多项式插值的振荡现象.docx

1、多项式插值的振荡现象悔注评葩犬歩ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY数值分析实验报告多项式插值的振荡现象姓 名：学 院：数理与信息工程学院班 级：学 号：数值分析实验报告实验名称多项式插值的振荡现象实验时间2013年10月23日姓名班级学号成绩实验目的1 理解多项式插值，懂得它的振荡现象2. 研究样条插值，并分析它的收敛性。3. 学会在实际生活中使用二维插值。 实验内容1. 设区间-1,1上函数其中的li（x）,i =0,1,2/ ,n是n次拉格朗日插值基函数。2. 请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验 1中的函数或选择其他你有兴趣

2、的函数，可以用 MATL的函数“ spline ”作此函数的三次样条插值。3. 在一丘陵地带测量高程， x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。试用 MATLAB的二维插值函数“ in terp2 ”进行插值，并由此找出最高点 和该点的高程。三、算法描述（1） 编写好拉格朗日插值函数，保存在 M文件中；（2） 考虑到：1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖； 2、n取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方法可能导致不同的结果。故而 n的选择分为 n=2:2:8、n=3:2:9 或者 n=2:4:10、n=3:4:11 与 n=40 三种情况；（3） 节点的选取分为均匀节点、切比雪夫节点两种

3、四、程序流程图由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略五、实验结果具体结果在实验分析里：整理的结果如下1实验一的结果:当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、 40时，图像对称，但是不收敛,但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，但是两端误差较大。2.h(x)当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、 40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、 40时，图像对称，也是不收敛,但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、 40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟

4、合效果越好。3. g(x) = arctan x当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、 40时，图像对称，也是不收敛,但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、 40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。2实验二的结果通过作图可以发现：插值点数目增加时，三次样条插值光滑度依然很好，而且精度比以前更高，收敛性很好；但是发现lagra nge 插值却出现偏离，即存在误差，而且随着节点的增加，偏离越明显。由此，可以发现,三次样条插值的收敛性比lagra nge插值好。3思考题结果通过分析计算可知，最咼点为:16617

5、8该点的高程为：721.098六、实验结果分析1实验一结果分析首先尝试了一些 n值，发现振荡明显，而且还有覆盖现象，由下图可见:1.5n=101n=20.5n=401-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.20.2 0.4 0.6 0.8y=1/(1+25*xn=3-0.5故针对上述现象，我们可以采用分开讨论测试的方法;f(X)二11 25x21.节点为均匀节点时:人一1 2i,i = 0,1,2; ,nna) 当节点为奇数时，即 n=2 : 2: 8，可以得到如下图像1.2-02-110.80.60.40.2-0.8-0.6-0.20.20.40.60.81. L LL iL LI. hI

6、n=7卡in=5=2y=1/(1+25*x 2)/ t fn=3/J7n=1J- r rr iT rr itr-0.4从图中可以看到： 节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；b) 当节点为偶数时，即 n=3 : 2: 9，可以得到如下图像从图中可以看到： 节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多；附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。c)当 n=40 时：1600014000120001000080006000400020000-2000-1由图可知：插值函数也是左右对称，而且 0附近

7、几乎和被插值函数重合，但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。2.当节点为切比雪夫节点时 ：Xk = +匕。(2k _1尸,k = 1,2广，n + 12 2 V 2(n+1)丿n=39-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8即错误！未找到引用源。，节点是对称的a） 当节点为奇数个时，即 n=2:2:8时，可以得到：10.80.60.40.20n=1-0.2-0.4-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1节点数越多,从图中可以看出： 节点数为基数个并且对称时， 插值函数也是对称的；所有区域拟合都越好；b） 当节点为偶数个时，即 n=

8、3:2:9时，可以得到：10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；观察结论与 节点数为奇数时几乎一样：节点数越多，所有区域拟合都越好；c） 当n=40时，得到：(2)h(x)=x1 x4从图中我们看到，插值函数左右对称，插值函数几乎和被插值函数重合。故而，上面的观察结论是正确的。101.节点为均匀节点时:Xi = 5 ,i 二 0,1,2 ，nna)当节点为奇数时，即 n=2 : 4: 10，可以得到如下图像从图中可以看到： 节点

9、数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，0附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；b) 当节点为偶数时，即 n=3 : 4: 11，可以得到如下图像10.8 1T1 1 11 r0.6-0.4n=101/ / f f -0.2-n=20n=6-0.2- y=x/(1+x4) fj /-0.4Vy-0.6-0.8-1r i r r f rir ri-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5从图中可以看到： 节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多；附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。c)当 n=40 时：43210-1-

10、2-3-4-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5由图可知：插值函数也是左右对称，而且 0附近几乎和被插值函数重合，但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。2.当节点为切比雪夫节点时 ：忑=也+心/览1匹k = 12，n + 12 2 V 2(n+1)丿即错误！未找到引用源。，节点是对称的a) 当节点为奇数个时，即 n=2:4:10时，可以得到:b) - -4 -3 2 J 1 2 3 4 5n越大拟合度越好，没有从图中可以看出，插值函数过两端和原点，并且也是奇函数； 出现误差增大的现象；c) 当节点为偶数个时，即 n=3:4:11时，可以得到:.匚I. -. -.匚I.O.从图

11、中可以看出，插值函数不经过两端，但也是奇函数；节点数越多，拟合度也越好d) 当n=40时，得到：N取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合(3) g(x)二 arctan x1.节点为均匀节点时:10Xj = 5 + 10 ,i = 0,1,2,，n na) 当节点为奇数时，即 n=2 : 4: 10，可以得到如下图像从图中可以看出：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多， 0附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；b) 当节点为偶数时，即 n=3 : 4: 11，可以得到如下图像从图中可以看到： 节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多；附近的区域拟合越好；节点数越 多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。