新教材新人教A版必修一 函数的零点及应用 学案Word格式文档下载.docx

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例3设函数y＝x3与y＝（

）x－2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）

A．（0，1）B．（1，2）

C．（2,3）D．（3，4）

解析y＝x3与y＝（

）x－2的图象的交点的横坐标即为x3＝（

）x－2的根，即f（x）＝x3－（

）x－2的零点,f

（1）＝1－（

）－1＝－1＜0,f

（2）＝23－（

）0＝7＞0，

∴f（x）的零点在（1,2）内．

答案B

评注本题考查函数零点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想，体现对运算能力和理解能力的要求．

4．利用函数零点的存在性求参数范围

例4关于x的二次方程x2＋（m－1）x＋1＝0在[0,2］上有解，求实数m的取值范围．

解设f（x）＝x2＋（m－1）x＋1，x∈［0,2]，

又∵f（0）＝1>

0,由题意得

①

或②

解①得－3≤m≤－1，解②得m<

－3。

即m≤－1.

所以m的取值范围为m≤－1.

评注本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求．

2零点问题考向探究

函数零点就是方程的根，这为我们提供了一个通过函数性质确定方程根的途径,是近几年课标高考命题的热点．本节结合实例归纳有关函数零点问题的几类热点题型．

一、判断函数零点的存在性

例1已知函数f（x）＝2x3－4x2－3x＋1，那么在区间长度为1的条件下，下列叙述不正确的是（）

A．函数在区间（－1,0）内有零点

B．函数在区间（0,1）内有零点

C．函数在区间（1,2）内有零点

D．函数在区间（2，3）内有零点

分析根据选项提供的区间来看,需要计算f（－1），f（0），f

（1），f

（2），f（3）的值，然后看相邻两个函数之间的符号关系，进而确定函数零点的所在区间．

解析因为f（－1）＝－2<

0，f（0）＝1>

0，f

（1）＝－4〈0，f

（2）＝－5〈0，f（3）＝10>

0，

所以f（－1）·

f（0）<

0,f（0）·

f

（1）〈0,

f

（2）·

f（3）〈0.

又因为一个三次方程最多有三个实根，

所以函数f（x）＝2x3－4x2－3x＋1在区间（－1,0），（0，1），（2，3）内各有一个零点．

答案C

评注由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断,因此通过找全函数的可能存在的零点，用排除法找到正确答案．

二、判断函数零点所在的大致区间

例2函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（）

A．（－2，－1）B．（－1,0）

C．（0，1）D．（1，2）

解析因为f（－1）＝

－3＜0，f（0）＝1＞0，所以f（x）在区间（－1,0）上存在零点．

评注若f（a）·

f（b）〈0，且f（x）在[a，b］上连续,则y＝f（x）在区间（a,b）内一定有零点，但要注意，若f（a）·

f（b）≥0，并不能证明f（x）在（a，b）内没有零点。

3解读二分法

“二分法”是现行教材中一个新增内容,它的主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图象交点的横坐标等．在学习的过程中,我们应重视从本质上理解和掌握“二分法”的实质，合理准确地使用“二分法”解题．

一、定义

对于在区间[a,b]上连续不断且f（a）·

f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．

二、适用条件

若用“二分法”求函数y＝f（x）零点的近似值,必须具备两个条件：

①函数y＝f（x）在区间［a，b]上图象要连续不断．例如函数y＝

图象不连续，要求它在［0，3］上零点的近似值，区间的中点1。

5根本就不在定义域内，不能用“二分法”；

②必须满足f（a）·

f（b）＜0，这说明y＝f（x）在区间（a，b）上一定有零点,否则若f（a）·

f（b）＞0，则y＝f（x）在区间（a，b）上不能保证有无零点，不能用“二分法”．

三、用二分法求函数零点近似值的一般步骤

给定精确度ε，用二分法求函数f（x）的零点近似值的步骤如下：

1．确定区间［a，b］,验证f（a）·

f（b）＜0,给定精确度ε；

2．求区间（a，b）的中点c；

3．计算f（c）；

（1）若f（c）＝0，则c就是函数的零点；

（2）若f（a）·

f（c）＜0，则令b＝c（此时零点x0∈（a，c））;

