精选牛吃草问题含例题答案解析讲解Word下载.docx

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=5份

10×

20=200份⋯⋯原草量+20天的生长量原草量：

200-20×

5=100或150-10×

5=100份

15×

10=150份⋯⋯原草量+10天的生长量100÷

（25-5）=5天

优质.参考.资料

[自主训练]牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可

供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：

（180-150）÷

=3份

9×

20=180份⋯⋯原草量+20天的生长量原草量：

180-20×

3=120份或150-10×

3=120份

10=150份⋯⋯原草量+10天的生长量120÷

（18-3）=8天

例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块

草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头

牛吃10天？

假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的减少量：

（100-90）÷

（6-5）

=10份

20×

5=100份⋯⋯原草量-5天的减少量原草量：

100+5×

10=150或90+6×

10=150份

6=90份⋯⋯原草量-6天的减少量（150-10×

10）÷

10=5头

[自主训练]由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经

测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛

吃几天？

（240-225）÷

（9-8）

=15份

30×

8=240份⋯⋯原草量-8天的减少量原草量：

240+8×

15=360份或220+9×

15=360份

25×

9=225份⋯⋯原草量-9天的减少量360÷

（21+15）=10天

例3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已

知男孩每

分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女

孩用了6分钟到达楼上。

该扶梯共有多少级？

男孩：

20×

5=100（级）自动扶梯的级数-5分钟减少的级数

女孩;

15×

6=90（级）自动扶梯的级数-6分钟减少的级数

每分钟减少的级数=（20×

5-15×

6）÷

（6-5）=10（级）

自动扶梯的级数=20×

5+5×

10=150（级）

[自主训练]两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3

级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100

秒，女孩走了300秒。

问该扶梯共有多少级？

3×

100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数

2×

300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数

每秒新增的级数：

（2×

300-3×

100）÷

（300-100）=1.5（级）

自动扶梯级数=3×

100-100×

1.5=150（级）

1.有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头

牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量

相等，问：

要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？

假设1头1天吃1个单位

24*6=144

21*8=168

168-144=24

每天长的草可供24/2=12头牛吃

最多只能放12头牛

2，有一片草地，草每天生长的速度相同。

这片草地可供5头牛吃40天，或6

供头牛吃30天。

如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可

以再吃几天？

5*40=200；

6*30=180

200-180=20

每天长的草:

20/（40-30）=2

原有草：

200-2*40=120

4*30=120，30*2=6060/4=15天

3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供

110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球

最多可以养活多少亿人？

假设1亿人头1天吃1个单位

110*90=9900；

90*210=18900

18900-9900=9000

9000/（210-90）=75

4，一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一

个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队，

优质.参考.资料

现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？

2*20*10=400

400-100=300

300/20=15

100+15*4=160

160/（4*10）=4

（1）因为草量=原有草量+新长出的草量，而且草量是均匀增长的。

所以“对应的牛头数×

吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量，即为：

吃的较多天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度*较多天数时的时间。

同理“相应的牛头数×

吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量，即为：

吃

的较少天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度*较少天数时的时间。

两个一做差，式子中的“原有草量”就被减掉了，等号的左边就是两次情况之下

总草量的差，右边等于草的生长速度*两次情况下的时间差，所以直接把时间差

除到左边去，就得到了草的生长速度了。

（2）牛吃的草的总量包括两个方面，一是原来草地上的草，而是新增长出来的

草。

所以“牛头数×

吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在这段时间把

草吃干净了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。

当然草的总量减去新增

长出来的草的数量，就剩下原来草地上面草的数量了。

牛吃草问题概念及公式

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家

牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不

同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地

可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量

随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是

︰

1）设定一头牛一天吃草量为“1”

1）草的生长速度＝（对应的牛头数×

吃的较多天数－相应的牛头数×

吃

的较少天数）÷

（吃的较多天数－吃的较少天数）；

2）原有草量＝牛头数×

吃的天数－草的生长速度×

吃的天数；

3）吃的天数＝原有草量÷

（牛头数－草的生长速度）；

4）牛头数＝原有草量÷

吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点

是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的，新长的草虽

然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

正

是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有

的草，又有每天新长出的草。

由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这

片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的

数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的基本数量关系是：

1.（牛的头数×

吃草较多的天数-牛头数×

吃草较少的天数）÷

（吃的较多

的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×

吃草天数-每天新长量×

吃草天数=草地原有的草。

解多块草地的方法

多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，

这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”

相对简单些。

“牛吃草”问题分析

华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员姚璐

【华图名师姚璐例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃1

0天，则它可供25头牛吃多少天？

A.3B.4C.5D.6

【华图名师姚璐答案】C

【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这

片草场可供25头牛吃Y天

根据核心公式代入

（200-150）/（20-10）=510*20-5*20=100100/（25-5）=5（天）

璐例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可

供多少头牛吃4天？

A.20B.25C.30D.35

【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，

根据核心公式代入

（20×

10-15×

10）=510×

20-5×

20=100100÷

4+5=30（头）

【华图名师姚璐例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以

吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽

40公亩牧场的草，需要多少头牛？

A.50B.46C.38D.35

【华图名师姚璐答案】D

【华图名师姚璐解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃

1天，每公亩草场原有牧草量为Y，

24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛

根据核心公式：

，代入

，因此，选择D

【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的

草量不再是常量。

下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。

【华图名师姚璐例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里

灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；

如果用4台

同样的抽水机排水，则用16分钟排完。

问如果计划用10分钟将水排完，

需要多少台抽水机？

【广东2006上】

A.5台B.6台C.7台D.8台

【华图名师姚璐答案】B

【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水

量，共需Y台抽水机

有恒等式：

解，得，代入恒等式

【华图名师姚璐例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的

水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽

水机，那么需抽多少小时？

【北京社招2006】

A.16B.20C.24D.28

量，共需Y小时

【华图名师姚璐例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9

周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需

要几周吃光？

（假定野果生长的速度不变）

【浙江2007】

A.2周B.3周C.4周D.5周

【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴

子共需Y周吃完

【华图名师姚璐例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来

排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。

某天某时刻，超市

如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时

开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】

A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时

【华图名师姚璐解析】设共需X小时就无人排队了。

例题：

1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速

度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2

个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来

的人数

设一个检票口一分钟一个人

1个检票口30分钟30个人

2个检票口10分钟20个人

（30-20）÷

（30-10）=0.5个人

原有1×

30-30×

0.5=15人

或2×

10-10×

2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。

草地上的草一样厚，而且

长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃

45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。

把每头牛每天吃的草看作1份。

因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×

30＝3

00份

所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷

5＝60份

因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×

45

＝1260份

所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷

15＝84份

所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

所以，每亩面积每天长24÷

15＝1.6份

所以，每亩原有草量60－30×

1.6＝12份

第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×

24＝38.4份，原有草就有2

4×

12＝288份

新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那

么原有的草就要够吃80天，因此288÷

80＝3.6头牛

所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。

两种解法：

解法一：

设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：

10*30/5=60；

每亩45天的总草量为：

28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）

/（45-30）=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*2

4=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072

+288=3360，所有3360/80=42（头）

解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天

吃15亩，可以推出15亩每天新长草量（28×

45-30×

30）/（45-30）=24；

15亩

原有草量：

1260-24×

45=180；

15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：

（180/80+24）*（24/15）=42头