打孔机生产效能的提高优秀论文Word格式文档下载.docx
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表1：
10种孔型所需加工刀具及加工次序
孔型
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
所需刀具
a
b
a,c
d,e*
c,f
g,h*
d,g,f
h
e,c
f,c
一块线路板上的过孔全部加工完成后，再制作另一线路板。
但在同一线路板上的过孔不要求加工完毕一个孔，再加工另一个孔，即对于须用两种或两种以上刀具加工的过孔，只要保证所需刀具加工次序正确即可。
请建立相应的数学模型，并完成以下问题：
（1）附件1提供了某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，单位是（1/100）mil密尔（密尔也称为毫英寸，1inch=1000mil），请给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。
（2）为提高打孔机效能，现在设计一种双钻头的打孔机（每个钻头的形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，且作业是独立的，即可以两个钻头同时进行打孔，也可以一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具。
为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm（称为两钻头合作间距）。
为使问题简化，可以将钻头看作质点。
（i）针对附件1的数据，给出双钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？
（ii）研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。
二、问题假设
1、打孔机以均匀的速度行进
2、打孔机的钻头为质点
3、单个过孔的钻孔作业时间是相同的
三、符号说明
印刷完电路板所需的钻头行进时间
印刷完电路板所需的刀具转换时间
作业成本
行进时间成本
转换刀具成本
n单钻头刀具转换次数
q生产效能
四、问题分析
4.1问题一的分析
问题一要求给出单钻头时的最优作业路线和此路线的钻头行进时间
和作业成本
。
最优的作业路线应该满足以下两个条件：
1、工作时间短：
印刷电路板所用的总时间是钻孔时间，行进时间和刀具转换时间组成的，在题目中已知同一孔型钻孔作业时间都是相同的，所以总时间只需要考虑钻头行进时间和刀具转换时间。
观察附件中给出的孔型坐标图，看出相邻孔型之间的距离大部分比较短，而且钻头的行进速度是180mm/s，相邻两刀具的转换时间是18s，所以不同孔型之间的行进时间相对于刀具转换时间来说是很小的。
所以从这个条件来分析的话，制定的方案应先尽量考虑使刀具转换次数尽可能的少，然后再考虑钻头的行进路线，使得行进时间尽可能的少。
2、作业成本低：
印刷电路板的成本为行进成本和刀具转换成本之和，行进成本为0.06元/mm，刀具转换的时间成本为7元/min，由条件1分析知道行进距离比较短，而刀具转换的时间相对较长，刀具转换一次的成本，相当于钻头行进35mm的成本。
所以刀具转换的成本也应该优先考虑。
基于以上分析，需要先确定刀具转换次数最少的刀具转换方案，在本文中利用拓扑算法求解；
然后再制定使行进时间最短的路线。
4.2问题二的分析
问题二要求我们考虑双钻头的情况，而且两个钻头同时进行打孔，也可以一个钻头打孔，另一个钻头行进或转换刀具，但是两个钻头之间的距离必须保证在合作间距3cm之外。
双钻头同时工作时同样需要考虑单钻头时考虑的刀具转换次数和钻头行进时间，在对问题一的分析中，知道刀具转换次数对整体的生产效能影响较大，所以在双钻头工作时同样将刀具转换次数放在首先要考虑的位置。
为了使刀具转换次数尽可能的少，所以应该使两个钻头使用的刀具不同，为了满足钻头合作间距的要求，本文考虑将电路板分区，保证两个钻头在不同的区域工作时间距不会小于合作间距。
因为为了保证合作间距，所以上面考虑让两个钻头在不同的区域工作，等它们都工作完成后，在转换区域，但是两个钻头不一定同时完成工作，所以就会出现一个等待时间的出现。
