多项式插值的振荡现象.docx
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多项式插值的振荡现象
悔注评葩犬歩
ZHEJIANGNORMALUNIVERSITY
数值分析实验报告
多项式插值的振荡现象
姓名：
学院：
数理与信息工程学院
班级：
学号：
数值分析实验报告
实验名称
多项式插值的振荡现象
实验时间
2013年10月23日
姓名
班级
学号
成绩
实验目的
1•理解多项式插值，懂得它的振荡现象
2.研究样条插值，并分析它的收敛性。
3.学会在实际生活中使用二维插值。
‘实验内容
1.设区间［-1,1］上函数
其中的li（x）,i=0,1,2/,n是n次拉格朗日插值基函数。
2.请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节
点的个数。
考虑实验1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可以用MATL
的函数“spline”作此函数的三次样条插值。
3.在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如
下。
试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。
三、算法描述
（1）编写好拉格朗日插值函数，保存在M文件中；
（2）考虑到：
1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n取奇偶数可能结果不同；
3、不同的节点选取方法可能导致不同的结果。
故而n的选择分为n=2:
2:
8、
n=3:
2:
9或者n=2:
4:
10、n=3:
4:
11与n=40三种情况；
（3）节点的选取分为均匀节点、切比雪夫节点两种
四、程序流程图
由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略
五、实验结果
具体结果在实验分析里：
整理的结果如下
1＞实验一的结果:
当节点为均匀节点时：
插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是不收敛,
但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，但是两端误差较大。
2.
h（x）
当节点为切比雪夫点时：
插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收
敛，节点数越多，拟合效果越好。
当节点为均匀节点时：
插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛,
但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。
当节点为切比雪夫点时：
插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收
敛，节点数越多，拟合效果越好。
3.g（x）=arctanx
当节点为均匀节点时：
插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛,
但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。
当节点为切比雪夫点时：
插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以
收敛，节点数越多，拟合效果越好。
2＞实验二的结果
通过作图可以发现：
插值点数目增加时，三次样条插值光滑度依然很好，而且精度
比以前更高，收敛性很好；但是发现
lagrange插值却出现偏离，即存在误差，而且
随着节点的增加，偏离越明显。
由此，
可以发现,
三次样条插值的收敛性比
lagrange
插值好。
3＞思考题结果
通过分析计算可知，最咼点为:
166
178
该点的高程为：
721.098
六、实验结果分析
1＞实验一结果分析
首先尝试了一些n值，发现振荡明显，而且还有覆盖现象，由下图可见:
1.5
n=10
1
n=2
0.5
n=4
0
1
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
0.20.40.60.8
y=1/（1+25*x
n=3
-0.5
故针对上述现象，我们可以采用分开讨论测试的方法;
f（X）二
1
125x2
1.节点为均匀节点时:
人一12i,i=0,1,2;,n
n
a）当节点为奇数时，即n=2:
2:
8，可以得到如下图像
1.2
-02-1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.8
-0.6
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.LL
Li
■LL
I.h
[
■
I
>
n=7
卡i
n=5
=
2
y=1/（1+25*x2）
/tf
n=3
/
J—
^7
n=1
J-—
\rr
ri
Tr
rit
r
-0.4
从图中可以看到：
节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节
点数越多，附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；
b）当节点为偶数时，即n=3:
2:
9，可以得到如下图像
从图中可以看到：
节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点
数越多；附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。
c）当n=40时：
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000
-1
由图可知：
插值函数也是左右对称，而且0附近几乎和被插值函数重合，
但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。
2.当节点为切比雪夫节点时：
Xk=+匕％。
｛（2k_1尸,k=1,2广，n+1
22V2（n+1）丿
n=39
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
即错误！
未找到引用源。
，节点是对称的a）当节点为奇数个时，即n=2:
2:
8时，可以得到：
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
n=1
-0.2
-0.4
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
节点数越多,
从图中可以看出：
节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；
所有区域拟合都越好；
b）当节点为偶数个时，即n=3:
2:
9时，可以得到：
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
节点数越多，所有区域拟合都越好；
c）当n=40时，得到：
（2）h（x）=
x
1x4从图中我们看到，插值函数左右对称，插值函数几乎和被插值函数重合。
故
而，上面的观察结论是正确的。
10
1.节点为均匀节点时:
Xi=—5——,i二0,1,2「，n
n
a）
当节点为奇数时，即n=2:
4:
10，可以得到如下图像
从图中可以看到：
节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节
点数越多，0附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；
b）当节点为偶数时，即n=3:
4:
11，可以得到如下图像
1
0.8
[1
T
11
[1
1r
0.6
-
-
0.4
n=10
1
//\\
ff\\
-
0.2
-
-
n=2
0
n=6
-0.2
-y=x/（1+x4）・
\\fj
\\//
-0.4
\Vy
-
-0.6
-
-0.8
-
-1
rirrfr
irr
i
-5-4-3-2-1012345
从图中可以看到：
节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点
数越多；附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。
c）当n=40时：
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5-4-3-2-1012345
由图可知：
插值函数也是左右对称，而且0附近几乎和被插值函数重合，
但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。
2.当节点为切比雪夫节点时：
忑=也+心/'览1匹［k=12…，n+1
22V2（n+1）丿
即错误！
未找到引用源。
，节点是对称的
a）当节点为奇数个时，即n=2:
4:
10时，可以得到:
b）
''-^-4-3・2J□12345
n越大拟合度越好，没有
从图中可以看出，插值函数过两端和原点，并且也是奇函数；出现误差增大的现象；
c）当节点为偶数个时，即n=3:
4:
11时，可以得到:
□.
■匚I.-□.-□.
■匚I.
O.
从图中可以看出，插值函数不经过两端，但也是奇函数；节点数越多，拟合度也越好
d）当n=40时，得到：
N取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合
（3）g（x）二arctanx
1.节点为均匀节点时:
10
Xj=—5+10,i=0,1,2,…，nn
a）当节点为奇数时，即n=2:
4:
10，可以得到如下图像
从图中可以看出：
节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，0附
近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；
b）当节点为偶数时，即n=3:
4:
11，可以得到如下图像
从图中可以看到：
节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点
数越多；附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。
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