最新高三数学专题复习资料直线平面垂直的判定及其性质Word格式文档下载.docx
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.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
6.
如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为（ ）
A B C D
8.
如图所示，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：
①a＝
；
②a＝1；
③a＝
④a＝2；
⑤a＝4.
当在BC边上存在点Q（Q不在端点B、C处），使PQ⊥QD时，a可以取________（填上一个你认为正确的数据序号即可）．
9.
如图PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：
①AE⊥BC；
②EF⊥PB；
③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．
10．（A.台州模拟）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，E为BC的中点，∠BAD＝∠ADC＝90°
，AB＝3，CD＝1，PA＝AD＝2.
（1）求证：
DE⊥平面PAC；
（2）求PA与平面PDE所成角的正弦值．
11.
（A.金华模拟）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA.
12.
如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．
（1）求证：
CD⊥平面SAD；
（2）求证：
PQ∥平面SCD；
（3）若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？
并证明你的结论．
[冲击名校]
如图在直棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°
，AB＝AC＝
，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．
（1）证明：
AD⊥C1E；
（2）当异面直线AC与C1E所成的角为60°
时，求三棱锥C1A1B1E的体积．
[高频滚动]
如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
AB1⊥平面A1BD；
（2）设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求
的值．
答案
[全盘巩固]
1．
解析：
选A 当l⊥α时，l⊥m且l⊥n；
但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.即“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．
2．
选A 因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC或点A、B、C所在的直线，同理，直线m垂直于平面ABC或点A、B、C所在的直线，根据线面或线线垂直的性质定理得l∥m.
3．
选B 条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的充分必要条件．
4．
选C ①正确；
对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；
对于③，直线n也可能位于平面α内，因此③是错误的；
对于④，由m⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．
5．
选D ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°
，∴BD⊥CD.
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.
又AB⊂平面ABC，
∴平面ADC⊥平面ABC.
选A 取AD的中点E，
连接PE，PC，CE.
由PE⊥AD知，PE⊥平面ABCD，
从而平面PEC⊥平面ABCD，取PC、AB的中点F、G，连接DF、DG、FG，
由PD＝DC知，DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，
又PC⊂平面PEC，∴DG⊥PC，
又DF∩DG＝D，DF⊂平面DFG，DG⊂平面DFG，
∴PC⊥平面DFG，
又点F是PC的中点，
因此线段DG上的点满足MP＝MC.
7．
①显然正确；
对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；
对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；
对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n，故④正确．
答案：
①③④
8.
当PQ⊥QD时，有QD⊥平面PAQ，
所以QD⊥AQ.
在矩形ABCD中，设BQ＝x（0<
x<
2），
则CQ＝2－x.
在Rt△ABQ中，AQ2＝a2＋x2，
在Rt△DCQ中，DQ2＝a2＋（2－x）2.
又由AQ2＋DQ2＝4，得2a2＋2x2－4x＝0，
则a2＝－（x－1）2＋1（0<
2），故a2∈（0,1]，即a∈（0,1]，
故①②符合，③④⑤不符合．
①（或②）
9.
①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确；
②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；
③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；
由①可知④正确．
①②④
10．
解：
因为PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，所以PA⊥DE，取AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以EF∥AB且EF＝
＝2，
在Rt△ADC和Rt△DEF中，∠EFD＝∠ADC＝90°
，
DF＝DC＝1，EF＝AD＝2，
所以△EFD≌△ADC，∠FED＝∠DAC，所以AC⊥DE.
因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC所以DE⊥平面PAC.
（2）由
（1）知平面PDE⊥平面PAC，
设DE∩AC＝G，连接PG，在Rt△PAG中，作AH⊥PG，垂足为H，
则AH⊥平面PDE，所以∠APH是PA与平面PDE所成的角，
由
（1）知，在Rt△ADG中，AD＝2，tan∠CAD＝
＝
所以AG＝AD×
cos∠CAD＝
因为PA⊥平面ABCD，所以PG＝
sin∠APH＝sin∠APG＝
即PA与平面PDE所成角的正弦值为
.
证明：
（1）因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，
所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，
所以EF∥AB.
因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.
又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC.
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，
又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC，
所以AF⊥BC.
又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，
所以BC⊥平面SAB.
因为SA⊂平面SAB，
所以BC⊥SA.
12.
因为四边形ABCD为正方形，
所以CD⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面SAD.
（2）证明：
取SC的中点R，连接QR，DR.
由题意知，PD∥BC且PD＝
BC.
在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，
所以QR∥BC且QR＝
所以QR∥PD且QR＝PD，
则四边形PDRQ为平行四边形，
所以PQ∥DR.
又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，
所以PQ∥平面SCD.
（3）存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.
连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，
因为PD∥CM，且PD＝CM，
所以四边形PMCD为平行四边形，
所以PO＝CO.
又因为N为SC的中点，
所NO∥SP.
易知SP⊥AD，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，且SP⊥AD，
所以SP⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD.
又因为NO⊂平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD.
因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.
又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.
又BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.
（2）因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC与C1E所成的角，由题设知∠A1C1E＝60°
因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°
，所以A1C1⊥A1B1，
又AA1⊥A1C1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面A1ABB1，
从而A1C1⊥平面A1ABB1，
又A1E⊂平面A1ABB1，所以A1C1⊥A1E.
故C1E＝
＝2
又B1C1＝
所以B1E＝
＝2.
从而V三棱锥C1A1B1E＝
S△A1B1E×
A1C1＝
×
2×
取BC的中点为M，连接AM，B1M，
在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，△ABC为正三角形，所以AM⊥BC，
又平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，
故AM⊥平面BCC1B1，
又BD⊂平面BCC1B1，
所以AM⊥BD.
又正方形BCC1B1中，tan∠BB1M＝tan∠CBD＝
所以BD⊥B1M，又B1M∩AM＝M，B1M⊂平面AB1M，AM⊂平面AB1M，
所以BD⊥平面AB1M，又AB1⊂平面AB1M，故AB1⊥BD.
在正方形BAA1B1中，AB1⊥A1B，
又A1B∩BD＝B，A1B，BD⊂平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD.
（2）取AA1的中点为N，连接ND，OD，ON.
因为N，D分别为AA1，CC1的中点，所以ND∥AC，又AC⊂平面ABC，ND⊄平面ABC，
所以ND∥平面ABC，
又OD∥平面ABC，ND∩OD＝D，
所以平面NOD∥平面ABC，
又平面NOD∩平面BAA1B1＝ON，平面BAA1B1∩平面ABC＝AB，
所以ON∥AB，
注意到AB∥A1B1，所以ON∥A1B1，
又N为AA1的中点，
所以O为AB1的中点，即
＝1.
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