中考总复习专题二次函数之平行四边形的存在性问题方法总结Word文档格式.docx
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在压轴题中,往往与函数(坐标轴)结合在一起,运用到④⑤的情况较少,更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形。
1、知识内容:
已知三点后,其实已经固定了一个三角形(平行四边形的一半),如图△ABC.第四个点M则有3种取法,过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可(如图中3个M点).
2、解题思路:
(1)根据题目条件,求出已知3个点的坐标;
(2)用一点及其对边两点的关系,求出一个可能点;
(3)更换顶点,求出所有可能的点;
(4)根据题目实际情况,验证所有可能点是否满足要求并作答.
【例1】
如图,抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC︰S△ACD=5︰4的点P的坐标;
(3)点M为平面直角坐标系上一点,写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标.
【例2】如图,已知抛物线y=ax2+3ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的坐标为(1,0),tan∠OBC=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形,若存在,写出点P的坐标;
(3)抛物线的对称轴与AC交于点Q,说明以Q为圆心,以OQ为半径的圆与直线BC的关系.
在此类问题中,往往是已知一条边,而它的对边为动边,需要利用这组对边平行且相等列出方程,进而解出相关数值.更复杂的有,一组对边的两条边长均为变量,需要分别表示后才可列出方程进行求解.
(1)找到或设出一定平行的两条边(一组对边);
(2)分别求出这组对边的值或函数表达式;
(3)列出方程并求解;
(4)返回题面,验证求得结果.
【例3】
如图,抛物线
与y轴交于点A(0,1),过点A的直线与抛物线交于另一点B
,过点B作BC⊥x轴,垂足为C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是x轴正半轴上的一动点,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设OP的长度为m.
①当点P在线段OC上(不与点O、C重合)时,试用含m的代数式表示线段PM的长度;
②联结CM、BN,当m为何值时,四边形BCMN为平行四边形?
【例4】如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,1)、B(4,3)两点.
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
【例5】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:
QB=_______,PD=_______;
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?
若存在,求出t的值;
若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度.
【习题1】已知平面直角坐标系xOy(如图),一次函数
的图像与y轴交于点A,点M在正比例函数
的图像上,且MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图像上,点D在一次函数
的图像上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.
【习题2】
如图,菱形ABCD的边长为4,∠B=60°
,F、H分别是AB、CD的中点,E、G分别在AD、BC上,且AE=CG.
(1)求证四边形EFGH是平行四边形;
(2)当四边形EFGH是矩形时,求AE的长;
(3)当四边形EFGH是菱形时,求AE的长.
【作业1】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线
与x轴、y轴分别交于点A、B,点C在线段AB上,且S△AOB=2S△AOC.
(1)求点C的坐标(用含有m的代数式表示);
(2)将△AOC沿x轴翻折,当点C的对应点C′恰好落在抛物线
上时,求该抛物线的表达式;
(3)设点M为
(2)中所求抛物线上一点,当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标.
【作业2】
如图,点A(2,6)和点B(点B在点A的右侧)在反比例函数的图像上,点C在y轴上,BC//x轴,tan∠ACB=2,二次函数的图像经过A、B、C三点.
(1)求反比例函数和二次函数的解析式;
(2)如果点D在x轴的正半轴上,点E在反比例函数的图像上,四边形ACDE是平行四边形,求边CD的长.