（3）若f（c）·

f（b）＜0，则令a＝c（此时零点x0∈（c，b））．

4．判断是否达到精确度ε：

即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；

否则重复步骤2~4。

四、二分法的优、缺点

二分法的优点在于其解题思想简单易懂，即为“取区间中点，层层逼近零点”的原则,其体现了过程的机械性和简单性．缺点在于其求解过程中计算量较大，必要时要用到计算器，计算要求准确性高，可谓是“一步走错则全盘皆输”．

例求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解．（精确度0。

1）

分析先利用函数图象直观得到某根所在的区间．

解设f（x）＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示．

∵f

（2）＝－1＜0,f（3）＝2＞0，∴在区间（2，3）上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1,取2和3的中间数2.5，

∵f（2。

5）＝0.25＞0,所以x1∈（2,2.5），

再取2与2.5的中间数2.25，

因为f（2.25）＝－0.4375＜0,所以x1∈（2.25,2.5），

如此继续下去，得f（2.375）＜0,f（2.4375）＞0，

则x1∈（2。

375,2.4375），

∵｜2。

4375－2.375｜＝0.0625〈0。

1。

∴此方程大于零的近似解为x1≈2。

4375.

评注运用二分法的前提是先判断某根所在的大概区间．

4函数与方程,唇齿相依

函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决．

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程,通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决．

方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f（x）（如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f（x）＝ax2＋bx＋c,即y＝f（x）的形式），当y＝0时，就转化为方程f（x）＝0，也可以把函数式y＝f（x）看作二元方程y－f（x）＝0,函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．

一、判断方程解的存在性

例1已知函数f（x）＝3x3－2x2＋1，判断方程f（x）＝0在区间［－1,0］内有没有实数解？

分析可通过研究函数f（x）在［－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．

解因为f（－1）＝3×

（－1）3－2×

（－1）2＋1＝－4<

f（0）＝3×

03－2×

02＋1＝1>

0,所以f（－1）·

f（0）〈0。

又因为函数f（x）＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，

所以f（x）在[－1,0］内有零点，即方程f（x）＝0在区间［－1,0]内有实数解．

评注要判断f（x）＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f（x）的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方,另一点在x轴下方即可．

二、确定方程根的个数

例2若f（x）＝ax3＋ax＋2（a≠0）在［－6，6]上满足f（－6）>

1,f（6）<

1，则方程f（x）＝1在[－6，6］内的解的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．

解析设g（x）＝f（x）－1，则由f（－6）〉1，f（6）<

1

得［f（－6）－1]［f（6）－1]〈0，即g（－6）g（6）<

0。

因此g（x）＝f（x）－1在（－6,6）上有零点．

由于g（x）＝ax3＋ax＋1（a≠0），

易知当a〉0时g（x）单调递增；

当a<

0时,g（x）单调递减,

即函数g（x）为单调函数，故g（x）仅有一个零点．

因此方程f（x）＝1仅有一个根．故选A。

答案A

评注在区间［a，b］上单调且图象连续的函数y＝f（x），若f（a）·

f（b）<

0，则函数y＝f（x）的图象在（a,b）内有唯一的零点．

三、求参数的取值范围

例3已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2，0]上存在x0使f（x0）＝0，则实数m的取值范围是________．

分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题,最后通过不等式求得m的范围．

解析因为一次函数f（x）在［－2，0］上存在x0使f（x0）＝0，

即函数f（x）在［－2，0]内有一个零点，

所以f（－2）f（0）≤0。

即（－4m＋4）（0＋4）≤0，解得m≥1.

答案m≥1

评注本题对方程实根的研究转化为对一次函数f（x）在［－2，0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程利用了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．

例4已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1,求实数k的取值范围．

分析若直接利用求根公式解题,则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f（x）＝2kx2－2x－3k－2,则由根的分布,函数f（x）的图象只能如图所示。

对应的条件是

或

解出即可．

解令f（x）＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f（x）＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需

即

解得k〉0或k〈－4.

故k的取值范围是k>

0或k〈－4.

评注本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．

5函数应用问题“讲”与“练”

讲解一求函数模型

例1某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件,若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少

t（t＞0）万件．请将税金收入表示为征收附加税的函数．

解设每年销售量为x万件,则每年销售收入为250x万元，征收附加税为y＝250x·

＝

tx。

依题意，知x＝40－

t＞0,即t＜25.

