届高考数学一轮复习名师首选第10章56《线性回归方程》学案.docx
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届高考数学一轮复习名师首选第10章56《线性回归方程》学案
学案56 线性回归方程
导学目标：
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
自主梳理
1．相关关系：
两个变量之间的关系可能是________关系（如：
函数关系），或__________关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定性关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系．
2．散点图：
将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．
3．回归直线
（1）定义：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有________________，这条直线叫做回归直线．
（2）最小二乘法：
通过求Q＝（yi－bxi－a）2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和______，这一方法叫做最小二乘法．
（3）线性回归方程
方程＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的线性回归方程，其中a，b是待定参数．
.
自我检测
1．下列有关线性回归的说法，正确的序号是________．
①相关关系的两个变量不一定是因果关系；
②散点图能直观地反映数据的相关程度；
③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系；
④任一组数据都有线性回归方程．
2．下列关系：
①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系；⑤学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是________（填序号）．
3．下表是某厂1～4月份用水量（单位：
百吨）的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋a，则a＝________.
4．如图所示，有5组（x，y）数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．
5．已知三点（3,10），（7,20），（11,24）的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是________________．
探究点一 利用散点图判断两个变量的相关性
例1 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：
温度
（℃）
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮
杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
画出散点图并判断它们是否有相关关系．
变式迁移1 某班5个学生的数学和物理成绩如表：
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系？
探究点二 求线性回归方程
例2 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有以下统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系．试求线性回归方程＝bx＋a.
变式迁移2 已知变量x与变量y有下列对应数据：
且y对x呈线性相关关系，求y对x的线性回归方程．
x
1
2
3
4
y
2
3
探究点三 利用线性回归方程对总体进行估计
例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据
（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：
3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5）
变式迁移3 某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
－1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．
1．相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．线性回归方程：
设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的线性回归函数的类型为直线型：
＝bx＋a.我们称这个方程为y对x的线性回归方程．其中＝xi，＝yi.
3．线性回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范围一般不能超过线性回归方程的适用范围，否则没有实用价值．
课后练习
（满分：
90分）
一、填空题（每小题6分，共48分）
1．命题：
①路程与时间、速度的关系是相关关系；②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④圆的周长与面积的关系是相关关系；⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．
其中正确的命题序号是________．
2．设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是________．（填序号）
①x和y的相关系数为直线l的斜率；
②x和y的相关系数在0到1之间；
③当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同；
④直线l过点（，）．
3．已知一组观测值具有线性相关关系，若对于＝bx＋a，求得b＝0.51，＝61.75，＝38.14，则线性回归方程为__________________．
4．某地区近几年居民的年收入x与支出y之间的关系，大致符合＝0.8x＋0.1（单位：
亿元）．预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．
5．根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图，则这两个变量________线性相关关系（填“具有”或“不具有”）．
6．若施化肥量x与水稻产量y的线性回归方程为＝5x＋250，当施化肥量为80kg时，预计水稻产量为________kg.
7．已知线性回归方程＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．
8.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s、t，那么下列说法中正确的是________（填上正确的序号）．
①直线l1和l2一定有公共点（s，t）；
②直线l1和l2相交，但交点不一定是（s，t）；
③必有l1∥l2；
④l1与l2必定重合．
二、解答题（共42分）
9．（14分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
（注：
b＝，a＝－b）
10．（14分）某种产品的宣传费支出x与销售额y（单位：
万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？
11．（14分）某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：
月份
产量（千件）
单位成本（元）
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68
（1）求出线性回归方程；
（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？
（3）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？
学案56 线性回归方程
答案
自主梳理
1．确定性 非确定性 3.
（1）线性相关关系
（2）最小 （3） －b
自我检测
1．①②③
解析 根据两个变量相关关系的概念，可知①正确，散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以②、③正确．只有线性相关的数据才有线性回归直线方程，所以④不正确．
2．①③④
3．5.25
解析 ＝2.5，＝3.5，∵线性回归方程过定点（，），
∴3.5＝－0.7×2.5＋a.∴a＝5.25.
4．D
解析 因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．
5.＝x＋
解析 ∵xiyi＝434，＝7，＝18，x＝179，
∴b＝＝.
a＝－b
＝18－×7＝，
∴线性回归方程为＝x＋.
课堂活动区
例1 解题导引 判断变量间是否线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图．
解
（1）以x轴表示温度，以y轴表示热饮杯数，可作散点图，如图所示．
（2）从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间是负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，所以两变量之间具有相关关系．
变式迁移1 解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下图所示：
由散点图可见，两者之间具有相关关系．
例2 解题导引 求线性回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的线性回归方程才有意义．
解 制表如下：
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
x
4
9
16
25
36
90
＝4；＝5；
x2i＝90；xiyi＝112.3
于是有b＝＝＝1.23；
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
∴线性回归方程为＝1.23x＋0.08.
变式迁移2 解 ＝＝，
＝＝，x＝12＋22＋32＋42＝30，
xiyi＝1×＋2×＋3×2＋4×3＝，
∴b＝＝＝0.8，
a＝－b＝－0.8×＝－0.25，
∴＝0.8x－0.25.
例3 解题导引 利用线性回归
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