高中数学三角函数常见习题类型及解法2Word文件下载.docx
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第二层次：
三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。
如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：
充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。
如分段函数值，求复合函数值域等。
三、方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：
特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·
cotx=tan45°
等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：
sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；
配凑角：
α=（α+β）－β，β=2
－等。
2
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
－94－
（4）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=a2b2sin（θ+），这里辅助角所在
b象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
a
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：
利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：
综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：
比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：
观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：
运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：
选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析
例1．已知tan2，求
（1）
的值.cossin；
（2）sin2sin.cos2cos2cossin
sin
cossin1tan12322；
解：
（1）sin1tan12cossin1cos
sin2sincos2cos222
（2）sinsincos2cos22sincos
2sinsin2222242.2sin2131cos2
说明：
利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
1
例2．求函数y1sinxcosx（sinxcosx）2的值域。
π解：
设tsinxcosxx）[，则原函数可化为4
13yt2t1（t）2
，因为t[，所以
24
13当t
时，ymax3，当t时，ymin，24
－95－
3所以，函数的值域为y[，3。
4
例3．已知函数f（x）4sin2x2sin2x2，xR。
（1）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及此时x的集合；
（2）证明：
函数f（x）的图像关于直线xπ对称。
8
解：
f（x）4sin2x2sin2x22sinx2（12sin2x）
2sinx22coxsπ22xsn（24）
（1）所以f（x）的最小正周期Tπ，因为xR，ππ3π2kπ，即xkπ时，f（x
）最大值为428
π
（2）证明：
欲证明函数f（x）的图像关于直线x对称，只要证明对任意xR，有8
ππf（x）f（x）成立，
88
ππππ因为f（x）x）]2x）2x，
8842
ππππf（x）x）]2x）2x，8842
πππ所以f（x）f（x）成立，从而函数f（x）的图像关于直线x对称。
888
1例4．已知函数y=cos2x+sinx·
cosx+1（x∈R）,22
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
所以，当2x
（1）y=
+13111cos2x+sinx·
cosx+1=（2cos2x－1）++（2sinx·
cosx）22444
31515cos2x+sin2x+=（cos2x·
sin+sin2x·
cos）+4442466
15=sin（2x+）+246=
－96－
=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。
626
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}6
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像；
66
1（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函2
数y=sin（2x+）的图像；
6
1（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函2
1数y=sin（2x+）的图像；
26
515（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的4246
图像。
12综上得到y=cosx+sinxcosx+1的图像。
22
本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。
这类题一般有两种解法：
一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后所以y取最大值时，只需2x+最终化成y=a2b2sin（ωx+）+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。
本题
（1）还可以解法如下：
当cosx=0时，y=1；
当cosx≠0时，113cos2xsinxcosxtanxy=+1=+1222sinxcosx1tanx
化简得：
2（y－1）tan2x－3tanx+2y－3=0
37∵tanx∈R，∴△=3－8（y－1）（2y－3）≥0,解之得：
≤y≤44
7∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}46
xxx例5．已知函数f（x）sincoscos2.333
（Ⅰ）将f（x）写成Asin（x）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域.解：
f（x）1sin2x3（1cos2x）1sin2xcos2xsin（2x）232323232332
－97－2
2x2x3k1）=0即k（kz）得xkz33332
3k1即对称中心的横坐标为，kz2
2（Ⅱ）由已知b=ac
a2c2b2a2c2ac2acac1cosx，2ac2ac2ac2
12x5cosx1，0x，233339
52x2x3||||，sin）1，3sin（）1，3292333332
3即f（x）的值域为（,1].2
3综上所述，x（0,]，f（x）值域为（,1].23
本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
cosC3ac例6．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，cosBb
（1）求sinB的值；
（Ⅰ）由
（2）
若ba=c，求ABC的面积。
（1）由正弦定理及cosC3accosC3sinAsinC，有，cosBbcosBsinB
即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，所以sin（BC）3sinAcosB，
又因为ABCπ，sin（BC）sinA，所以sinA3sinAcosB，因为sinA0，1所以cosB，又0B
π，所以sinB。
33
2
（2）在ABC中，由余弦定理可得a2c2ac32，又ac，3
4所以有a232，即a224，所以ABC的面积为
3
11SacsinBa2sinB22
－98－
例7．已知向量a（2cosα，2sinα），b=（sinα，cosα），xa（t23）b，
ykab，且xy0，
（1）求函数kf（t）的表达式；
（2）若t[1，3]，求f（t）的最大值与最小值。
22解：
（1）a4，b1，ab0，又xy0，
22222所以xy[a（t3）b]（kab）ka（t3）b[tk（t3）]ab0，1313所以kt3t，即kf（t）t3t；
4444
33
（2）由
（1）可得，令f（t）导数t20，解得t1，列表如下：
44
而f
（1），f
（1），f（3），所以f（t）max，f（t）min。
22222
sinα），b=（cosβ，sinβ），|ab|例8．已知向量a（cosα，，5
（1）求cos（αβ）的值；
ππ5β0，且sinβsinα的值。
（2）
（2）
若0α，2213
sinα），b=（cosβ，sinβ），解：
（1）因为a（cosα，
sinαsinβ），所以ab（cosαcosβ，
又因为|ab|，－99－
43即22cos（αβ）cos（αβ）；
55
ππ
（2）0αβ0，0αβπ，22
34又因为cos（αβ），所以sin（αβ），55
51263sinβ，所以cosβ，所以sinαsin[（αβ）β]131365
例9．平面直角坐标系有点P（1,cosx）,Q（cosx,1）,x[,]44
（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f（x）；
（2）求的最值.
（1
）
2cosxcos1cos2xcos，cosxcosx（1cos2x）cos
2cosx（x）1cos2x44
1322
（2）cos，又cosx[2,]，cosx2cosxcosx
2222,1]，min0，maxarccoscos[.33
三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
即f（x）－100－
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