双曲线的渐近线和离心率Word格式文档下载.docx
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∴a＝b，∴e＝2.
题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题
例3已知A（1,2），B（－1,2），动点P满足A→P⊥B→P.若双曲线ax2－yb2＝1（a>
0）的渐近线与
动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是．
破题切入点先由直接法确定点P的轨迹（为一个圆），再由渐近线与该轨迹无公共点得到不
等关系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解．
答案（1,2）
解析设P（x，y），由题设条件，得动点P的轨迹为（x－1）（x＋1）＋（y－2）·
y－
（2）＝0，即x2＋（y－2）2＝1，它是以（0,2）为圆心，1为半径的圆．又双曲线xa2－yb2＝1（a>
0）的渐近线方程为y＝±
abx，即bx±
ay＝0，
由题意，可得
2a2a
>
1，即>
1，22ca＋b
所以e＝ca<
2，
又e>
1，故1<
e<
2.
总结提高
（1）求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a，c的关系，a，c关系的建立方
法直接反映了试题的难易程度，最后在求得e之后注意e>
1的条件，常用到数形结合．
（2）在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由
y＝±
bax?
xa±
by＝0?
xa2－yb2＝0，所以可
x2y2
以把标准方程xa2－by2＝1（a>
0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离
＝e2－1，当e逐渐增大时，
心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于ba＝c2a－a2ba的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．
1．已知双曲线ax2－by2＝1（a>
0）以及双曲线ay2－bx2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双x2y2
曲线ax2－by2＝1的离心率为（）
A．2或233B.6或233
C．2或3D.3或6
答案A
解析由题意，可知双曲线ax2－yb2＝1的渐近线的倾斜角为30°
或60°
，
F1，F2，过F2作双曲线C的一
2．已知双曲线C：
a2－b2＝1（a>
0）的左，右焦点分别为条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）
A.2B.3C．2D．3答案A
ba
解析取双曲线的渐近线y＝abx，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－ba（x－c），可解得
可得a4＋a2cc2－4ac2bb2＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝ca＝2，故应选A.
4ac4cba
圆C的标准方程为（x－3）2＋y2＝4，
∴圆心为C（3,0）．
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx－ay＝0与圆C相切，
x2
又∵ax2－
by2＝1的右焦点F2（a2＋b2，0）为圆心C（3,0），∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x－y＝1.
54x2y2
4．已知双曲线a2－b2＝1（a>
0）的左，右焦点分别为F1（－c,0），F2（c,0），若双曲线上存在
A．（1，2＋1）B．（1，3）
C．（3，＋∞）D．（2＋1，＋∞）答案A
ac
由sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，
ac|PF1|c
可得|PF2|＝|PF1|，即|PF2|＝a＝e，所以|PF1|＝e|PF2|.
因为e>
1，所以|PF1|>
|PF2|，点P在双曲线的右支上．
又|PF1|－|PF2|＝e|PF2|－|PF2|＝|PF2|（e－1）＝2a，
2a
解得|PF2|＝
e－1
0，无意义），
因为|PF2|>
c－a（不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为
2a2所以>
c－a，即>
e－1，
e－1e－1
即（e－1）2<
2，解得e<
2＋1.
1，所以e∈（1，2＋1）．
5．（2014·
湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠
＝3π，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A.B.23
A.3B.3
C．3D．2
解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2（r1>
r2），
|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为
由（2c）2＝r21＋r22－2r1r2cos3π，
得4c2＝r21＋r22－r1r2.
r1＋r2＝2a1，r1＝a1＋a2，
由得
r1－r2＝2a2，r2＝a1－a2，
F1PF2
e1，e2，
11a1＋a2r1所以e11＋e12＝a1＋ca2＝rc1
r214r12
令m＝c2＝r12＋r22－r1r2＝1＋
4r2123，
2r1－22＋4
椭圆C1的方程为ax2＋by2＝1，双曲线C2的方程为xa2－yb2
abab
与C2的离心率之积为23，则C2的渐近线方程为（）
A．x±
2y＝0B.2x±
y＝0
C．x±
2y＝0D．2x±
y＝0答案A
解析由题意知e1＝ca1，e2＝ca2，
又∵a2＝b2＋c21，c22＝a2＋b2，
∴c12＝a2－b2，
ca1c42＝a4b＝1－（ab）4，
4
b）
令xa22－yb22＝0，解得bx±
∴x±
2y＝0.