所以在这个问题中除了满足刀具转换次数和钻头行进时间的要求，还要尽量使等待时间小。
五、模型建立与求解
5.1问题一模型的建立与求解
5.1.1刀具转换方案的确定
根据上一章对问题一的分析，我们要确定使刀具转换次数最少的方案。
根据每一种孔型需要的刀具的型号不同，以及需要的刀具打孔顺序不同，本文需要画出了这些刀具的拓扑图，由于孔型E、J对刀具f和c的顺序相反，可以将需要刀具c或f的孔型分为两类，这就可以得到5种拓扑图。
由拓扑图我们可以确定一些刀具的先后顺序，然后用软件排列出满足这种顺序的所有组合，并且计算每一种组合中刀具的转换次数，选取转换次数最少的组合作为最优刀具转换顺序。
两种刀具间的转换次数是通过以下式子决定：
（1）
公式
（1）是计算刀具转换次数的公式，其中
为刀具i转换到刀具j需要转移的次数，计算这个公式前，本文将刀具a~h分别赋值为0~7。
当
时，如果N=
，钻头逆时针旋转；
如果
，钻头顺时针旋转。
时，结果与以上情况相反。
最终得到最优解的拓扑图如图5.1,：
图5.1单钻头刀具拓扑图
最优的刀具转换顺序如下：
此时的总刀具转换次数为9，图中每一种刀具对应的孔型如表5.1所示。
表5.1最优刀具转换顺序时每一种刀具对应的孔型
刀具
d
C1
g
f
e
C2
DG
AC
FH
FG
EGJ
DI
CIJ
5.1.2最短路线的确定
在上一小节中确定了刀具转换的顺序，也就是确定了所要打的孔型顺序，为DG/E/B/AC/FH/FG/EGJ/DI/CIJ，分隔符表示需要转换刀具。
以每一种刀具为基准，可以将整个路线分割成9段独立的路线。
在本模型中，先分别计算出每一段独立路线的最短路径，然后再确定连接每一段独立路线的线路。
在本文中选用退火算法，求解遍历这些孔型最优路线。
模拟退火算法[1]来源于固体物质的退火原理，开始使固体处于较高的温度，伴随着无序状态，随着缓慢的降温来慢慢达到平衡有序状态。
模拟退火算法在较高温度下，通过Metropolis抽样准则随即寻找最优解，并利用降温过程进行重复的抽样过程，知道满足相似最优解。
算法当中引入了随即因素，即以一定的概率接受比当前解要差的解，有可能最终跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。
算法描述：
若
，即移动后得到更优解，则接受；
，及移动后的解比当前的解要差，则以一定的概率接受，并且这个概率随着时间的推移逐渐降低。
J为目标函数条件。
此处的概率由热力学原理，温度为T时，出现能量差为dE的降温概率为
（2）
其中K是Boltzmann常数，由于降温，
，所以
的密度函数取值范围（0，1）。
内能E转化为目标函数F，温度T转化为控制参数t，得到解组合优化问题的模拟退火算法：
由初始解S0和控制参数t，对当前重复“产生新解→计算目标函数差→判断是否接受→接受或者舍弃”的迭代，并逐步衰减控制参数t值，算法终止时即得到近似最优解。
退货过程由冷却进度表（CoolingSchedule）控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子△t、每个t时迭代次数L和停止条件。
实现形式：
从几个方面描述：
（1）数学模型：
由解空间、目标函数和初始解三部分组成[2]。
解空间S可表示为（s,1,2,……,n）固定起始点s的循环排列集合，即为
S={
|
表示第i个钻孔}。
我们通过贪心算法寻找一个较好的初始解作为
，即每次寻找离前一个点距离最近的点，然后递归。
a）目标函数：
对优化目标的量化描述，是解空间到某个数集的一个映射，要求正确的体现问题的整体优化要求且容易计算，当解空间不包含不可行解时还应包含惩罚系数项；
本文结合题设要求。
目标函数作如下表述：
Min
b）新解的产生：
按照某种机制按当前解产生的新解。
设当前解为C={
}，则新解的产生方法如下：
i.任选序号u,v（u<
v）,交换u与v之间的路径做为新解，此时的新路径为：
（
）,很容易得到其目标差为：
ii.任选序号u,v,w（u<
v<
w）,将u和v之间的路劲插到w之后作为新解，这新的路径为：
接受准则：
时接受新解。
否则则以概率
接受新解。
（2）
公式
（1）中，
为钻头单次移动步长；
为钻头移动单位长度的成本；
