先分组后分配Word文档格式.docx

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（1）每组两本（均分三堆）１５

（2）一组一本，一组二本，一组三本６０

（3）一组四本，另外两组各一本１５

（４）平均分给甲乙丙三人９０

分析：

（1）分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90（种）

　这90种分组实际上重复了6次。

　我们不妨把六本不同的书标上1、2、3、4、5、6六个号码。

　考察以下两种分法：

（1，2）（3，4）（5，6）与（3，4）（1，2）（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数Ａ３３＝６，所以分法是９０／６=15（种）。

（2）先分组，方法是Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３＝６０，那么还要不要除以Ａ３３？

我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60（种）分法。

　（3）分组方法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30（种）

　　其中有没有重复的分法？

我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１／Ａ２２=15（种）。

　通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

　结论1：

一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m１，m２，…，mＰ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是Ｃ。

三　基本的分配的问题

１定向分配问题

例2六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1） 

甲两本、乙两本、丙两本.

（2） 

甲一本、乙两本、丙三本.

（3） 

甲四本、乙一本、丙一本.

由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：

（１）Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90（种）

（２）Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３=60（种）

（３）Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30（种）。

２不定向分配问题

例3　六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

每人两本

（2）一人一本、一人两本、一人三本

（3）一人四本、一人一本、一人一本

此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。

由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。

实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，

因此只要将分组方法数再乘以Ａ３３＝６，即

　（１）１５＊６=90（种）

　（２）６０＊６=360（种）

　（３）１５＊６=90（种）。

结论2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

解不定向分配题的一般原则：

先分组后排列。

例4六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。

因此，考虑先分组，后排列。

先分组，六本书怎么分为三组呢？

有三类分法

（1）每组两本

（2）分别为一本、二本、三本（3）两组各一本，另一组四本。

所以根据加法原理，分组法是++=90（种）。

再考虑排列，即再乘以。

所以一共有540种不同的分法。

四　分配问题的变形问题

例5四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？

恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。

实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有（种），然后将这三组（即三个不同元素）分配给四个小盒（不同对象）中的3个的排列问题，即共有=144（种）。

例6　有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有Ｃ１０　４＊Ｃ４２（种）分法。

再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，全排。

共Ｃ１０　４＊Ｃ４２＊Ａ２２=2520（种）不同的选法。

例7　设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？

由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。

先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有（种）分组方法。

再考虑分配，即排列，再乘以，所以共有=36（个）不同的函数。

例８设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8},映射f:

A->

B满足f

（1）<

＝f

（2）<

＝f（3）<

＝f（4）＝<

f（5）且Ｂ中的三个元素在Ａ中都有原象，这样的映射共有多少个？

从１，２，３，４，５，中插入３个隔板，依次与６，７，８，对应，因此共有Ｃ４３＝４种不同的映射

附

一编号分组：

1相同元素编号分组

“编号分组”的意思是：

即使分出来两个或多个组中，元素的个数相同，仍然看成不同的组

例题：

10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。

问有几种放法？

方法（隔板法）

5个盒子，设置4个隔板，插入9个空中。

C94

2不同元素编号分组

分成两种情况：

（i）非均匀编号分组（每组元素个数不同）

10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同（在这里体现“编号分组”）劳动，问有几种安排方法？

方法：

分步选人，分别适合各组人数，然后要乘以组数的全排列。

C102×

C83×

C55×

A33

（ii）均匀编号分组（包括部分均匀、全部均匀）

10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加不同劳动

问有几种安排方法？

分步选人，分别适合各组人数。

但是，由于有两个或两个以上的组人数相同，而选人时又是分步选人的（即有顺序在里面），所以必然会造成重复。

比如：

甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况，我们却多算了。

要除以元素相同的几个组的组数的全排列

选人完之后要放进编好号码的组里面，所以乘以总组数的全排列。

C82×

C66÷

A22×

二不编号分组：

与编号分组不同的是，在不编号分组中，各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志，换言之，只要有两个或者多个组有相同个数的元素，它们就被视为相同的组。

在这里，由于组已经没有编号了，如果要放进组里面的元素再不可区分，那问题就变得没什么意义，而且很简单了。

三个相同的球，放入两个相同的盒子里面，只有一种放法，那就是其中一个盒子放一个球，另外那个盒子放剩下的那两个球。

所以用列举法就可以了。

在这里主要讨论不同元素的情况。

1，不同元素，不编号不均匀分组。

10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加相同（在这里体现“不编号分组”）劳动，问有几种安排方法？

和“不同元素，编号不均匀分组”相比，不必乘以组数的全排列，因为三个组参加的是相同的劳动（这里“相同”的言下之意是：

劳动内容相同，又是同时去的，如果不同时，还要当作编号分组）

C55

不同元素不编号均匀分组（部分均匀、全部均匀）

10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加相同劳动，问有几种安排方法？

要除以相同元素个数的那几个组的组数的全排列，但是不必乘以总组数的全排列。

A22

排列组合中“先分配后分组”问题

作者：

中国数学培优网　来源：

中国数学培优网　时间：

2010-3-1115:

14:

43　浏览次数：

116

例．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分为三份，每份2本；

（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。

解：

（1）根据分步计数原理得到：

C（6,2）·

C（4,2）·

C（2,2） 

种；

（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有C（6,2）·

C（2,2）=90种方法，这个过程可以分两步完成：

第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；

第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A（3,3）=6种方法。

所以，6本不同的书分为三份，每份两本一共有15种方法。

（3）这是“不均匀分组”问题，一共有C（6,1）·

C（5,2）·

C（3,3）种方法．

（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有C（6,1）·

C（3,3）·

A（3,3）种方法．

（5）可以分为三类情况：

①“2、2、2型”即

（1）中的分配情况，有C（6,2）·

C（2,2）＝90种方法；

②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C（6,1）·

A（3,3）=360种方法；

③“1、1、4型”，有C（6,1）·

C（5,1）·

C（4，4）÷

A（2,2）×

A（3,3）=90种方法；

所以，一共有90+360+90＝540种方法．