答案（0,1）
所以e12＋e22＝2>
2e1e1?
0<
e1e2<
1.
x2y2a2
8．过双曲线a2－b2＝1（a>
0）的左焦点F作圆x2＋y2＝4的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为．
答案210
解析设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以
EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×
2＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理
于点A，B.若点P（m,0）满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是
答案25x2y2b
解析双曲线a2－b2＝1的渐近线方程为y＝±
ax.
aba
（，
），
3b－a
3b－a
－am
bm
（a＋3b，
a＋3b）
a2m，
3b2m
9b2－a2，
9b2－a2
am
）．
得
由y＝bax，
x－3y＋m＝0，
y＝－ax，由a
设直线l：
x－3y＋m＝0（m≠0），
因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，
所以e＝ca＝25.
a2
10．（2013湖·
南）设F1，F2是双曲线C：
xa2－by2＝1（a>
0）的两个焦点，P是C上一点，若
|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°
，则双曲线C的离心率为．
答案3
解析不妨设|PF1|>
|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a，又∵|PF1|＋|PF2|＝6a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°
由正弦定理得，∠PF2F1＝90°
∴|F1F2|＝23a，
线上一点，满足O→C＝λ→OA＋O→B，求λ的值．
解
（1）点P（x0，y0）（x0≠±
a）在双曲线xa2－yb2＝1上，
x20y20
有xa02－yb20＝1.
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，
（2）联立
设A（x1，
y1），B（x2，
y2）．
5cx1＋x2＝2，则22
35b2x1x2＝.
→→→→设OC＝（x3，y3），OC＝λO＋AOB
x3＝λ1x＋x2，即
y3＝λ1y＋y2.又C为双曲线上一点，即x23－5y32＝5b2，有（λ1x＋x2）2－5（λ1y＋y2）2＝5b2.
化简得λ2（x12－5y12）＋（x22－5y22）＋2λ（x1x2－5y1y2）＝5b2.
又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，
所以x12－5y12＝5b2，x22－5y22＝5b2.
由
（1）可知c2＝6b2，
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5（x1－c）（x2－c）＝－4x1x2＋5c（x1＋x2）－5c2＝10b2.
得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
12．（2014江·
西）如图，已知双曲线C：
2－y2＝1（a>
0）的右焦点为F.点A，B分别在C的两条a
渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，
（1）求双曲线C的方程；
x0x3
（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：
02－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相a2
交于点N.证明：
当点P在C上移动时，||MNFF||恒为定值，并求此定值．解
（1）设F（c,0），
1
直线OB方程为y＝－ax，
1cc
直线BF的方程为y＝a（x－c），解得B（2，－2a）．
又直线OA的方程为y＝ax，
ca－－2a3
则A（c，a），kAB＝c＝a.
c－2
31又因为AB⊥OB，所以·
－（）＝－1，
aa
解得a2＝3，
故双曲线C的方程为3－y＝1.
（2）由
（1）知a＝3，则直线l的方程为
x0xx0x－3
3－y0y＝1（y0≠0），即y＝3y0
因为c＝a2＋b2＝2，所以直线
AF的方程为x＝2，
所以直线l与AF的交点为M（2，
2x0－3
3y0）；
3
直线l与直线x＝2的交点为
N（32，
3y0）．
2x0－32
3y02
|MF|
则|NF|2＝3x0－32
12x0－3
4＋3y02
代入上式得||MNFF||22＝43·
x2－3＋3x－22
|NF|3x20－3＋3x0－22
42x0－324
34x02－12x0＋93即||MNFF||＝23＝233为定值．
x2－5y2＝5b2，
得4x2－10cx＋35b2＝0.
y＝x－c，
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