为单次钻头转换成本，
为刀具旋转切换一次的成本；
为钻头行进速度。
下面列出刀具a和b的路径图，如图5.2
5.2.1刀具a的最优路线
5.2.2刀具b的最优路线
本文最后求得结果如下：
钻头步移总长度：
；
行进成本867.88元，转换成本18.9元，作业总成本S=879.406012元，行进时间80.36s
5.2问题二模型的建立与求解
5.2.1分区
在对问题二的分析中我们提到为了保证两个钻头工作时的合作间距，所以将电路板进行分区[3]。
如图5.3这样的分区是最简单的，当其中的一个钻头在区域A工作，另一个钻头同时在区域B工作，这样就可以保证两个钻头的间距永远不会小于合作间距。
图5.3.1横向分区图
图5.3.2纵向分区图
观察在问题一中求得的每种刀具的最优行进路线，如果要将电路板平均分成两部分，那么横向划分会比纵向划分时的刀具路径长度更加平均，所以应该使用如图5.3.1这样的横向划分。
再观察中间的区域，发现这个区域还可以纵向划分成如图5.3.2这样的三个区域，所以最终本文将整个电路板划分成了如图5.4这样的五个区域，其中虚线为电路板的中心线。
图5.4最终分区图
5.2.2双钻头时刀具转换顺序的确定
在分析问题二时，提到要尽量使钻头的刀具转换次数最少，但是对于双钻头来说，刀具转换次数有两个概念：
一个是两个钻头总的刀具转换次数，它影响的是刀具转换成本；
另一个是两个钻头中最大的刀具转换次数，它影响的是整体的刀具转换时间。
所以在制定刀具的转换顺序时，这两个概念都要考虑。
这种排序问题，本文依旧采用与问题一类似的方法，即先列出这些刀具的拓扑图，然后再用程序列出满足这种拓扑图的所有组合，选取总的刀具转换次数和最大刀具转换次数都最小的值。
在问题一中，知道所需的刀具数是9，所以有一个钻头要比另一个钻头多选用一把刀具，也就是可能会出现空刀的状态，所以在拓扑图中加入了一个空刀j，拓扑图如图5.5：
图5.5双钻头刀具拓扑图
根据这个拓扑图得到的满足总刀具转换次数和最大刀具转换次数都最小的所有刀具转换方案如下：
方案1：
a-->
h-->
j-->
g-->
f2
f1-->
e-->
d-->
c-->
b
方案2：
方案3：
b-->
j
方案4：
f方案5：
1-->
方案6：
方案7：
方案8：
f-->
c1-->
c2
在上面的所有方案中，总刀具转换次数均为7，最大刀具转换次数均为4。
下面我们根据方案8来阐述两个钻头的工作步骤：
图5.6.1图5.6.2
1、钻头1以刀具a工作在区域一，钻头2以刀具e工作在区域二；
2、如果有一个钻头先完成工作，那么这个钻头就等待另一个钻头，直至两个钻头都在相应的区域内完成工作；
3、钻头1和钻头2同时按照一定的路线行进，钻头1行进到区域四，钻头2行进到区域三如图5.6.1；
4、在区域三和四内重复以上步骤，直至每一个钻头都在区域一，二，三，四内完成工作；
5、钻头1进入区域五工作，此时钻头2在一定的地方等待，当钻头1完成工作，钻头1退出，钻头2进入区域五工作5.6.2；
6、当两个钻头以刀具a和e在每一个区域都工作完成后，两个钻头同时换刀，钻头1换到刀具h，钻头2换到刀具d；
7、钻头1以刀具h，钻头2以刀具d重复上面的步骤，按照顺序换刀，直至所有的刀具都运行完。
刀具a在区域一内的行进时间与刀具e在区域二内的行进时间差，就是在第一次换区的等待时间，那么每一次换区的等待时间之和就是第一次换刀前的等待时间，每一次换刀前的等待时间之和就是所需的所有等待时间。
所以应该尽量使得每一次换区的等待时间最短，针对第一次换区，也就是刀具a在区域一内的行进路程应该尽量与刀具e在区域二内的行进路程之差最小。
因为在所分的区域里，区域一和区域二所占的比例最大，也就是行进时间最长，而区域三与区域四内每种刀具的路径本身就比较短，所以它们的换区等待时间就会更小。
因此在考虑换区等待时间时，只需要考虑区域一与区域二的等待时间就可以了，也就是考虑区域一与区域二刀具对应的路径差。
在分区时，提到可以将一二两个区域内每一种刀具的路径近似为相等，也就是说刀具a在区域一内的行进路程应该尽量与刀具e在区域二内的行进路程之差等于问题一中刀具a的路径长度与刀具e的路径长度之差。
本文计算出了上面每一种刀具转换方案中与等待时间成正比的路径差，选取最小值的方案作为最优的刀具转换顺序，为方案1：
钻头1：