故所求的函数关系式为y＝

×

t＝－4t2＋100t（0＜t＜25）．

评注在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求．

练习1将进货单价为70元的商品按100元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少15个，求利润y与每个商品涨价x元之间的函数关系式．

答案y＝－15x2＋50x＋15000

讲解二函数模型的选用

例2某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q（万元）与上市时间t（天）的关系如下表所示：

种植成本Q（万元）

150

100

上市时间t（天）

50

模拟函数可以选用二次函数Q＝a（t－150）2＋b（a，b为常数，且a≠0）,或一次函数Q＝kt＋m（k，m为常数,且k≠0）．已知种植成本Q＝112。

5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？

并说明理由．

分析根据题目给定的两组Q,t的值，可分别求出模拟函数中的未知量a,b,k,m.

解设f（t）＝a（t－150）2＋b（其中a,b为常数，a≠0），

g（t）＝kt＋m（k≠0）．

由已知，得

所以

解得

所以f（t）＝

（t－150）2＋100,g（t）＝－

t＋175.

因为f（200）＝

（200－150）2＋100＝112.5,

g（200）＝－

200＋175＝75，

所以选用f（t）＝

（t－150）2＋100作为模拟函数较好．

评注本题不能凭空下结论，而要通过具体计算得到．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学化．

练习2现有一组数据如下表所示：

x

2

3

…

y

1.5

3。

51

7.5

其中最能近似地表达这些数据规律的函数是（）

A．y＝2x－1B．y＝x2－1

C．y＝2x－

D．y＝x3－x＋1

讲解三转化为熟悉的函数模型

例3有A，B两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是M（万元）和N（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式:

M＝

x，N＝

今有4万元资金投入经营A，B两种商品．为获得最大利润，应分别对A，B两种商品的资金投入多少万元？

解设对A种产品投资x万元,则对B种产品投资（4－x）万元．

于是获得总利润y＝

x＋

.

由

得0≤x≤4.

令t＝

（0≤x≤4），则x＝4－t2（0≤t≤2）．

所以y＝

（4－t2）＋

t＝－

2＋

（0≤t≤2）．

于是，当t＝

时，ymax＝

（万元）．

此时，x＝4－t2＝

＝1.75（万元），4－x＝2。

25（万元）．

故为了获得最大利润，对A种商品的资金投入为1。

75万元，对B种商品的资金投入为2。

25万元．

练习3某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元;

每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？

并求出最大利润．

答案安排生产童装10天,生产西服20天,可获得最大利润，最大利润为124000元．

6哪种模拟函数更合适

例某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万双，1。

2万双，1。

3万双，1.37万双，由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好，为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？

解先将产量转化为图象上的四个点A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4,1.37）,描出它们的散点图，再进行模拟估计．

一次函数模拟．

设模拟函数为y＝ax＋b,将B，C两点的坐标代入函数式，得

所以y＝0.1x＋1.

如果用此模拟函数估计今后几个月的产量，因为在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上涨1000双,这是不切合实际的,所以这个模拟函数不可取．

二次函数模拟．

设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，将A，B,C三点的坐标代入，得

所以y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7。

运用二次函数作为模拟函数，计算出的4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双，另外由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，二次函数的对称轴方程是x＝3。

5）,这显然不符合生产实际,所以这种模拟函数不可取．

幂函数模拟．

设模拟函数为y＝a

＋b。

将A，B两点的坐标代入，得

所以y＝0.48

＋0。

52。

将x＝3和x＝4代入，分别得到y≈1.35和y＝1。

48,与实际产量差距较大，这是因为此法只使用了两个月的数据．

指数函数模拟．

设模拟函数为y＝a·

bx＋c,将A，B，C三点的坐标代入,得

所以y＝－0。

8×

5x＋1。

4.

将x＝4代入,得y＝－0。

8·

54＋1。

4＝1.35.与第4个月的产量比较接近，所以该模拟函数较适合．

评注比较上述四个模拟函数可以发现，选择模拟函数既要考虑到误差最小，又要考虑到生产的实际情况,比如增长的趋势和可能性．经过反复选择，以指数函数模拟为最好．首先是误差最小；

其次是由于新建厂，随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会有明显上升，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势．因此选用y＝－0.8×

4模拟比较接近实际．