.
因为存在，，则.
所以.
故，.
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