f2
钻头2：
此时的钻头总刀具转换次数为7，两个钻头中最大的刀具转换次数为4，而且此时的等待时间最少。
5.2.3最短路径的确定
与问题一的分析方法一样，求整个电路板的最短路径前先求出每一个刀具的最短路线。
在本问题中，用和问题一一样的退火算法分区计算每个区域内每个刀具的最短路线。
在两个钻头换区的时候，如果不做一些规定，那么就可能出现两个钻头的间距小于合作间距的问题所以为了满足两个钻头的间距必须大于3cm，考虑分区打孔以及先后顺序，本文做了以下规定：
1分区选择：
将整个电路板分成五个区，五个区的布局如图5.7所示：
图5.7打孔分区图
2退刀问题
为了避免两个钻头在移动的过程中相撞刀，本文设计了退刀步骤。
如图5.9.1所示，钻头1的a刀位于上面区域，钻头2的e刀位于下面区域，他们各自把自己区域的孔打完后，转入下一个区域，由于a刀和e刀同时运动，可能存在他们在运动的过程中发生碰撞的可能，为了避免此类事件发生，让a刀在进入中间区域打孔的同时，e刀自动直线退刀至距离边界3cm地方，然后水平移动至左边垂线的延长线处，然后寻找最近的打孔点，进入打点。
图5.8.1换区碰撞问题示意图1
退刀主要是针对当一个钻头进入Ⅴ区工作时候，另外一个钻头要后退到离Ⅴ区域边界3cm的地方。
如图5.9.2，钻头2在上片区域，钻头1在下片区域，当钻头2进入中间Ⅴ区域时，此时钻头1要自动检测与边界距离并退刀至与边界3cm的地方。
图5.8.2换区碰撞问题示意图2
经过上面的分析计算，最后得到了每个刀具最优路线，其中刀具a和刀具b的路线图5.如下：
图5.9.1双钻头时刀具a的最短路径
图5.9.2双钻头时刀具b的最短路径
下表5.3给出了双钻头时每个阶段的行进时间和费用，最后给出了双钻头时的整体行进时间为37.170028s，费用1008.02745。
表3间距3cm双钻头行进时间和费用
工作刀具
阶段
a钻头2：
行进时间（s）
费用（元）
1
h钻头2：
8.213707
263.633523
2
g钻头2：
c1
5.181976
152.769176
3
f钻头2：
5.006295
215.500193
4
j钻头2：
c2
10.91379
291.298553
5
7.85426
84.826004
总和
37.170028
1008.02745
5.2.4合作间距对生产效能的影响
在这里提出生产效能的公式：
（3）
其中Q表示一个电路板的获益。
合作间距影响电路板区域的划分，当合作间距大的时候，钻头在区域五内的单独工作时间就会比较长，行进时间就会变长，而且行进路线也可能会变长，使加工成本和加工时间都变长，Q自然会下降。
但是当合作间距的不断，加工时间会趋于某一确定值时，此时的工作效能是最大。
所以合作间距对打孔机的生产效能有直观重要的作用[4]。
本文在上面计算合作间距为3cm的基础上，逐渐改变合作间距的值，然后观察完成电路板印制的时间和作业成本，最后得到如下图合作间距与行进时间，作业成本以及生产效能的曲线图5.10：
注：
图5.10中横坐标间距错误，每个间隔的距离为1cm。
图5.10.1合作间距与作业成本关系图
图5.10.2合作间距与行进时间图
图5.10.3合作间距与生产效能图
从图中生产效能的趋势可以大致看出，当合作间距为3.4cm左右时生产效能最高。
六、总结
本文对题目中提出的两个问题分别进行了分析和模型求解，最后得到结果如下表：
表3：
最终结果图
最短路径mm
行进时间s
总时间
作业总成本（元）
单钻头
80.36
242.36
879.406012
双钻头
109.170028
现在我们定义生产效能为
，其中Q表示一个电路板的获益，所以当单钻头时的效益是q=4.692*e-6，双钻头时的效益是q=9.087*e-6，由此可见，钻头数增加一个，生产效益几乎提高了两倍。
参考文献:
[1]朱道元.数学建模案例精选，北京:
科学出版社，2003.
[2]姜昌华，胡幼华.一种求解旅行商问题的高效混合遗传算法[Jl.计算机土程与
应用，2004,40（22）:
67.70
[3]李擎，张伟，尹怡欣，等.一种用于最优路径规划的改进遗传算法[J]信息与控制，2006,35（4）：
444-447.
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